2023年甘肃省庆阳市中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年甘肃省庆阳市中考数学一模试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在实数﹣3.5，﹣2，0，2中（ ）
A．﹣3.5B．﹣2C．0D．2
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4B．a3⋅a3＝2a3
C．a6÷a3＝a3D．（﹣2a2）3＝﹣6a6
3．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）已知是方程组的解（ ）
A．﹣1B．2C．3D．4
5．（3分）下面命题正确的是（ ）
A．矩形对角线互相垂直
B．方程x2＝14x的解为x＝14
C．六边形内角和为540°
D．一对直角三角形，有一组斜边和直角边对应相等，则这两个直角三角形全等
6．（3分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC交AC于点E，若线段DE＝4（ ）
A．7.5B．10C．12D．15
7．（3分）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，在⊙O中，AB为弦，∠BOD＝53°，过点A作⊙O的切线，则∠C＝（ ）
A．27°B．37°C．43°D．53°
9．（3分）如图，这是一农村民居侧面截图，屋坡AF，C处，且AB＝AC，则∠A＝（ ）
A．70°B．110°C．125°D．135°
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，在正方形的边上，分别按A→D→C，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.
11．（3分）计算的结果是 ．
12．（3分）分解因式：b3﹣b＝ ．
13．（3分）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝40°时 °．
14．（3分）某公司10名职工的3月份工资统计如下，该公司10名职工3月份工资的中位数是 元．
15．（3分）关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
16．（3分）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例函数（m为常数，且m≠0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
17．（3分）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2m，净高CD为5m m．
18．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，tan∠ABD＝，则线段AB的长为 ．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
19．（4分）解方程：x（2x﹣5）＝2x﹣5．
20．（4分）化简：．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）尺规作图：在BC边上求一点P，使得PA＝PC．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：△ABC∽△PAC．
22．（6分）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在其南偏西22°方向上，观测到灯塔P在其南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置（由科学计算器得到sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin44°≈0.6947，sin22°≈0.3746）．
23．（6分）为落实国家“双减”政策，某学校在课后服务活动中开设了A书法、B剪纸、C足球、D乒乓球这四门课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．
（1）小军选择的课程是篮球这一事件是 ；
A．随机事件
B．必然事件
C．不可能事件
（2）若小军和小贤两位同学各计划选修自己喜欢的一门课程，请用列表法或画树状图法求他们两人恰好同时选修球类课程的概率．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
24．（7分）为了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果
调查结果统计表：
请根据以上图表，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有 人，a+b＝ ，m%＝ %；
（2）求扇形统计图中扇形C的圆心角的度数；
（3）若该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x在30≤x＜90范围的人数．
25．（7分）如图，一次函数的图象y＝kx+b与反比例函数的图象在第一象限交于点A（4，3），且OA＝OB．
（1）求一次函数y＝kx+b与反比例函数的表达式；
（2）请直接写出不等式的解集．
26．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O分别与BC、AC相交于点D、E，垂足为点F，
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求图中阴影部分的面积．
