2025年天水市武山县高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷含解析

这是一份2025年天水市武山县高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷含解析，共30页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知函数，则，已知复数，若，则的值为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设椭圆：的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（ ）
A．B．C．D．
2．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数为奇函数，则（ ）
A．B．1C．2D．3
4．已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为( )
A．②③B．②③④C．①④D．①②③
5．已知定义在上的奇函数满足：（其中），且在区间上是减函数，令，，，则，，的大小关系（用不等号连接）为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知复数，若，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
8．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
9．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为( )
A．B．C．D．
10．已知纯虚数满足，其中为虚数单位，则实数等于（ ）
A．B．1C．D．2
11．已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
12．已知是平面内互不相等的两个非零向量,且与的夹角为,则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面直角坐标系xOy中，己知直线与函数的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为，，…，若点的横坐标为1，则点的横坐标为________.
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，向量（4，﹣n），（Sn，n+3）.若⊥，则数列{}前2020项和为_____
15．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为__________.
16．在四棱锥中，底面为正方形，面分别是棱的中点，过的平面交棱于点，则四边形面积为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，为数列的前项和，记，证明：．
18．（12分）曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线，的交点分别为、（、异于原点），当斜率时，求的最小值.
19．（12分）如图，为等腰直角三角形，，D为AC上一点，将沿BD折起，得到三棱锥，且使得在底面BCD的投影E在线段BC上，连接AE.

（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值.
20．（12分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；
（Ⅲ）记表示学生的考核成绩在区间的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．
21．（12分）已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：
（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）已知点，直线与圆相交于、两点，求的值.
22．（10分）如图，正方体的棱长为2，为棱的中点.
（1）面出过点且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；
（2）求与该平面所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
连接，为的中位线，从而，且，进而，由此能求出椭圆的离心率.
【详解】
如图，连接，
椭圆：的右顶点为A，右焦点为F，
B、C为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B在第二象限，
直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点
为的中位线，
，且，
，
解得椭圆的离心率.
故选：C
本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.
2．A
【解析】
根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.
【详解】
如图所示：
设内切球球心为，到平面的距离为，截面圆的半径为，
因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为，
又因为，所以，
又因为，
所以，所以，
所以截面圆的半径，所以截面圆的面积为.
故选：A.
本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.
3．B
【解析】
根据整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出的值.
【详解】
依题意是奇函数.而为奇函数，为偶函数，所以为偶函数，故，也即，化简得，所以.
故选：B
本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题.
4．C
【解析】
根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.
【详解】
根据面面平行的性质以及判定定理可得，若，，则，故①正确；
若，，平面可能相交，故②错误；
若，，则可能平行，故③错误；
由线面垂直的性质可得，④正确；
故选：C
本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.
5．A
【解析】
因为，所以，即周期为４，因为为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图在（０，１）单调递增，因为，因此，选Ａ．
点睛：函数对称性代数表示
（1）函数为奇函数 ，函数为偶函数（定义域关于原点对称）；
（2）函数关于点对称，函数关于直线对称，
（3）函数周期为T,则
6．A
【解析】
根据分段函数解析式，先求得的值，再求得的值.
【详解】
依题意，.
故选：A
本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.
7．D
【解析】
由复数模的定义可得：，求解关于实数的方程可得：.
本题选择D选项.
8．C
【解析】
如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．
考点：外接球表面积和椎体的体积．
9．D
【解析】
设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.
【详解】
设圆柱的底面半径为,则其母线长为,
因为圆柱的表面积公式为，
所以,解得,
因为圆柱的体积公式为,
所以,
由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的，
所以所求圆柱内切球的体积为
.
故选:D
本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.
10．B
【解析】
先根据复数的除法表示出，然后根据是纯虚数求解出对应的的值即可.
【详解】
因为，所以，
又因为是纯虚数，所以，所以.
故选：B.
本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数为纯虚数，则有.
11．C
【解析】
转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解.
【详解】
函数，，的零点，即为与，，的交点，
作出与，，的图象，
如图所示，可知
故选：C
本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.
12．C
【解析】
试题分析：如下图所示，则，因为与的夹角为，即，所以，设，则，在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，故选C．
考点：1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1
【解析】
当时，得，或，依题意可得，可求得，继而可得答案．
【详解】
因为点的横坐标为1，即当时，，
所以或，
又直线与函数的图象在轴右侧的公共点从左到右依次为，，
所以，
故，
所以函数的关系式为．
当时，（1），
即点的横坐标为1，为二函数的图象的第二个公共点．
故答案为：1．
本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力及思维能力，属于中档题．
14．
【解析】
由已知可得•4Sn﹣n（n+3）＝0，可得Sn，n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1.可得：2（）.利用裂项求和方法即可得出.
