山西省大同市2026届高三上学期第二次学情调研数学试卷(含答案）

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这是一份山西省大同市2026届高三上学期第二次学情调研数学试卷(含答案），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则集合（）
A．B．C．D．
2．已知复数，为虚数单位，则（）
A．2B．C．D．
3．首项为的等差数列，从第5项起开始为正数，则公差的取值范围是（）
A．B．C．D．
4．已知向量，，若，则实数，满足的关系式为（）
A．B．C．D．
5．已知圆台的母线与底面所成的角为，上、下底面半径分别是1和2，则该圆台的表面积是（）
A．B．C．D．
6．若，则的值为（）
A．B．C．D．
7．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（）
A．B．C．D．
8．已知向量，且，若向量满足，则的最大值为（）
A．3B．C．1D．
二、多选题
9．已知，是空间中两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题正确的是（）
A．若，，则B．若，且，则
C．若，且，则D．若，且，则
10．若，，，则下列不等式恒成立的是（）
A．B．C．D．
11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（）
A．当时，B．函数有2个零点
C．，，都有D．的解集为
三、填空题
12．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，其中是和的等差中项，则 .
13．已知定义在上的函数的图象关于轴对称，且函数在上单调递增，则不等式的解集为 .
14．已知函数，，，在区间上单调，则正整数的最大值为 .
四、解答题
15．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有62℃的物体，放在15℃的空气中冷却，1 min以后物体的温度是52℃.
（，，，）
(1)求的值（精确到0.01）；
(2)若要将物体的温度降为42℃，32℃，求分别需要冷却的时间（精确到0.1 min）
16．如图，在矩形甬道中（假定甬道，可以无限延伸），，，，分别为边，上的动点，且，设.

(1)若的面积记为，写出函数解析式；
(2)求的最小值.
17．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，且，，，，平面平面.

(1)求证：；
(2)若三棱锥体积为，求平面与平面夹角的余弦值.
18．设函数.
(1)判断并说明函数的零点个数；
(2)记，
①设，试讨论函数的单调性；
②若在恒成立，求实数的取值范围.
19．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若为在区间内的项的个数.
①求，，；
②求数列的前项的和.
参考答案
1．A
【详解】由，得，解得，所以，
又，所以.
故选：A.
2．C
【详解】，所以.
故选：C.
3．B
【详解】设该等差数列为，且公差为，由题意得，
即有，解得.
故选：B.
4．D
【详解】解：因为，所以；
已知，；所以，；
所以；
即；
故选：D.
5．C
【详解】设圆台的母线长为，上，下底面半径分别为，
则，所以，
表面积.
故选：C.
6．B
【详解】解析：，可化为，
即，即，解得，
又.
故选：B.
7．D
【详解】由得，当时，，
所以曲线在点处的切线方程为，即，
由，得，
所以，解得.
故选：D.
8．A
【详解】因为，所以，又，所以
所以，
所以，所以，
所以（是向量与的夹角）.
所以，
所以，
所以，
所以的最大值为3.
故选：A.
9．BC
【详解】在A中，由，可得或，故A错误；
在B中，由及可知，又由于，所以，故B正确；
在C中，由及可知，又因，所以，故C正确；
在D中，由，，可得或，异面，故D错误.
故选：BC.
10．ABD
【详解】对于A，因为，，，且，所以，即，故A正确；
对于B，，故，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确。
故选：ABD.
11．ACD
【详解】对于A，设，则，故，因为函数是定义在上的奇函数，所以，故A正确；
对于B，函数是定义在上的奇函数，所以；
当时，令，解得；
由奇函数性质可知当时，函数有零点；故函数有3个零点，故B错误；
对于C，当时，，令得，令得，
所以在单调递减，在单调递增，当时，得的极小值为，又时，，所以当时，，
由题可得函数的大致图象，根据奇函数的性质，当时，，
综上所述，的值域为，所以，，都有，故C正确；
对于D，由图象可得的解集为，故D正确；
故选：ACD.
12．//
【详解】由题可知，即
所以，解得或（舍）
所以.
故答案为：.
13．
【详解】依题意，函数是偶函数，且在上单调递减，
所以，即，
即，即，解得或，
故不等式的解集为.
故答案为：
14．11
【详解】因为，
所以，，所以，
又，所以是函数的对称中心，
所以，，所以，
所以，即，
所以是奇数，又函数在区间上单调，
所以即，所以，
当时，不符合题意；
当时，，，又，
取，时，满足，
所以最大值为11.
故答案为：11
15．(1)
(2)2.3 min和4.2 min
【详解】（1）由题意可知，，当时，，
于是，
所以，可得，
解得.
（2）由（1）知，
所以当时，，
所以，
可得，所以；
当时，，
所以，
可得，所以，
所以要将物体的温度降为42℃和32℃，
需要冷却的时间分别为2.3 min和4.2 min.
16．(1)
(2)
【详解】（1）由题可知，.
由题图可知，，所以，又，
所以，
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理，得，
所以
即.
（2）
因为，所以，所以.
所以的取值范围是，所以.
所以当，即时，取得最小值.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点为，连接，，.
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，在平面内，
所以平面，
在中，，，，
由余弦定理可得，
所以，
所以，又为平行四边形
所以，所以
在中，为的中点，所以
由于平面，在平面内，
所以，，
因此直角三角形全等，
则

（2），
，解得，
由（1）可知，又因为为的中点，
所以，所以以为坐标原点，
以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
得，，，，，
设平面的法向量为，，，
则，令，得，
可得，
设平面的法向量为，，
则，令，可得，
所以
所以平面与平面夹角的余弦值是.

18．(1)一个零点，理由见解析
(2)①答案见解析；②
【详解】（1）函数的有1个零点，理由如下：
因为，
所以，所以在上单调递增.
又，而，
所以存在唯一实数，使得，
所以在有且只有一个零点.
（2）①，
则，
当时，，故在上单调递减，
当时，令，得
所以当时，单调递减，
令，得，所以当时，单调递增.
综上所述，当时，在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
②依题意得，即在区间上恒成立
即在上恒成立.
设，，因，
所以在单调递增，所以，所以.
若，由于，故，
即在区间上不恒成立；
若，由①知，
当即时，在上单调递减，在上单调递增.
故，而，即存在，使得，
所以在区间上不恒成立；
当时，即时，记，
则，其中，又，所以，
因此，
所以在上单调递增，所以，即时，.
综上所述，当时，在上恒成立.
19．(1)
(2)①，，；②
【详解】（1）在中，令，得，即，
当时，①，
②，
①-②得，所以，
检验当时，满足上式，所以.
（2）①由已知时，为中奇数的个数，所以
时，为中奇数的个数，所以
时，为中奇数的个数，所以
②当时，，所以
若为奇数，
若为偶数，
所以当为奇数时，
当为偶数时，
综上