27．（8分）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M，且AM＝CN，连接DN，使DG＝NC，连接CG．
（1）求证：AB＝CM；
（2）试判断△ACG的形状，并说明理由．
（3）若，，则DN＝ ．
28．（10分）如图，过点的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是直线x＝2，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，设点P在直线OA下方且在抛物线y＝ax2+bx上，过点P作y轴的平行线交OA于点Q．
（1）求a、b的值；
（2）求PQ的最大值；
（3）当△BCD是直角三角形时，求△OBC的面积．
2023年甘肃省庆阳市中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1．（3分）在实数﹣3.5，﹣2，0，2中（ ）
A．﹣3.5B．﹣2C．0D．2
【解答】解：∵|﹣3.5|＞|﹣7|，
∴﹣3.5＜﹣7，
∴﹣3.5＜﹣8＜0＜2，
∴最小的数是﹣3.5，
故选：A．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4B．a3⋅a3＝2a3
C．a6÷a3＝a3D．（﹣2a2）3＝﹣6a6
【解答】解：A、∵a2+a2＝2a2，∴a2+a4＝a4错误，不符合题意；
B、∵a3⋅a8＝a3+3＝a5，∴a3⋅a3＝8a3错误，不符合题意；
C、∵a6÷a6＝a6﹣3＝a8，∴a6÷a3＝a7正确，符合题意；
D、∵（﹣2a2）6＝﹣8a6，∴（﹣6a2）3＝﹣3a6错误，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：C．
4．（3分）已知是方程组的解（ ）
A．﹣1B．2C．3D．4
【解答】解：∵是方程组，
∴，
两个方程相减，得a﹣b＝5，
故选：D．
5．（3分）下面命题正确的是（ ）
A．矩形对角线互相垂直
B．方程x2＝14x的解为x＝14
C．六边形内角和为540°
D．一对直角三角形，有一组斜边和直角边对应相等，则这两个直角三角形全等
【解答】解：A选项，矩形的对角线相互平分，故A选项错误；
B选项，方程x2＝14x的解为x1＝4，x2＝14，故B选项错误；
C选项，六边形内角和为180°×（6﹣4）＝720°，不符合题意；
D选项，直角三角形全等的判定方法是“斜边直角边”，符合题意；
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC交AC于点E，若线段DE＝4（ ）
A．7.5B．10C．12D．15
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵BD＝2AD，
∴＝，
∵DE＝4，
∴＝，
∴BC＝12．
故选：C．
7．（3分）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：
解不等式①得：x≥5，
解不等式②得：x＜﹣1，
将两不等式解集表示在数轴上如下：
故选：B．
8．（3分）如图，在⊙O中，AB为弦，∠BOD＝53°，过点A作⊙O的切线，则∠C＝（ ）
A．27°B．37°C．43°D．53°
【解答】解：连接OA，
∵OD⊥AB于D，OA＝OB，
∴∠AOC＝∠BOD＝53°，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝90°﹣53°＝37°，
故选：B．
9．（3分）如图，这是一农村民居侧面截图，屋坡AF，C处，且AB＝AC，则∠A＝（ ）
A．70°B．110°C．125°D．135°
【解答】解：∵四边形BDEC为矩形，
∴∠CBD＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠FBD﹣∠CBD＝180°﹣55°﹣90°＝35°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝35°，
∴∠A＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣3×35°＝110°．
故选：B．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，在正方形的边上，分别按A→D→C，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为7cm，
∴y＝S△APQ＝AQ•AP＝x2；
②当3＜x≤4时，
y＝S△APQ
＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，
＝2×4﹣（4﹣x）2﹣×2×（x﹣2）﹣
＝﹣x2+2x
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，只有A选项图象符合．
故选：A．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.
11．（3分）计算的结果是 2 ．
【解答】解：法一、
＝|﹣5|
＝2；
法二、
＝
＝2．
故答案为：3．
12．（3分）分解因式：b3﹣b＝ b（b﹣1）（b+1） ．
【解答】解：b3﹣b
＝b（b2﹣7）
＝b（b﹣1）（b+1），
故答案为：b（b﹣3）（b+1）．
13．（3分）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝40°时 50 °．
【解答】解：由题意可得，
直尺的上下两边平行，
故∠2＝∠3，
∵∠2＝40°，
∴∠3＝40°，
∵∠3+∠3＝90°，
∴∠1＝50°，
故答案为：50．
