2024-2025学年大同市大同县高三第二次调研数学试卷含解析

这是一份2024-2025学年大同市大同县高三第二次调研数学试卷含解析，共14页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，下列说法正确的是，设复数z＝，则|z|＝等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线：与圆：交于，两点，与平行的直线与圆交于，两点，且与的面积相等，给出下列直线：①，②，③，④.其中满足条件的所有直线的编号有（ ）
A．①②B．①④C．②③D．①②④
2．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知抛物线,过抛物线上两点分别作抛物线的两条切线为两切线的交点为坐标原点若,则直线与的斜率之积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知正三角形的边长为2，为边的中点，、分别为边、上的动点，并满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知双曲线，为坐标原点，、为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．“若，则”的否命题是“若，则”
B．在中，“”是“”成立的必要不充分条件
C．“若，则”是真命题
D．存在，使得成立
7．已知的值域为，当正数a，b满足时，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．9
8．已知奇函数是上的减函数，若满足不等式组，则的最小值为（ ）
A．-4B．-2C．0D．4
9．已知函数，若对于任意的，函数在内都有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．设复数z＝，则|z|＝（ ）
A．B． C．D．
11．如图，是圆的一条直径，为半圆弧的两个三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知为虚数单位，实数满足，则 ( )
A．1B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_____.
14．已知函数，若，则的取值范围是__
15．已知等比数列满足公比，为其前项和，，，构成等差数列，则_______．
16．在棱长为的正方体中，是正方形的中心，为的中点，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面面积为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．
（1）求物理原始成绩在区间的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．
（附：若随机变量，则，，）
18．（12分）对于给定的正整数k，若各项均不为0的数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.
（1）证明：等比数列是“数列”；
（2）若数列既是“数列”又是“数列”，证明：数列是等比数列.
19．（12分）2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CrnaVirusDisease2019，COVID—19），简称“新冠肺炎”.下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.
为了预测在未釆取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t的值依次1，2，…，10）建立模型和.
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：
（ⅰ）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？
（ⅱ）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？
附：对于一组数据（，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
参考数据：其中，.
20．（12分）等差数列的公差为2, 分别等于等比数列的第2项，第3项，第4项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列满足,求数列的前2020项的和．
21．（12分）已知，均为给定的大于1的自然数，设集合，
．
（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；
（Ⅱ）当时，，且集合满足下列条件：
①对任意，；
②．
证明：（ⅰ）若，则（集合为集合在集合中的补集）；
（ⅱ）为一个定值（不必求出此定值）；
（Ⅲ）设，，，其中，，若，则．
22．（10分）为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，其中近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.
（1）请利用正态分布的知识求；
（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费：
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？
附：①；②若；则，，.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
求出圆心到直线的距离为：，得出，根据条件得出到直线的距离或时满足条件，即可得出答案.
【详解】
解：由已知可得：圆：的圆心为（0,0），半径为2，
则圆心到直线的距离为：，
∴，
而，与的面积相等，
∴或，
即到直线的距离或时满足条件，
根据点到直线距离可知，①②④满足条件.
故选：D.
本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式.
2．D
【解析】
分别解出集合然后求并集.
【详解】
解：，
故选：D
考查集合的并集运算，基础题.
3．A
【解析】
设出A，B的坐标，利用导数求出过A，B的切线的斜率，结合，可得x1x2＝﹣1．再写出OA，OB所在直线的斜率，作积得答案．
【详解】
解：设A（），B（），
由抛物线C：x2＝1y，得，则y′．
∴，，
由，可得，即x1x2＝﹣1．
又，，
∴．
故选：A．
点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是解题的思路，由于与切线有关，所以一般先设切点，先设A,B,,再求切线PA,PB方程，
求点P坐标，再根据得到最后求直线与的斜率之积.如果先设点P的坐标，计算量就大一些.
