上饶市信州区2024-2025学年高三第二次联考数学试卷含解析

这是一份上饶市信州区2024-2025学年高三第二次联考数学试卷含解析，共14页。试卷主要包含了设函数，当时，，则等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若存在点满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．5
2．已知双曲线)，其右焦点F的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
3．若双曲线：的一条渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于，两点，若，则△的内切圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
5．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切，则双曲线的离心率是（ ）
A．2或B．2或C．或D．或
6．已知不等式组表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
7．设函数，当时，，则（ ）
A．B．C．1D．
8．已知非零向量，满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解:
9．已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为( )
A．B．C．D．
10．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ）
A．B．C．D．
11．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是
A．B．C．D．
12．在中，，，，则边上的高为（ ）
A．B．2C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知为等比数列，是它的前项和.若，且与的等差中项为，则__________.
14．的展开式中，的系数为____________.
15．已知数列的前项和为且满足，则数列的通项_______．
16．下图是一个算法的流程图，则输出的x的值为_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某社区服务中心计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶7元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：摄氏度℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为500瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为（单位：瓶）时，的数学期望的取值范围？
18．（12分）已知函数，.
（1）当时，讨论函数的零点个数；
（2）若在上单调递增，且求c的最大值.
19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设为曲线上位于第一，二象限的两个动点，且，射线交曲线分别于，求面积的最小值，并求此时四边形的面积.
20．（12分）已知函数（）的图象在处的切线为（为自然对数的底数）
（1）求的值；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.
21．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.
(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
(2)若点坐标为，圆与直线交于两点，求的值．
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）直线（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求最大时，直线l的直角坐标方程.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.
【详解】
.选B.
本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c的关系式.
2．C
【解析】
计算得到，，代入双曲线化简得到答案.
【详解】
双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，，
故，，故，代入双曲线化简得到：，故.
故选：.
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
3．A
【解析】
根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值.
【详解】
由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得.
故选：A
本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.
4．B
【解析】
设左焦点的坐标， 由AB的弦长可得a的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.
【详解】
由双曲线的方程可设左焦点，由题意可得，
由，可得，
所以双曲线的方程为:
所以，
所以
三角形ABF2的周长为
设内切圆的半径为r，所以三角形的面积，
所以，
解得，
故选：B
本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.
5．A
【解析】
根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率．
【详解】
设双曲线C的渐近线方程为y=kx，是圆的切线得： ，
得双曲线的一条渐近线的方程为 ∴焦点在x、y轴上两种情况讨论：
①当焦点在x轴上时有：
②当焦点在y轴上时有：
∴求得双曲线的离心率 2或．
故选：A．
本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线 的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．
6．C
【解析】
分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值.
详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：
则，所以平面区域的面积，
解得，此时，
由图可得当过点时，取得最大值9，故选C.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.
7．A
【解析】
由降幂公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得参数值．
【详解】
，
时，，，∴，
由题意，∴．
故选：A．
本题考查二倍角公式，考查两角和的正弦公式，考查正弦函数性质，掌握正弦函数性质是解题关键．
8．C
【解析】
根据向量的数量积运算，由向量的关系，可得选项.
【详解】
，
，∴等价于，
故选：C.
本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.
9．A
【解析】
令，构造，要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根，则，解得或，结合的图象，并分，两个情况分类讨论，可求出的值.
【详解】
令，构造，求导得，当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且，
若，即，则，则，且，
故，
若，即，由于，故，故不符合题意，舍去.
故选A.

解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.
10．C
【解析】
设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.
【详解】
设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为，以12：00点为开始算起，则有，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，
所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：
.
故选：C
本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力.
11．A
【解析】
根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.
【详解】
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称
又在上是增函数 在上是减函数
，即
对于恒成立 在上恒成立
，即的取值范围为：
本题正确选项：
本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.
12．C
【解析】
结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得边长，由此求得边上的高.
【详解】
过作，交的延长线于.由于，所以为钝角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即边上的高为.
故选：C
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
设等比数列的公比为，根据题意求出和的值，进而可求得和的值，利用等比数列求和公式可求得的值.
【详解】
由等比数列的性质可得，，
由于与的等差中项为，则，则，，
，，，
因此，.
故答案为：.
本题考查等比数列求和，解答的关键就是等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.
14．16
【解析】
要得到的系数，只要求出二项式中的系数减去的系数的2倍即可
【详解】
的系数为.
故答案为：16
此题考查二项式的系数，属于基础题.
15．
【解析】
先求得时；再由可得时,两式作差可得,进而求解.
【详解】
当时,,解得；
由,可知当时,,两式相减,得,即,
所以数列是首项为,公比为的等比数列,
所以,
故答案为:
本题考查由与的关系求通项公式,考查等比数列的通项公式的应用.
16．1
【解析】
利用流程图，逐次进行运算，直到退出循环，得到输出值.
【详解】
第一次：x＝4，y＝11，
第二次：x＝5，y＝32，
第三次：x＝1，y＝14，此时14＞10×1＋3，输出x，故输出x的值为1．
故答案为：.
本题主要考查程序框图的识别，“还原现场”是求解这类问题的良方，侧重考查逻辑推理的核心素养.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）X的可能取值为300,500,600，结合题意及表格数据计算对应概率，即得解；
（2）由题意得，分，及，分别得到y与n的函数关系式，得到对应的分布列，分析即得解.
【详解】
（1）由题意：X的可能取值为300,500,600

