铜川市宜君县2024-2025学年高三第三次测评数学试卷含解析

这是一份铜川市宜君县2024-2025学年高三第三次测评数学试卷含解析，文件包含专题08圆与相似三角形四边形综合原卷版pdf、专题08圆与相似三角形四边形综合解析版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值：先用计算机产生个数对，其中，都是区间上的均匀随机数，再统计，能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计的值.若，则的估计值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．下图所示函数图象经过何种变换可以得到的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
4．已知、，，则下列是等式成立的必要不充分条件的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定形式是“，”
B．若平面，，，满足，则
C．随机变量服从正态分布（），若，则
D．设是实数，“”是“”的充分不必要条件
6．已知与分别为函数与函数的图象上一点，则线段的最小值为( )
A．B．C．D．6
7．已知a>0，b>0，a+b =1，若 α=，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．若复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．已知，则（ ）
A．2B．C．D．3
10．点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
11．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：
甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；
乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；
丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）
A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路
C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路
12．已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则__________．
14．已知半径为4的球面上有两点，，球心为O，若球面上的动点C满足二面角的大小为，则四面体的外接球的半径为_________.
15．（5分）函数的定义域是____________．
16．若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知动点到定点的距离比到轴的距离多.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设，是轨迹在上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且时，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为：（其中为参数），直线的参数方程为（其中为参数）
（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；
（2）若曲线与直线交于两点，点的坐标为，求的值.
19．（12分）（1）已知数列满足：，且（为非零常数，），求数列的前项和；
（2）已知数列满足：
（ⅰ）对任意的；
（ⅱ）对任意的，，且.
①若，求数列是等比数列的充要条件.
②求证：数列是等比数列，其中.
20．（12分） [2018·石家庄一检]已知函数．
（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．
21．（12分）设数列是等比数列，，已知, (1)求数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式．
22．（10分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程，
其中，.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
先利用几何概型的概率计算公式算出，能与构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到，能与构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出.
【详解】
因为，都是区间上的均匀随机数，所以有，，若，能与构成锐角三角形三边长，
则，由几何概型的概率计算公式知，
所以.
故选：B.
本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.
2．D
【解析】
圆心坐标为，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．
【详解】
圆的圆心为，
由题意可得，即，，，
则，当且仅当且即时取等号，
故选：．
本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．
3．D
【解析】
根据函数图像得到函数的一个解析式为，再根据平移法则得到答案.
【详解】
设函数解析式为，
根据图像：，，故，即，
，，取，得到，
函数向右平移个单位得到.
故选：.
本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
4．D
【解析】
构造函数，，利用导数分析出这两个函数在区间上均为减函数，由得出，分、、三种情况讨论，利用放缩法结合函数的单调性推导出或，再利用余弦函数的单调性可得出结论.
【详解】
构造函数，，
则，，
所以，函数、在区间上均为减函数，
当时，则，；当时，，.
由得.
①若，则，即，不合乎题意；
②若，则，则，
此时，，
由于函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，则，；
③若，则，则，
此时，
由于函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，则，.
综上所述，.
故选：D.
本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.
5．D
【解析】
由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；或，利用集合间的包含关系可判断选项D.
【详解】
命题“，”的否定形式是“，”，故A错误；，
，则可能相交，故B错误；若，则，所以
，故，所以C错误；由，得或，
故“”是“”的充分不必要条件，D正确.
故选：D.
本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.
6．C
【解析】
利用导数法和两直线平行性质，将线段的最小值转化成切点到直线距离.
【详解】
已知与分别为函数与函数的图象上一点，
可知抛物线存在某条切线与直线平行，则，
设抛物线的切点为，则由可得，
，所以切点为，
则切点到直线的距离为线段的最小值，
则.
故选：C.
本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力.
7．C
【解析】
根据题意，将a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】
∵a>0，b>0，a+b=1，
∴，
当且仅当时取“＝”号．
答案：C
本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.
8．A
【解析】
将 整理成的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限.
【详解】
解：，所以所对应的点为在第一象限.
故选:A.
本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把 当成进行计算.
9．A
【解析】
利用分段函数的性质逐步求解即可得答案．
【详解】
，；
；
故选：．
本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用．
10．C
【解析】
设的中点为，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出平面，这样可以确定动点的轨迹，最后求出动点的轨迹的长度.
【详解】
设的中点为，连接，因此有，而，而平面，，因此有平面，所以动点的轨迹平面与正方体的内切球的交线. 正方体的棱长为2，所以内切球的半径为，建立如下图所示的以为坐标原点的空间直角坐标系：
因此有，设平面的法向量为，所以有
，因此到平面的距离为：，所以截面圆的半径为：，因此动点的轨迹的长度为.
故选：C
本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力.
11．D
【解析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.
【详解】
若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路
故选：D
本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.
12．A
【解析】
根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出，结合，得出，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】
解：由双曲线可知，焦点在轴上，
则双曲线的渐近线方程为：，
由于焦距是虚轴长的2倍，可得：，
∴，
即：，，
所以双曲线的渐近线方程为：.
故选：A.
本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上，
设长方体的长宽高为，由题意可得：
，据此可得：，
则球的表面积：，
结合解得：.
