安徽省合肥一六八中学等校2026届高三最后一卷数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份安徽省合肥一六八中学等校2026届高三最后一卷数学试卷含解析（word版+pdf版），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 集合 ，集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,.
2. 已知复数 满足 (其中 为虚数单位),则 的虚部为
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】因为 ,即 可得 ,所以 .
3.平面向量 满足 ，且向量 的夹角为 ，则
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】因为 ,且向量 的夹角为 ,所以
由 , 得 则 ,解得 (负值舍) .
4.记 为等比数列 的前 项和,若 ,则
A. 4 B. 2 C. 8 D. -8
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为 ,易知 ,由题意 及 ,解得 ,由 , 时, .
5.已知 是椭圆 的左右焦点,点 在椭圆上, 为等腰三角形, ,则椭圆 的离心率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知 ,由 为等腰三角形,且 ,得 过 作 垂直 轴于 ,如图所示,
则在 中， ，故 ， ,所以 ,即 ,
代入直线 的方程 , 得 ,即 ,
所以所求的椭圆离心率为 .
6.将函数 的图象向右平移 个单位长度,得到函数 的图象,则 图象的对称中心的坐标是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得
令 ,得 ,此时
所以 图象的对称中心是 .
7.在三棱锥 中， ， ，二面角 的大小为 ， 则三棱锥 的外接球表面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取 BC 中点 ,连接 , 为二面角 的平面角,
为等边三角形， .
设 的外心为 ， 的外心为 中, 为等边三角形, , ,过 作平面 的垂线,过 作平面 的垂线,交点为球心 ,由二面角 计算得 ,所以表面积为 .
8.已知 ，则下列大小关系正确的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】要证明 ,需证 .
因为 ,得证 . 构造函数 .
求导得 ,故 在 单调递增.
因此 ,即 .
令 ,得 ,得证 .
由 ,得 ,故 . 综上, .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是
A. 若随机变量 ,则
B. 若事件 相互独立,则
C. 若样本数据 的方差为 2,则数据 的方差为 8
D. 用相关指数 刻画回归效果， 越接近 1，说明回归模型的拟合效果越好
【答案】ACD
【解析】对于 ,因随机变量 ,则 ,由正态曲线的对称性可得 ,故 正确;
对于 ,由事件 相互独立可知 ,对于随机事件 ,都有 ,故仅当 互斥时,才有 , 故结论不成立, 即 B 错误;
对于 ,由题意, ,对于数据 ,其均值为 ,其方差为
,故 C 正确;
对于 ,相关指数 越接近 1,值越大,残差平方和接近 0,值越小,则该回归模型的拟合效果越好,故 D 正确.
10.已知 ,其中 最大值为记为 ,则下列正确的是
A. 存在 ,使得函数 为奇函数
B. 任意 ，都有
C. 任意 至少有一个不小于 -1
D. 任意 ，且 ，则
【答案】BC
【解析】易知 错误;
, ;
令 ,则 ,所以 或者 ,
所以 ,选项 B 正确;
设 ,即 矛盾,选项 C 正确;
当 时, ,即 ,此时 ,选项 D 错误.
11.如图,抛物线 ,过点 向抛物线 作两条切线 ,切点分别为 . 切线 分别交 轴于 . 设 ,则下列说法正确的有
A. 过点 的切线方程为
B. 当点 在准线上时, 的最小值为 8
C. 当点 在准线上时,
D. 对任意点 均有
【答案】ABD
【解析】A 显然正确;
对于 B，设 ， 过点 ，所以 ，同理， ，
,联立 , ,
,
,选项 B 正确;
对于 ,易知, ,故 错;
对于 ,又
，所以 ， 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知函数 的图象在 处的切线与直线 垂直，则 ________.
【答案】-3
13.一个质地均匀的正四面体骰子, 其每面分别标有数字 1, 2, 3, 4, 记录每次抛掷向下这个面的点数, 一旦连续两次抛掷的点数之和为质数，则停止抛骰子. 已知第一次抛出的点数为 1，则以数字 1 结束的概率是_______.
【答案】
【解析】设第一次抛出的点数为 ,最终以数字 1 结束的概率记为 ,
1、结束(不是以 1 结束，不记在内)，3、未结束，继续抛
故: ,得 .
14.设数列 ，满足 ， ，记 ，则 的整数部分是________.
【答案】1
【解析】 ,知 .