14．（3分）某公司10名职工的3月份工资统计如下，该公司10名职工3月份工资的中位数是 5400 元．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：5000，5200，5200，5400，5400，5600，
则中位数为：．
故答案为：5400．
15．（3分）关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是 k≤ ．
【解答】解：∵a＝1，b＝1，
而方程有两个实数根
∴Δ＝b2﹣4ac＝1﹣6k≥0，
∴k≤．
16．（3分）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例函数（m为常数，且m≠0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 y3＜y1＜y2 ．
【解答】解：∵比例函数（m为常数，k＝﹣m2＜3，
∴图象在第二、四象限，
当x＜0时，图象在第二象限，函数值随自变量的增大而增大，
∴在点（﹣2，y7），（﹣1，y2）中，2＜y1＜y2，
当x＞5时，图象在第四象限，函数值随自变量的增大而增大，
∴在点（﹣1，y2），（4，y3）中，，，
综上所述，y3＜7＜y1＜y2，
∴y2＜y1＜y2，
故答案为：y2＜y1＜y2．
17．（3分）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2m，净高CD为5m 2.6 m．
【解答】解：连接OA；
Rt△OAD中，AD＝；
设⊙O的半径为R，则OA＝OC＝R；
由勾股定理，得：OA3＝AD2+OD2，即：
R4＝（5﹣R）2+42，解得R＝2.5（米）；
故答案为：2.6．
18．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，tan∠ABD＝，则线段AB的长为 5 ．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，BD＝8，
∴BO＝OD＝BD＝4，
∴∠AOB＝90°，
∵tan∠ABD＝＝，
∴OA＝OB＝3，
在Rt△ABC中，AO＝3，
∴AB＝＝＝5，
故答案为：6．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
19．（4分）解方程：x（2x﹣5）＝2x﹣5．
【解答】解：∵x（2x﹣5）﹣（5x﹣5）＝0，
∴（8x﹣5）（x﹣1）＝7，
∴2x﹣5＝6或x﹣1＝0，
∴x8＝，x3＝1．
20．（4分）化简：．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝x﹣8．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）尺规作图：在BC边上求一点P，使得PA＝PC．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：△ABC∽△PAC．
【解答】（1）解：如图．点P为所求作的点，
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵PA＝PC，
∴∠C＝∠PAC，
∴∠PAC＝∠B．
又∵∠C＝∠C，
∴△PAC∽△ABC．
22．（6分）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在其南偏西22°方向上，观测到灯塔P在其南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置（由科学计算器得到sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin44°≈0.6947，sin22°≈0.3746）．
【解答】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，MN＝30×2＝60（海里），
∵∠PMA＝22°，∠PNA＝44°，
∴∠MPN＝∠PNA﹣∠PMA＝44°﹣22°＝22°，
∴∠PMN＝∠MPN，
∴△MPN是等腰三角形，即MN＝PN＝60海里，
∵∠PNA＝44°，
∴PA＝PNsin∠PNA≈60×0.6947≈41.682（海里）．
答：此时轮船离灯塔的距离41.682海里．
23．（6分）为落实国家“双减”政策，某学校在课后服务活动中开设了A书法、B剪纸、C足球、D乒乓球这四门课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．
（1）小军选择的课程是篮球这一事件是 C ；
A．随机事件
B．必然事件
C．不可能事件
（2）若小军和小贤两位同学各计划选修自己喜欢的一门课程，请用列表法或画树状图法求他们两人恰好同时选修球类课程的概率．
【解答】解：（1）∵学校在课后服务活动中没有开设篮球这门课程，
∴小军选择的课程是篮球这一事件是不可能事件，
故选：C；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小军和小贤两位同学恰好同时选修球类课程的结果有4种，
∴小军和小贤两人恰好同时选修球类课程的概率是．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
24．（7分）为了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果
调查结果统计表：
请根据以上图表，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有 50 人，a+b＝ 28 ，m%＝ 8 %；
（2）求扇形统计图中扇形C的圆心角的度数；