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
14．
【解析】
设所在截面圆的圆心为，中点为，连接，
易知即为二面角的平面角，可求出及，然后可判断出四面体外接球的球心在直线上，在中，，结合，可求出四面体的外接球的半径.
【详解】
设所在截面圆的圆心为，中点为，连接，
OA＝OB，所以，OD⊥AB，同理O1D⊥AB，所以，即为二面角的平面角，
，
因为，所以是等腰直角三角形，，
在中，由cs60º＝，得，由勾股定理，得：，
因为O1到A、B、C三的距离相等，所以，四面体外接球的球心在直线上，
设四面体外接球半径为，
在中，，
由勾股定理可得：，即，解得．
本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题．
15．
【解析】
要使函数有意义，则，即，解得，故函数的定义域是．
16．
【解析】
由焦点坐标得从而可求出，继而得到椭圆的方程，即可求出长轴长.
【详解】
解：因为一个焦点坐标为，则，即，解得或
由表示的是椭圆，则，所以，则椭圆方程为
所以.
故答案为:.
本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的几何意义.本题的易错点是忽略，从而未对 的两个值进行取舍.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）或；（2）证明见解析，定点
【解析】
（1）设，由题意可知，对的正负分情况讨论，从而求得动点的轨迹的方程；
（2）设其方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到，所以，所以直线的方程可表示为，即，所以直线恒过定点．
【详解】
（1）设，
动点到定点的距离比到轴的距离多，
，时，解得，
时，解得.
动点的轨迹的方程为或
（2）证明：如图，设，，
由题意得（否则）且，
所以直线的斜率存在，设其方程为，
将与联立消去，得，
由韦达定理知，，①
显然，，
，，
将①式代入上式整理化简可得：，
所以，
此时，直线的方程可表示为，
即，
所以直线恒过定点.
本题主要考查了动点轨迹，考查了直线与抛物线的综合，是中档题．
18．（1）（2）5
【解析】
（1）首先消去参数得到曲线的普通方程，再根据，，得到曲线的极坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义得解；
【详解】
解：（1）曲线：消去参数得到：，
由，，
得
所以
（2）代入，
设，，由直线的参数方程参数的几何意义得：
本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题．
19．（1）；（2）①；②证明见解析.
【解析】
（1）由条件可得，结合等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求；
（2）①若，可令，运用已知条件和等比数列的性质，即可得到所求充要条件；
②当，，，由等比数列的定义和不等式的性质，化简变形，即可得到所求结论．
【详解】
解：（1），，且为非零常数，，，
可得，
可得数列的首项为，公差为的等差数列，
可得，前项和为；
（2）①若，可令，，
且，即，，，，
对任意的，，可得，
可得，，
数列是等比数列，则，，
可得，，即，
又，即有，即，
数列是等比数列的充要条件为；
②证明：对任意的，，，，，
当，，，
可得，即以为首项、为公比的等比数列；
同理可得以为首项、为公比的等比数列；
对任意的，，可得，
即有，
所以对，，，
可得，，
即且，则，可令，
故数列，，，，，，，，，
是以为首项，为公比的等比数列，其中．
本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法和推理、运算能力，属于难题．
20．（1） （2）见解析
【解析】
试题分析：（1）分别求得和，由点斜式可得切线方程；
（2）由已知条件可得有两个相异实根，，进而再求导可得，结合函数的单调性可得，从而得证.
试题解析：
（1）由已知条件，，当时，，
，当时，，所以所求切线方程为
（2）由已知条件可得有两个相异实根，，
令，则，
1）若，则，单调递增，不可能有两根；
2）若，
令得，可知在上单调递增，在上单调递减，
令解得，
由有，
由有，
从而时函数有两个极值点，
当变化时，，的变化情况如下表
因为，所以，在区间上单调递增，
．
另解：由已知可得，则，令，
则，可知函数在单调递增，在单调递减，
若有两个根，则可得，
当时， ，
所以在区间上单调递增，
所以．
21． (1)（2）
【解析】
本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，数列求和的错位相减求和是数列求和中的重点与难点，要注意掌握．
（1）设等比数列{an}的公比为q，则q+q2=6，解方程可求q
（2）由（1）可求an=a1•qn-1=2n-1，结合数列的特点，考虑利用错位相减可求数列的和
解：（1）
（2），
两式相减：
22．（1）不同的样本的个数为.
（2）①分布列见解析，.
②线性回归方程为.可预测该同学的物理成绩为96分.
【解析】
（1）按比例抽取即可，再用乘法原理计算不同的样本数.
（2）名学生中物理和数学都优秀的有3名学生，任取3名学生，都优秀的学生人数服从超几何分布，故可得其概率分布列及其数学期望.而线性回归方程的计算可用给出的公式计算，并利用得到的回归方程预测该同学的物理成绩.
【详解】
（1）依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名，
18名男同学中应抽取的人数为名，
故不同的样本的个数为.
（2）①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，
∴的取值为0，1，2，3.
∴，，
，.
∴的分布列为
∴.
②∵，.
∴线性回归方程为.
当时，.
可预测该同学的物理成绩为96分.
在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
数学成绩
60
65
70
75
85
87
90
物理成绩
70
77
80
85
90
86
93
76
83
812
526
单调递减
单调递增
单调递减
0
1
2
3