【详解】
∵⊥，∴•4Sn﹣n（n+3）＝0，
∴Sn，n＝1时，a1＝S1＝1.
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1.
，满足上式，.
∴2（）.
∴数列{}前2020项和为
2（1）＝2（1）.
故答案为：.
本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
15．
【解析】
如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，计算得到，得到答案.
【详解】
如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，
则，所以，所以球的半径，
则球的表面积为.
故答案为：.
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥补成长方体是解题的关键.
16．
【解析】
设是中点，由于分别是棱的中点，所以，所以，所以四边形是平行四边形.由于平面，所以，而，，所以平面，所以.由于，所以，也即，所以四边形是矩形.
而.
从而.
故答案为：.
本小题主要考查空间平面图形面积的计算，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ），；（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）由，且成等差数列，可求得q，从而可得本题答案；
（Ⅱ）化简求得，然后求得，再用裂项相消法求，即可得到本题答案.
【详解】
（Ⅰ）因为数列是各项均为正数的等比数列，，可设公比为q，，
又成等差数列，
所以，即，
解得或（舍去），则，；
（Ⅱ）证明：，
，，
则，
因为，所以
即.
本题主要考查等差等比数列的综合应用，以及用裂项相消法求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.
18．（1）的极坐标方程为；曲线的直角坐标方程.（2）
【解析】
(1)消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可求解.
(2)解法1：设直线的倾斜角为，把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，求得，再把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；
解法2：设直线的极坐标方程为，分别代入曲线，的极坐标方程，得， ，得出，即可基本不等式，即可求解.
【详解】
(1) 由题曲线的参数方程为（为参数），消去参数，
可得曲线的直角坐标方程为，即，
则曲线的极坐标方程为，即，
又因为曲线的极坐标方程为，即，
根据，代入即可求解曲线的直角坐标方程.
(2)解法1：设直线的倾斜角为，
则直线的参数方程为（为参数，），
把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，
解得，，，
把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，
解得，，，
，
，即，，，
，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
解法2：设直线的极坐标方程为），
代入曲线的极坐标方程，得，，
把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程得：，
，即，，
曲线的参，即，
，，，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程点互化，以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）由折叠过程知与平面垂直，得，再取中点，可证与平面垂直，得，从而可得线面垂直，再得线线垂直；
（2）由已知得为中点，以为原点，所在直线为轴，在平面内过作的垂线为轴建立空间直角坐标系，由已知求出线段长，得出各点坐标，用平面的法向量计算二面角的余弦．
【详解】
（1）易知与平面垂直，∴，
连接，取中点，连接，
由得，，
∴平面，平面，∴，
又，∴平面，∴；
（2）由，知是中点，
令，则，
由，，
∴，解得，故．
以为原点，所在直线为轴，在平面内过作的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，，设平面的法向量为，
则，取，则．
又易知平面的一个法向量为，
．
∴二面角的余弦值为．
本题考查证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角．证线线垂直，一般先证线面垂直，而证线面垂直又要证线线垂直，注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的转化．求空间角，常用方法就是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角．
20．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；
（Ⅱ）结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可；
（Ⅲ）求出满足的成绩有16个，求出满足条件的概率即可．
【详解】
解：（Ⅰ）设这名学生考核优秀为事件，
由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，
所以所求概率约为
（Ⅱ）设从图中考核成绩满足的学生中任取2人，
至少有一人考核成绩优秀为事件，
因为表中成绩在的6人中有2个人考核为优，
所以基本事件空间包含15个基本事件，事件包含9个基本事件，
所以
（Ⅲ）根据表格中的数据，满足的成绩有16个，
所以
所以可以认为此次冰雪培训活动有效．
本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题．
21．（1） ： ， ：；（2）
【解析】
（1）消去参数求得直线的普通方程，将两边同乘以，化简求得圆的直角坐标方程.
（2）求得直线的标准参数方程，代入圆的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得的值.
【详解】
（1）消去参数，得直线的普通方程为，
将两边同乘以得，，
∴圆的直角坐标方程为；
（2）经检验点在直线上，可转化为①，
将①式代入圆的直角坐标方程为得，
化简得，
设是方程的两根，则，，
∵，∴与同号，
由的几何意义得.
本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义求解距离问题，属于中档题.
22．（1）见解析（2）.
【解析】
（1）与平面垂直，过点作与平面平行的平面即可
（2）建立空间直角坐标系求线面角正弦值
【详解】
解：（1）截面如下图所示：其中，，，，分别为边，，，，的中点，则垂直于平面.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，所以，，.
设平面的一个法向量为，则.
不妨取，则，
所以与该平面所成角的正弦值为.
（若将作为该平面法向量，需证明与该平面垂直）
考查确定平面的方法以及线面角的求法，中档题.