由 ,知数列 单调递增
由 ,知 ,
得 ,所以
,
由数列 单调递增, ,得 ,得到 , 则 的整数部分为 1 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在 中,三角 所对的边分别为 ,其内切圆与外接圆半径分别为 . 已知 且 ，求:
(1)求 的值；
(2)求 的最大值 .
【解析】(1)由正弦定理得: .
所以由 可得: ,
又由
则 ,得到 ,则 .
(2)由 ，得 ，得 . 而内切圆半径:
其中 时等号成立 .
16.底面 为正方形,侧面 垂直于底面 且 为正三角形, .
(1)若H为DE中点，求证:DE⊥平面ABH；
(2)求平面 ADE 与平面 BCF 所成二面角的平面角大小.
【解析】(1) 取 中点 点，连接 ，由 为正三角形，得到
又侧面 EAD 垂直于底面 ABCD, 平面 平同
所以 平面 ,如图建立空间直角坐标系
于是
所以
由 得到 平面 .
(2)利用 得到
在平面 BCE 中, ,设平面 BCE 的一个法向量为
则 得到:
不妨设 ,则
又由平面 与平面 垂直, 平面 平面 ,
则 平面 ,则 为平面 的一个法向量,
所以 ,
所以平面 ADE 与平面 BCF 所成角的余弦值为 .
17.已知函数 ,其中 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若 有三个零点 ,且 ，求实数 的取值范围.
【解析】
(1) 的定义域为 ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时,令 ,不妨记 ;
所以 在 上单调递增,在 上递减,在 上递增;
综上所述:
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上递减，在 上递增；
(2)设 有三个零点 ，而 .
当 且 时,由 ,得到: ;
故 ,又因为 ,故 满足
所以 ,即 在 有两个不同的实数根
所以 ,得到 .
所以 在 上单增,在 上单减,在 上单增;
取 ,所以 ,
由 设 ,所以 在 上递减,故
,故 在 上递减.
故 ,故
而 ,
取 时, ,
故由根的存性定理可知,当 时,必存在三个不同实数, ,使得 . 故 .
18.已知双曲线 上任意一点 ，则过点 的切线方程为 . 已知焦点在 轴上的双曲线 的离心率为 ，且过点 .
(1)求双曲线 的方程；
( 2 )过双曲线上点 的直线 为双曲线 的切线， 分别与直线 ， 交于 两点，记直线 的斜率分别为 .
(i) 求证: ;
(ii) 若 ,求 的值.
【解析】(1)
(2) (i) 设 ,则 1 的方程: ,
(ii) 由 ，故
因为
又因为 ,代入 ,求得 .
19.将 个不同的数 的任意一个排列 ，记为数列 .
(1) ，有 ，求 的所有元素之和；
(2)将正整数 拆分成若干个 2 的非负整数次幂( 、 、 ……)之和，拆分所得的各项之间不考虑顺序,不同的拆分方式的数量记为 . 例如: 2 可以拆分为 (1种方式),也可以拆分为 (另 1 种方式),共 2 种拆分方式,故 可以拆分为 (1 种方式),也可以拆分为 (另1 种方式),共 2 种拆分方式,故 .
(i) 求 ；
(ii) 求证: .
【解析】( 1 )解法一:当 时， ，
故所有项的和为 28 .
解法二: 共有 种情况,而 出现的次数均为 个,故所有项之和为
.
(2)①解法一:可直接拆分:
,
,
故
解法二: 可以用第②结论来求 .
②先证明: ,
任意整均可拆分成 2 的非负整数次幂，而 2 的幂只有 1 为奇数，要得到奇数 ，必顺用奇数个 1，把任意拆分里的 1 个 1 去掉，便可得 么 的一个拆分，反过来 的任意一个拆分加个 1，便得到 的一个拆分,所以 . -12 分
再证: .
对 的拆分项进行分类,共两类:
1 类为至少含有两个 1 的拆分项, 2 类至多含 1 个 1 的拆分项,
第 1 类至少含有两个 1 的拆分项,将两个 1 去掉,与 2n-2 的拆分项是一一对应的,故这类拆分的数量为 .
2 类 2 类至多含 1 个 1 的拆分项,而总和为偶数,故 1 的个数只能是 0 个,于是 的拆分项,只需考查 的拆分即可,设 ,这里 都是 2 的幂的形式.
所以 ,两边同除 2 得到 的拆分,于是 的拆分项,与 的折分项是一一对应的.故此类拆分数为 .
综上可得: .