（3）若该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x在30≤x＜90范围的人数．
【解答】解：（1）调查的总人数是16÷32%＝50（人），
则a+b＝50﹣4﹣16﹣2＝28（人），
m%＝×100%＝8%，
则m＝8，
故答案为：50，28，4；
（2）D组的人数有50×16%＝8人，
则C组的人数有28﹣8＝20人，
扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×＝144°；
（3）每月零花钱的数额x在30≤x＜90范围的人数是1000×＝720（人）．
25．（7分）如图，一次函数的图象y＝kx+b与反比例函数的图象在第一象限交于点A（4，3），且OA＝OB．
（1）求一次函数y＝kx+b与反比例函数的表达式；
（2）请直接写出不等式的解集．
【解答】解：（1）∵点A（4，3）在反比例函数，
∴k＝8×3＝12，
∴反比例函数解析式为；
∵，OA＝OB，
∴点B（0，﹣5）．
把点A（2，3），﹣5）代入y＝kx+b中，
得，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣7；
（2）令y＝2x﹣5中y＝6，则x＝，
∴D（，0），
由图象可知，不等式＜x＜4．
26．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O分别与BC、AC相交于点D、E，垂足为点F，
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC．
又AB＝AC＝13，BC＝10，
∴BD＝5．
连接OD；
由中位线定理，知DO∥AC，
又DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线；
（2）连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，
∴∠ABC＝∠ACB＝67.4°，
∴∠BAC＝45°，
∵OA＝OE，
∴∠AOE＝90°，
∵⊙O的半径为4，
∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝6
∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝4π﹣8．
27．（8分）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M，且AM＝CN，连接DN，使DG＝NC，连接CG．
（1）求证：AB＝CM；
（2）试判断△ACG的形状，并说明理由．
（3）若，，则DN＝ 4 ．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，
∴∠AEB＝∠CEM＝∠CFB＝90°，
∴∠BAE＝∠MCE＝90°﹣∠B，
∵∠AEC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠EAC＝∠ECA＝45°，
∴AE＝CE，
在△ABE和△CME中，
，
∴△ABE≌△CME（ASA），
∴AB＝CM．
（2）△ACG是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠MCD＝∠CFB＝90°，
∵△ABE≌△CME，
∴AB＝CM，∠B＝∠CME，
∴CM＝CD，∠CME＝∠ADC，
∵∠AMC+∠CME＝180°，∠GDC+∠ADC＝180°，
∴∠AMC＝∠GDC，
∵AM＝CN，GD＝CN，
∴AM＝GD，
在△ACM和△GCD中，
，
∴△ACM≌△GCD（SAS），
∴AC＝GC，∠ACM＝∠GCD，
∴∠ACG＝∠ACD+∠GCD＝∠ACD+∠ACM＝∠MCD＝90°，
∴△ACG是等腰直角三角形．
（3）解：∵AD＝3，AM＝GD＝，
∴AG＝AD+GD＝3+＝4，
∵AC＝GC，∠ACG＝90°，
∴AC4+GC2＝2GC7＝AG2＝（4）2，
∴GC＝4，
∵DG＝NC，DG∥NC，
∴四边形CGDN是平行四边形，
∴DN＝GC＝8，
故答案为：4．
28．（10分）如图，过点的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是直线x＝2，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，设点P在直线OA下方且在抛物线y＝ax2+bx上，过点P作y轴的平行线交OA于点Q．
（1）求a、b的值；
（2）求PQ的最大值；
（3）当△BCD是直角三角形时，求△OBC的面积．
【解答】解：（1）∵过点的抛物线y＝ax5+bx的对称轴是直线x＝2，
∴，解得，
故．
（2）设直线y＝kx过点，可得直线．
由（1）可得抛物线，
设，则，
∴，
∴当时，PQ最大．
（3）设点C的坐标是（0，m），
∴抛物线的顶点D的坐标是（5，﹣3），0）．
则BC6＝m2+48，CD2＝（m+3）2+22，，
①当∠CBD＝90°时，有BC2+BD2＝CD5．
∴，解得，
∴．
②当∠CDB＝90°时，有CD2+BD7＝BC2．
∴，解得，
∴．
③当∠BCD＝90°时，有CD3+BC2＝BD2．
∴，此方程无解．
综上所述，当△BDC为直角三角形时或．
工资/元
5000
5200
5400
5600
人数/人
1
3
4
2
组别
分组（单位：元）
人数
A
0≤x＜30
4
B
30≤x＜60
16
C
60≤x＜90
a
D
90≤x＜120
b
E
x≥120
2
工资/元
5000
5200
5400
5600
人数/人
1
3
4
2
组别
分组（单位：元）
人数
A
0≤x＜30
4
B
30≤x＜60
16
C
60≤x＜90
a
D
90≤x＜120
b
E
x≥120
2