4．A
【解析】
建立平面直角坐标系，求出直线，
设出点，通过，找出与的关系．
通过数量积的坐标表示，将表示成与的关系式，消元，转化成或的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为的取值范围．
【详解】
以D为原点，BC所在直线为轴，AD所在直线为轴建系，
设，则直线 ，
设点，
所以
由得 ，即 ，
所以，
由及，解得，由二次函数的图像知，，所以的取值范围是．故选A．
本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用．
5．D
【解析】
根据，先确定出的长度，然后利用双曲线定义将转化为的关系式，化简后可得到的值，即可求渐近线方程.
【详解】
如图所示：
因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以渐近线方程为.
故选：D.
本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.
6．C
【解析】
A：否命题既否条件又否结论，故A错.
B：由正弦定理和边角关系可判断B错.
C：可判断其逆否命题的真假，C正确.
D：根据幂函数的性质判断D错.
【详解】
解：A：“若，则”的否命题是“若，则”，故 A错.
B：在中，，故“”是“”成立的必要充分条件，故B错.
C：“若，则”“若，则”，故C正确.
D：由幂函数在递减，故D错.
故选：C
考查判断命题的真假，是基础题.
7．A
【解析】
利用的值域为,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出的最小值.
【详解】
解：∵的值域为,
∴,
∴,
∴
,
当且仅当时取等号,
∴的最小值为.
故选：A.
本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题.
8．B
【解析】
根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.
【详解】
奇函数是上的减函数，则，且，画出可行域和目标函数，
，即，表示直线与轴截距的相反数，
根据平移得到：当直线过点，即时，有最小值为.
故选：.
本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.
9．D
【解析】
将原题等价转化为方程在内都有两个不同的根，先求导，可判断时，，是增函数；
当时，，是减函数.因此，再令，求导得，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点，使得在有解，通过导数可判断当时，在上是增函数；当时，在上是减函数；则应满足，再结合，构造函数，求导即可求解；
【详解】
函数在内都有两个不同的零点，
等价于方程在内都有两个不同的根.
，所以当时，，是增函数；
当时，，是减函数.因此.
设，，
若在无解，则在上是单调函数，不合题意；所以在有解，且易知只能有一个解.
设其解为，当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数.
因为，方程在内有两个不同的根，
所以，且.由，即，解得.
由，即，所以.
因为，所以，代入，得.
设，，所以在上是增函数，
而，由可得，得.
由在上是增函数，得.
综上所述，
故选：D.
本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题
10．D
【解析】
先用复数的除法运算将复数化简，然后用模长公式求模长.
【详解】
解：z＝＝＝＝﹣﹣,
则|z|＝＝＝＝.
故选：D.
本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.
11．B
【解析】
连接、，即可得到，，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得；
【详解】
解：连接、，
，是半圆弧的两个三等分点， ，且，
所以四边形为棱形，
．
故选：B
本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.
12．D
【解析】
，
则
故选D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
试题分析：根据题意设三角形的三边长分别设为为，所对的角为最大角，设为，则根据余弦定理得，故答案为.
考点：余弦定理及等比数列的定义.
14．
【解析】
根据分段函数的性质，即可求出的取值范围.
【详解】
当时， ，
，
当时，，
所以，
故的取值范围是.
故答案为：.
本题考查分段函数的性质，已知分段函数解析式求参数范围，还涉及对数和指数的运算，属于基础题.
15．0
【解析】
利用等差中项以及等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】
由，，是等差数列可知
因为，所以，
故答案为：0
本题考查了等差中项的应用、等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.
16．
【解析】
确定平面即为平面，四边形是菱形，计算面积得到答案.
【详解】
如图，在正方体中，记的中点为，连接，
则平面即为平面．证明如下：
由正方体的性质可知，，则，四点共面，
记的中点为，连接，易证．连接，则，
所以平面，则．
同理可证，，，则平面，
所以平面即平面，且四边形即平面截正方体所得的截面．
因为正方体的棱长为，易知四边形是菱形，
其对角线，，所以其面积．
故答案为：
本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析．
【解析】
（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间分为和两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为，且，由此可得的分布列和数学期望．
【详解】
（Ⅰ）因为物理原始成绩，
所以
．
所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）．
（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．
所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，
所以 ，
，
，
．
所以的分布列为
所以数学期望．
（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．
（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．
18．（1）证明见详解；（2）证明见详解
【解析】
（1）由是等比数列，由等比数列的性质可得：即可证明.
