2025年茂名市化州市高三下第一次测试数学试题含解析

这是一份2025年茂名市化州市高三下第一次测试数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知抛物线，已知数列的前项和为，且，，则，在的展开式中，的系数为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ）
A．2B．3C．4D．1
2．函数，，则“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知向量，是单位向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知抛物线：（）的焦点为，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，，则抛物线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（ ）
A．2B．4C．D．8
6．设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
7．已知数列的前项和为，且，，则( )
A．B．C．D．
8．已知双曲线的一个焦点为，点是的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过且交的左支于两点，若，的面积为8，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．在的展开式中，的系数为( )
A．-120B．120C．-15D．15
10．已知函数，若关于的方程恰好有3个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_____.
14．已知向量，，且，则实数m的值是________．
15．设实数，满足，则的最大值是______.
16．某种牛肉干每袋的质量服从正态分布，质检部门的检测数据显示：该正态分布为，.某旅游团游客共购买这种牛肉干100袋，估计其中质量低于的袋数大约是_____袋.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，焦点在轴上的椭圆与焦点在轴上的椭圆都过点，中心都在坐标原点，且椭圆与的离心率均为．
（Ⅰ）求椭圆与椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点M的互相垂直的两直线分别与，交于点A，B（点A、B不同于点M），当的面积取最大值时，求两直线MA，MB斜率的比值.
18．（12分）如图，四边形中，，，，沿对角线将翻折成，使得.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19．（12分）如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，.
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
20．（12分）如图，在中，，，点在线段上.
（1）若，求的长；
（2）若，，求的面积.
21．（12分）已知函数，.
（1）若对于任意实数，恒成立，求实数的范围；
（2）当时，是否存在实数，使曲线：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
22．（10分）已知函数，曲线在点处的切线方程为
求a，b的值；
证明：．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.
【详解】
根据实际问题可以转化为等比数列问题，
在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值．
因为，解得，，解得．故选B．
本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.
2．B
【解析】
根据函数奇偶性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
设，若函数是上的奇函数，则，所以，函数的图象关于轴对称.
所以，“是奇函数”“的图象关于轴对称”；
若函数是上的偶函数，则，所以，函数的图象关于轴对称.
所以，“的图象关于轴对称”“是奇函数”.
因此，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件.
故选：B.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键，考查推理能力，属于中等题.
3．C
【解析】
设，根据题意求出的值，代入向量夹角公式，即可得答案；
【详解】
设，，
是单位向量，,
，，
联立方程解得：或
当时，；
当时，；
综上所述：.
故选：C.
本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意的两种情况.
4．C
【解析】
根据抛物线方程求得点的坐标，根据轴、列方程，解方程求得的值.
【详解】
不妨设在第一象限，由于在抛物线上，所以，由于以为圆心的圆与的准线相切于点，根据抛物线的定义可知，、轴，且.由于，所以直线的倾斜角为，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以抛物线的方程为.
故选：C
本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
5．B
【解析】
根据题意得到，，解得答案.
【详解】
，，解得或（舍去）.
故.
故选：.
本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.
6．C
【解析】
根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
【详解】
解：是奇函数，是偶函数，
，，
，故函数是奇函数，故错误，
为偶函数，故错误，
是奇函数，故正确．
为偶函数，故错误，
故选：．
本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．
7．C
【解析】
根据已知条件判断出数列是等比数列，求得其通项公式，由此求得.
【详解】
由于，所以数列是等比数列，其首项为，第二项为，所以公比为.所以，所以.
故选：C
本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.
8．B
【解析】
由双曲线的对称性可得即，又，从而可得的渐近线方程.
【详解】
设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的对称性，四边形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，，所以，的渐近线方程为.
故选B
本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题.
9．C
【解析】
写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数．
【详解】
的展开式的通项公式为，令，即时，系数为．故选C
本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．
10．D
【解析】
讨论，，三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.
【详解】
当时，，故，函数在上单调递增，在上单调递减，且；
当时，；
当时，，，函数单调递减；
如图所示画出函数图像，则，故.
故选：.
本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.
11．B
【解析】
直接利用集合的基本运算求解即可．
【详解】
解：全集，集合，，
则，
故选：．
本题考查集合的基本运算，属于基础题．
12．B
【解析】
先求出直线l的方程为y（x﹣c），与y＝±x联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率．
【详解】
双曲线1（a＞b＞0）的渐近线方程为y＝±x，
∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，
∴kl，
∴直线l的方程为y（x﹣c），
与y＝±x联立，可得y或y，
∵，
∴2•，
∴ab，
∴c＝2b，
∴e．
故选B．
本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
试题分析：根据题意设三角形的三边长分别设为为，所对的角为最大角，设为，则根据余弦定理得，故答案为.
考点：余弦定理及等比数列的定义.
14．1
【解析】
根据即可得出，从而求出m的值．
【详解】
解：∵；
∴；
∴m＝1．
故答案为：1．
本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．
15．1
【解析】
根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断求出目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解．
【详解】
作出实数，满足表示的平面区域，如图所示：
由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越小，越大.
由可得，此时最大为1，
故答案为：1．
本题主要考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想．
16．1
【解析】
根据正态分布对称性，求得质量低于的袋数的估计值.
【详解】
由于，所以，所以袋牛肉干中，质量低于的袋数大约是袋.
