安徽省六安市2025_2026学年高一数学上学期期末试题含解析

这是一份安徽省六安市2025_2026学年高一数学上学期期末试题含解析，共9页。试卷主要包含了 如果角的终边过点，则， 已知，，，则，，的大小关系是， 函数的图象大致为， 已知，则， 已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 如果角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题知，角α的终边过点（，﹣1），求出此点到原点的距离，再有任意角三角函数的定义直接求出sinα的值即可选出正确选项
【详解】由题意，即（，﹣1），
点（，﹣1）到原点距离是2，
由定义知sinα
故选B．
【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，解题的关键是理解任意角三角函数的定义，由定义直接得出三角函数值，属于三角函数中的基本概念型题
2. 已知扇形面积为，圆心角为弧度，则扇形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设扇形所在圆的半径为，扇形的弧长为，根据条件有，解出即可求解.
【详解】设扇形所在圆的半径为，扇形的弧长为，
因为扇形面积为，圆心角为弧度，则，解得，
所以扇形的周长为，
故选：D.
3. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用“”分段法来求得正确答案.
【详解】由题知，，，所以．
故选：B
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义域、奇偶性、特殊点的函数值进行分析，从而确定正确答案.
【详解】函数的定义域是，
，所以是偶函数，
图象关于轴对称，排除A选项.
，排除BC选项，所以D选项正确
故选：D
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，
所以，，
所以，
故选：B.
6. 若函数的值域为，则实数k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，问题转化为函数的值域包含所有正数，分和讨论求解.
【详解】由函数的值域为R，得的值域包含所有正数，
当时，得符合题意；
当时，则，解得；
综上，.
故选：D.
7. 已知函数且，若在区间上有最大值，无最小值，则的最大值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据可得的一条对称轴,进而求得满足的关系式,再根据在区间上有最大值,无最小值求得周期满足的关系式,进而求得的范围.
【详解】函数且,
直线为的图像的一条对称轴,
,.
,.又,且在区间上有最大值,无最小值,,,
,当时,为最大值.
故选：D
【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质与应用,属于难题.
8. 已知函数若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数及，列式得出，则，再换元法应用二次函数值域求解.
【详解】作出的图象，如图所示.
由，得，则，
则，
令，则，
当时，函数的取值范围是.
故选：B.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9. （多选题）下列说法正确是（ ）
A. 函数恒过定点
B. 函数与的图象关于直线对称
C. ，当时，恒有
D. 若幂函数在单调递减，则
【答案】BD
【解析】
【分析】由对数的性质可判断A；由反函数的性质可判断B；由指数函数的增长速度远远快于一次函数，可判断C；由幂函数的性质可判断D.
【详解】对于A，函数，令，得，，所以函数恒过定点，故A错误；
对于B，函数与互为反函数，所以函数与的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，因为指数函数的增长速度远远快于一次函数，所以时，恒有，故C错误；
对于D，由幂函数性质可知，幂函数在单调递减，则，故D正确.
故选：BD.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 为增函数
C. 的值域为D. 方程最多有两个解
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的分段函数，计算判断AB；分段求出函数值集合判断C；结合函数图象判断D作答.
【详解】对于A，显然，，则，A正确；
对于B，显然，，有，B错误；
对于C，当时，，当时，，因此的值域为，C正确；
对于D，如图，当时，方程无解；当时，方程有两个解；

当时，方程有一个解，因此方程最多有两个解，D正确.
故选：ACD
11. 函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 的最小值为
C. 当取最小值时，的最大值为
D. 若在区间上至少有10个零点，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】先根据图象求出函数的解析式，对于选项A，把点待人解析式判断；对于选项B，解出零点，作差，求的最小值；对于选项C，由最小时求出，的值，代入通过三角函数恒等变换判断；对于选项D，将零点逐一写出求解.
【详解】根据图象得，，
∴，.
又，∴，又，∴，
所以，由，
∴，∴，
∵，∴，∴.
对于A选项，∵，
∴的图象关于点对称，故选项A错误；
对于B选项，令，得，∴，
∴或，.
∵，记，，∴，，
，，∴，，
∴，
当时，，故B选项正确；
对于选项C，取，则，.
，
当时，取最大值，故C选项正确；
对于选项D，在上的10个零点依次为，，，，，，，，，.
∵在上至少有10个零点，∴，故D选项正确.