故：六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列为
（2）由题意得.
1°.当时，
利润
此时利润的分布列为
.
2.时，
利润
此时利润的分布列为
.
综上的数学期望的取值范围是.
本题考查了函数与概率统计综合，考查了学生综合分析，数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
18．（1）见解析（2）2
【解析】
（1）将代入可得,令,则,设,则转化问题为与的交点问题,利用导函数判断的图象,即可求解；
（2）由题可得在上恒成立,设,利用导函数可得,则,即,再设,利用导函数求得的最小值,则,进而求解.
【详解】
（1）当时,,定义域为,
由可得,
令,则,
由,得；由,得,
所以在上单调递增,在上单调递减,
则的最大值为,
且当时,；当时,,
由此作出函数的大致图象,如图所示.
由图可知,当时,直线和函数的图象有两个交点,即函数有两个零点；
当或,即或时,直线和函数的图象有一个交点,即函数有一个零点；
当即时,直线与函数的象没有交点,即函数无零点.
（2）因为在上单调递增,即在上恒成立,
设,则,
①若,则,则在上单调递减,显然,
在上不恒成立；
②若,则,在上单调递减,当时,,故,单调递减,不符合题意；
③若,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以,
由,得,
设,则,
当时,,单调递减；
当时,,单调递增,
所以,所以,
又,所以,即c的最大值为2.
本题考查利用导函数研究函数的零点问题,考查利用导函数求最值,考查运算能力与分类讨论思想.
19．（1）；（2）面积的最小值为；四边形的面积为
【解析】
（1）将曲线消去参数即可得到的普通方程，将，代入曲线的极坐标方程即可；
（2）由（1）得曲线的极坐标方程，设，，，
利用方程可得，再利用基本不等式得，即可得，根据题意知，进而可得四边形的面积.
【详解】
（1）由曲线的参数方程为（为参数）消去参数得
曲线的极坐标方程为，即，
所以，曲线的直角坐标方程.
（2）依题意得的极坐标方程为
设，，，
则，，故
，当且仅当（即）时取“=”，
故，即面积的最小值为.
此时，
故所求四边形的面积为.
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20． (1)a=-1,b=1;(2)-1.
【解析】
（1）对求导得，根据函数的图象在处的切线为，列出方程组，即可求出的值；（2）由（1）可得，根据对任意恒成立，等价于对任意恒成立，构造，求出的单调性，由，，，，可得存在唯一的零点，使得，利用单调性可求出，即可求出的最大值.
（1），.
由题意知.
（2）由（1）知：，
∴对任意恒成立
对任意恒成立
对任意恒成立.
令，则.
由于，所以在上单调递增.
又，，，，
所以存在唯一的，使得，且当时，，时，. 即在单调递减，在上单调递增.
所以.
又，即，∴.
∴ .
∵ ，∴ .
又因为对任意恒成立，
又，∴ .
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
21．（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由加减消元得直线的普通方程,由得圆的直角坐标方程；（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根据韦达定理可得结果
试题解析：解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0
又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0
设t1，t2是上述方程的两实数根，
所以t1+t2=3
又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，
所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．
22．（1）；（2）.
【解析】
（1）利用消去参数，得到曲线的普通方程，再将，代入普通方程，即可求出结论；
（2）由（1）得曲线表示圆，直线曲线C交于A，B两点，最大值为圆的直径，直线过圆心，即可求出直线的方程.
【详解】
（1）由曲线C的参数方程（为参数），
可得曲线C的普通方程为，
因为，
所以曲线C的极坐标方程为，
即.
（2）因为直线（t为参数）表示的是过点的直线，
曲线C的普通方程为，
所以当最大时，直线l经过圆心.
直线l的斜率为，方程为，
所以直线l的直角坐标方程为.
本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化、直线与曲线的位置关系，考查化归和转化思想，属于中档题.
最高气温
天数
4
14
36
27
6
3
300
500
600