故答案为：
本小题主要考查正态分布对称性的应用，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1），（2）
【解析】
分析：(1)根据题的条件，得到对应的椭圆的上顶点，即可以求得椭圆中相应的参数，结合椭圆的离心率的大小，求得相应的参数，从而求得椭圆的方程；
(2)设出一条直线的方程，与椭圆的方程联立，消元，利用求根公式求得对应点的坐标，进一步求得向量的坐标，将S表示为关于k的函数关系，从眼角函数的角度去求最值，从而求得结果.
详解：（Ⅰ）依题意得对：，，得：；
同理：.
（Ⅱ）设直线的斜率分别为，则MA：，与椭圆方程联立得：
，得，得,，所以
同理可得.所以,
从而可以求得因为，
所以，不妨设
，所以当最大时，，此时两直线MA，MB斜率的比值.
点睛：该题考查的是有关椭圆与直线的综合题，在解题的过程中，注意椭圆的对称性，以及其特殊性，与y轴的交点即为椭圆的上顶点，结合椭圆焦点所在轴，得到相应的参数的值，再者就是应用离心率的大小找参数之间的关系，在研究直线与椭圆相交的问题时，首先设出直线的方程，与椭圆的方程联立，求得结果，注意从函数的角度研究问题.
18．（1）见证明；（2）
【解析】
（1）取的中点，连.可证得，，于是可得平面，进而可得结论成立．（2）运用几何法或向量法求解可得所求角的正弦值．
【详解】
（1）证明：取的中点，连.
∵，
∴．
又，
∴.
在中，，
∴．
又，
∴平面，
又平面，
∴.
（2）解法1：取的中点，连结，
∵，
∴,
又，
∴．
又由题意得为等边三角形，
∴，
∵，
∴平面．
作，则有平面，
∴就是直线与平面所成的角．
设，则，
在等边中，．
又在中，，故．
在中，由余弦定理得，
∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
解法2：由题意可得，建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设，则在直角三角形中，可得，
作于，则有平面几何知识可得，
∴．
又可得，.
∴,．
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，则得．
又，
设直线与平面所成的角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
利用向量法求解直线和平面所成角时，关键点是恰当建立空间直角坐标系，确定斜线的方向向量和平面的法向量．解题时通过平面的法向量和直线的方向向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角．求解时注意向量的夹角与线面角间的关系．
19．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）取的中点为，连结，易证四边形为平行四边形，即，由于，为的中点，可得到，从而得到，即可证明平面，从而得到；（Ⅱ）易证，，两两垂直，以，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，设与平面所成角为，则，即可得到答案．
【详解】
解：（Ⅰ）取的中点为，连结.
由是三棱台得，平面平面，从而.
∵，∴，
∴四边形为平行四边形，∴.
∵，为的中点，
∴，∴.
∵平面平面，且交线为，平面，
∴平面，而平面，
∴.
（Ⅱ）连结.
由是正三角形，且为中点，则.
由（Ⅰ）知，平面，，
∴，，
∴，，两两垂直.
以，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，
∴，，.
设平面的一个法向量为.
由可得，.
令，则，，∴.
设与平面所成角为，则.
本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题．
20．（1）（2）
【解析】
（1）先根据平方关系求出,再根据正弦定理即可求出；
（2）分别在和中，根据正弦定理列出两个等式，两式相除，利用题目条件即可求出，再根据余弦定理求出，即可根据求出的面积．
【详解】
（1）由，得，所以.
由正弦定理得，，即，得.
（2）由正弦定理，在中，，①
在中，，②
又，，，
由得，
由余弦定理得，
即，解得，
所以的面积.
本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
21．（1）；（2）不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直.
【解析】
（1）分类时，恒成立，时，分离参数为，引入新函数，利用导数求得函数最值即可；
（2），导出导函数，问题转化为在上有解．再用导数研究的性质可得．
【详解】
解：（1）因为当时，恒成立，
所以，若，为任意实数，恒成立.
若，恒成立，
即当时，，
设，，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以当时，取得最大值.
，
所以，要使时，恒成立，的取值范围为.
（2）由题意，曲线为：.
令，
所以，
设，则，
当时，，
故在上为增函数，因此在区间上的最小值，
所以，
当时，，，
所以，
曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程在上有实数解.
而，即方程无实数解.
故不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直.
本题考查不等式恒成立，考查用导数的几何意义，由导数几何把问题进行转化是解题关键．本题属于困难题．
22．（1）；（2）见解析
【解析】
分析：第一问结合导数的几何意义以及切点在切线上也在函数图像上，从而建立关于的等量关系式，从而求得结果；第二问可以有两种方法，一是将不等式转化，构造新函数，利用导数研究函数的最值，从而求得结果，二是利用中间量来完成，这样利用不等式的传递性来完成，再者这种方法可以简化运算.
详解：（1）解：，由题意有，解得
（2）证明：（方法一）由（1）知，.设
则只需证明
，设
则， 在上单调递增
，
，使得
且当时，，当时，
当时，，单调递减
当时，，单调递增
，由，得，
，
设，，
当时，，在单调递减，
，因此
（方法二）先证当时， ，即证
设，则，且
，在单调递增，
在单调递增，则当时，
（也可直接分析 显然成立）
再证
设，则，令，得
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
，即
又，
点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的综合问题，在求解的过程中，涉及到的知识点有导数的几何意义，有关切线的问题，还有就是应用导数证明不等式，可以构造新函数，转化为最值问题来解决，也可以借用不等式的传递性，借助中间量来完成.