故选：BCD.
【点睛】本题根据图象求出函数的解析式是解题的关键，根据最大值和最小值求出振幅A，根据周期求出.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量共线可得，存在实数，使，待定系数，即可得答案.
【详解】因为与是共线向量，
所以存在实数，使，即，
所以，解得.
故答案为：
13. 已知，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由得，联立得，进而得，计算得，结合角的范围即可求解.
【详解】由，
又，所以，
所以，
所以，
又，所以，所以.
故答案为：
14. 已知函数满足，若，且，则的值为__________.
【答案】##0.8
【解析】
【分析】先根据最值得出，再结合值域及两角差余弦公式得出，最后应用降幂扩角公式计算求解.
【详解】因为满足，所以，
所以，又，所以，得，
因为，所以，又，
结合正弦函数图象可知，和关于直线对称，故且，
所以，
，
因为，所以.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤
15. （1）求值：；
（2）已知都是锐角，，求值.
【答案】（1）1；（2）.
【解析】
【分析】（1）先进行切化弦，将变为，通分并根据辅助角公式，将其化为，由二倍角公式及诱导公式即可化简得原式的值；
（2）由同角三角函数的平方关系，分别求得，再根据两角差的正弦公式求得的值.
【详解】（1）
；
（2）∵是锐角，；
∵都是锐角，，所以.
，，
.
16. 已知函数.
（1）当时，求该函数的值域；
（2）若对于恒成立，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算性质可得，令，则.利用二次函数的单调性求值域即可.
（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为最值问题，结合函数单调性求出最值即可.
【小问1详解】
函数的定义域为.
.
令，则.
当时，.
所以当时，，
当时，，
所以当时，该函数的值域为.
【小问2详解】
当时，.
原不等式可化为，即对恒成立.
令任取，则
所以，
则在上单调递增，所以.
故，即的最小值为.
17. 已知函数.
（1）求函数单调增区间；
（2）解不等式；
（3）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过辅助角公式和二倍角公式将函数化为的结构，利用正弦函数的单调性求解；
（2）将看作整体角，原不等式可转化为求解；
（3）通过图象伸缩变换与平移变换得到的解析式，借助求解方程.
【小问1详解】
因为，
令，解得，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
解不等式，
解得：，即，
所以不等式的解集为.
【小问3详解】
由题意可知，
令，则或，
解得或，
满足内的根有，当时，符合，符合，
所以所有符合的根之和为.
18. 为了便于市民运动，南充市市政府准备对公园旁边部分区域进行改造.如图，在道路的一侧修建一条新步道，该步道由三部分共同组成.新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧.
（1）求曲线段的解析式；
（2）若计划在扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，若矩形的面积记为.
（i）求的大小；
（ii）当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）当时，取得最大值
【解析】
【分析】（1）观察图象得到，进而求出，即可得到曲线段的解析式；
（2）（i）在（1）中令，求出的值，在先求出锐角，即可求出；（ii）用表示出，从而得到，进而得到的表达式，即可利用三角函数求出的最大值.
【小问1详解】
由题意可得，，即，
且，则，
所以曲线段FBC的解析式为；
【小问2详解】
（i）当时，，
又因为，则，
可知锐角，所以；
（ii）由（1）可知，且，
则，
可得，
则
；
因为，则，
可知当，即时，，
所以当时，取得最大值．
19. 已知函数，是定义在R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断在R上的单调性，并证明你的结论；
（3）若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数t的取值范围．
【答案】（1）
（2）在R上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质即可求解.
（2）利用作差法，根据函数单调性的定义即可判断.
（3）结合已知条件及函数的单调性将已知条件转化为关于x的方程有两个不等实根；再利用换元法令，
得出关于k的方程有两个大于1的不等实根；最后根据方程与函数的关系，借助函数图象即可求解.
【小问1详解】
∵是定义在R上的奇函数，
∴，解得．
经检验时，是奇函数．
所以．
【小问2详解】
在R上单调递增．
证明如下：
任取，且
则．
由，及函数为增函数可得：，
∴，得，
∴在R上单调递增．
【小问3详解】
由（2）的结论易知在上单调递增．
因为函数在上的值域为，
所以
即关于x的方程有两个不等实根．
令，
则关于k的方程有两个大于1的不等实根.
故函数与的图象有两个不同交点.
作出函数的图象
由图可知，
故实数t的取值范围为．