福泉市2025年高三第二次调研数学试卷含解析

这是一份福泉市2025年高三第二次调研数学试卷含解析，文件包含专题08圆与相似三角形四边形综合原卷版pdf、专题08圆与相似三角形四边形综合解析版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（ ）.
A．16B．C．5D．4
2．直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数在上单调递增，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
4．已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知抛物线经过点，焦点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知是定义是上的奇函数，满足，当时， ，则函数在区间上的零点个数是（ ）
A．3B．5C．7D．9
7．定义两种运算“★”与“◆”，对任意，满足下列运算性质：①★，◆；②（）★★ ，◆◆，则（◆2020）（2020★2018）的值为( )
A．B．C．D．
8．设是定义域为的偶函数，且在单调递增，，则（ ）
A．B．
C．D．
9．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：，，，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．已知数列满足，且 ，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
11．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
12．如图，平面与平面相交于，，，点，点，则下列叙述错误的是（ ）
A．直线与异面
B．过只有唯一平面与平行
C．过点只能作唯一平面与垂直
D．过一定能作一平面与垂直
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，椭圆：的离心率为，F是的右焦点，点P是上第一角限内任意一点，，，若，则的取值范围是_______．
14．如图，在矩形中，，是的中点，将，分别沿折起，使得平面平面，平面平面，则所得几何体的外接球的体积为__________.
15．已知多项式的各项系数之和为32，则展开式中含项的系数为______．
16．设为锐角，若，则的值为____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，.
（Ⅰ）判断函数在区间上零点的个数，并证明；
（Ⅱ）函数在区间上的极值点从小到大分别为，，证明：
18．（12分）已知矩阵，，若矩阵，求矩阵的逆矩阵．
19．（12分）已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．
（1）求实数的值；
（2）用表示中的最小值，设函数，若函数
为增函数，求实数的取值范围．
20．（12分）有最大值，且最大值大于.
（1）求的取值范围；
（2）当时，有两个零点，证明：.
(参考数据：)
21．（12分）中的内角，，的对边分别是，，，若，.
（1）求；
（2）若，点为边上一点，且，求的面积.
22．（10分）如图，平面四边形为直角梯形，，，，将绕着翻折到.
（1）为上一点，且，当平面时，求实数的值；
（2）当平面与平面所成的锐二面角大小为时，求与平面所成角的正弦.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
由，可得，由，可得，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.
【详解】
设等比数列公比为，由已知，，即，
解得或（舍），又，所以，
即，故，所以
，当且仅当时，等号成立.
故选：D.
本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题.
2．D
【解析】
根据题干得到点A坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率.
【详解】
因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为，设点A坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为，代入双曲线得到
故答案为：D.
求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).
3．B
【解析】
由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围.
【详解】
由,可得,
时,,而,
又在上单调递增,且,
所以,则,即,故.
故选:B.
本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.
4．D
【解析】
首先将转化为，只需求出的取值范围即可，而表示可行域内的点与圆心距离，数形结合即可得到答案.
【详解】
作出可行域如图所示
设圆心为，则
,
过作直线的垂线，垂足为B，显然，又易得，
所以，，
故.
故选：D.
本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.
5．A
【解析】
先求出，再求焦点坐标，最后求的斜率
【详解】
解：抛物线经过点
，，
，，
故选：A
考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.
6．D
【解析】
根据是定义是上的奇函数，满足，可得函数的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得 ，利用周期性可得函数在区间上的零点个数．
【详解】
∵是定义是上的奇函数，满足， ，可得，
函数的周期为3，
∵当时， ，
令，则，解得或1，
又∵函数是定义域为的奇函数，
∴在区间上，有．
由，取，得 ，得，
∴．
又∵函数是周期为3的周期函数，
∴方程=0在区间上的解有 共9个，
故选D．
本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题．
7．B
【解析】
根据新运算的定义分别得出◆2020和2020★2018的值，可得选项.
【详解】
由（）★★ ，得（+2）★★，
又★，所以★，★，★， ，以此类推，2020★2018★2018，
又◆◆，◆，
所以◆，◆，◆， ，以此类推，◆2020，
所以（◆2020）（2020★2018），
故选：B.
本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题.
8．C
【解析】
根据偶函数的性质，比较即可.
【详解】
解：
显然，所以
是定义域为的偶函数，且在单调递增，
所以
故选：C
本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.
9．B
【解析】
先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求.
【详解】
解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有，
其和等于16的结果，共2种等可能的结果，
故概率.
故选：B.
古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.
10．D
【解析】
试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是，故选D．
考点：数列的通项公式．
11．C
【解析】
根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.
【详解】
最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.
本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.
12．D
【解析】
根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断.
【详解】
A.假设直线与共面，则A，D，B，C共面，则AB，CD共面，与，矛盾， 故正确.
B. 根据异面直线的性质知，过只有唯一平面与平行，故正确.
C. 根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.
D. 根据异面直线的性质知，过不一定能作一平面与垂直，故错误.
故选：D
本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由于点在椭圆上运动时，与轴的正方向的夹角在变，所以先设，又由，可知，从而可得，而点在椭圆上，所以将点的坐标代入椭圆方程中化简可得结果．
【详解】
设，，，则，
由，得，代入椭圆方程，
得，化简得恒成立，
由此得，即，故．
故答案为：
此题考查的是利用椭圆中相关两个点的关系求离心率，综合性强，属于难题 ．
14．
【解析】
根据题意，画出空间几何体，设的中点分别为，并连接，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体的外接球的球心为，即可求得其外接球的体积.