（2）既是“数列”又是“数列”，可得，，则对于任意都成立，则成等比数列，设公比为，验证得答案.
【详解】
（1）证明：由是等比数列，由等比数列的性质可得：
等比数列是“数列”.
（2）证明：既是“数列”又是“数列”，
可得，（） （）
，（）
可得：对于任意都成立，
即 成等比数列，
即成等比数列，
成等比数列，
成等比数列，
设，（）
数列是“数列”
时，由（）可得：

时，由（）可得：
，
可得，同理可证
成等比数列，
数列是等比数列
本题是一道数列的新定义题目，考查了等比数列的性质、通项公式等基本知识，考查代数推理、转化与化归以及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题.
19．（1）适宜（2）（3）（ⅰ）回归方程可靠（ⅱ）防护措施有效
【解析】
（1）根据散点图即可判断出结果.
（2）设，则，求出，再由回归方程过样本中心点求出，即可求出回归方程.
（3）（ⅰ）利用表中数据，计算出误差即可判断回归方程可靠；（ⅱ）当时，，与真实值作比较即可判断有效.
【详解】
（1）根据散点图可知：
适宜作为累计确诊人数与时间变量的回归方程类型；
（2）设，则，
，
，
；
（3）（ⅰ）时，，，
当时，，，
当时，，，
所以（2）的回归方程可靠：
（ⅱ）当时，，
10150远大于7111，所以防护措施有效.
本题考查了函数模型的应用，在求非线性回归方程时，现将非线性的化为线性的，考查了误差的计算以及用函数模型分析数据，属于基础题.
20．（1），； （2）.
【解析】
(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式；
(2)求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列的前2020项的和.
【详解】
(1)依题意得: ，
所以 ，
所以
解得
设等比数列的公比为，所以
又
(2)由（1）知，
因为 ①
当时, ②
由①②得，，即，
又当时，不满足上式，
.
数列的前2020项的和

设 ③，
则 ④，
由③④得：
，
所以，
所以.
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）详见解析．（ⅱ）详见解析.（Ⅲ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）当，时，，，，，，．即可得出．
（Ⅱ）（i）当时，，2，3，，，又，，，，，，必然有，否则得出矛盾．
（ii）由．可得．又，即可得出为定值．
（iii）由设，，，，其中，，，2，，．，可得，通过求和即可证明结论．
【详解】
（Ⅰ）解：当，时，，，，，．
．
（Ⅱ）证明：（i）当时，，2，3，，，
又，，，，，，
必然有，否则，而，与已知对任意，矛盾．
因此有．
（ii）．
．
，
为定值．
（iii）由设，，，，其中，，，2，，．，
．
．
本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22．（1）；（2）估计此次活动可能赠送出100000元话费
【解析】
（1）根据正态分布的性质可求的值.
（2）设某家长参加活动可获赠话费为元，利用题设条件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得计此次活动可能赠送出的话费数额.
【详解】
（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得
又，，
所以
；
（2）根据题意，某家长参加活动可获赠话费的可能值有10，20，30，40元，且每位家长获得赠送1次、2次话费的概率都为，
得10元的情况为低于平均值，概率，
得20元的情况有两种，得分低于平均值，一次性获20元话费；得分不低于平均值，2次均获赠10元话费，概率，
得30元的情况为：得分不低于平均值，一次获赠10元话费，另一次获赠20元话费，其概率为，
得40元的其情况得分不低于平均值，两次机会均获20元话费，概率为.
所以变量的分布列为：
某家长获赠话费的期望为.
所以估计此次活动可能赠送出100000元话费.
本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望，注意与正态分布有关的计算要利用该分布的密度函数图象的对称性来进行，本题属于中档题.
时间
1月25日
1月26日
1月27日
1月28日
1月29日
累计确诊人数的真实数据
1975
2744
4515
5974
7111
5.5
390
19
385
7640
31525
154700
100
150
225
338
507
获赠的随机话费（单位：元）
概率
0
1
2
3