【详解】
由题可得，，均为等腰直角三角形，如图所示，
设的中点分别为，
连接，
则，.
因为平面平面，平面平面，
所以平面，平面，
易得，
则几何体的外接球的球心为，半径，
所以几何体的外接球的体积为.
故答案为：.
本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.
15．
【解析】
令可得各项系数和为，得出,根据第一个因式展开式的常数项与第二个因式的展开式含一次项的积与第一个因式展开式含x的一次项与第二个因式常数项的积的和即为展开式中含项，可得解.
【详解】
令，
则得，
解得，
所以展开式中含项为：，
故答案为：
本题主要考查了二项展开式的系数和，二项展开式特定项，赋值法，属于中档题.
16．
【解析】
∵为锐角，，∴，
∴，，
故.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）函数在区间上有两个零点.见解析（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据题意，，利用导函数研究函数的单调性，分类讨论在区间的单调区间和极值，进而研究零点个数问题；
（Ⅱ）求导，，由于在区间上的极值点从小到大分别为，，求出，利用导数结合单调性和极值点，即可证明出.
【详解】
解：（Ⅰ），
，
当时，，，
在区间上单调递减，，
在区间上无零点；
当时，，
在区间上单调递增，，
在区间上唯一零点；
当时，，，
在区间上单调递减，，；
在区间上唯一零点；
综上可知，函数在区间上有两个零点.
（Ⅱ），，
由（Ⅰ）知在无极值点；
在有极小值点，即为；在有极大值点，即为，
由，即，，2…
，，
，，，，以及的单调性，
，，
，，由函数在单调递增，
得，
，
由在单调递减，得，
即，故.
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，通过导数解决函数零点个数问题和证明不等式，考查转化思想和计算能力.
18．．
【解析】
试题分析：，所以．
试题解析：
B．因为，
所以．
19．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先求导，然后利用导数等于求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得；（2）设与交点的横坐标为，利用导数求得，从而，然后利用求得的取值范围为.
试题解析：
（1）对求导得．
设直线与曲线切于点，则
，解得，
所以的值为1．
（2）记函数，下面考察函数的符号，
对函数求导得．
当时，恒成立．
当时，，
从而．
∴在上恒成立，故在上单调递减．
，∴，
又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使．
∴；，，
∴，
从而，
∴，
由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．
①当时，在上恒成立，即在上恒成立，
记，则，
当变化时，变化情况列表如下：
∴，
故“在上恒成立”只需，即．
②当时，，当时，在上恒成立，
综合①②知，当时，函数为增函数．
故实数的取值范围是
考点：函数导数与不等式.
【方法点晴】
函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：一个是切点，一个是斜率，切点即在原来函数图象上，也在切线上；斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略，先求得的表达式，然后再求得的表达式，我们就可以利用导数这个工具来求的取值范围了.
20．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）求出函数的定义域为，，分和两种情况讨论，分析函数的单调性，求出函数的最大值，即可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围；
（2）利用导数分析出函数在上递增，在上递减，可得出，由，构造函数，证明出，进而得出，再由函数在区间上的单调性可证得结论.
【详解】
（1）函数的定义域为，且.
当时，对任意的，，
此时函数在上为增函数，函数为最大值；
当时，令，得.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，
即，解得.
综上所述，实数的取值范围是；
（2）当时，，定义域为，
，当时，；当时，.
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
由于函数有两个零点、且，，
，
构造函数，其中，
，
令，，当时，，
所以，函数在区间上单调递减，则，则.
所以，函数在区间上单调递减，
，，
即，即，
，且，而函数在上为减函数，
所以，，因此，.
本题考查利用函数的最值求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，利用所证不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于难题.
21．（1）（2）10
【解析】
（1）由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得，再根据二倍角的余弦公式计算即可；
（2）由已知可得，利用余弦定理解出，由已知计算出与，再根据三角形的面积公式求出结果即可.
【详解】
（1），
，
在中，由正弦定理得，，
又，
，
，
（2），，
，
由余弦定理得，，
则，
化简得，，
解得或（负值舍去），
，，
，，
，
的面积.
本题考查了三角形面积公式以及正弦定理、余弦定理的应用，考查了二倍角公式的应用，考查了运算能力，属于基础题.
22．（1）；（2）.
【解析】
（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质定理可推导出，然后利用平行线分线段成比例定理可求得的值；
（2）取中点，连接、，过点作，则，作于，连接，推导出，，可得出为平面与平面所成的锐二面角，由此计算出、，并证明出平面，可得出直线与平面所成的角为，进而可求得与平面所成角的正弦值.
【详解】
（1）连接交于点，连接，
平面，平面，平面平面，，
在梯形中，，则，，
，，所以，；
（2）取中点，连接、，过点作，则，作于，连接.

为的中点，且，，且，
所以，四边形为平行四边形，由于，，
，，，，，
为的中点，所以，，，同理，
，，，平面，
，，，为面与面所成的锐二面角，
，
，，，则，
，，
平面，平面，，
，，面，
为与底面所成的角，
，，.
在中，.
因此，与平面所成角的正弦值为.
本题考查利用线面平行的性质求参数，同时也考查了线面角的计算，涉及利用二面角求线段长度，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
3
0
极小值