安徽省蚌埠市2026届高三下学期4月适应性考试（二模）数学试卷（Word版附解析）

这是一份安徽省蚌埠市2026届高三下学期4月适应性考试（二模）数学试卷（Word版附解析），共18页。
本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
详解：因为，则，故的虚部为.
2. 已知集合，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
详解：若，则，
又因为集合，，则或，可得或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
3. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
详解：双曲线的渐近线方程为,即.
4. 已知随机变量，实数满足，则的值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
详解：已知随机变量，实数满足，
所以，解得.
5. 二项式展开式中的常数项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
详解：的展开式通项为，
令得，故展开式中的常数项为.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
详解：由，得
，
，，
，
所以.
故选：A.
7. 二维码又称二维条码，通常根据某种特定的几何图形和规律，在二维平面上利用黑白相间的图形来记录数据信息，因其信息容量比普通条码约高几十倍，而成为目前移动设备上的主流编码方式．某二维码生成器可以生成（即625个点）大小的二维码，若“黑点”表示1，“白点”表示0，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们1秒用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么该二维码生成器生成的二维码大约可以用（，）（ ）
A. 172万年B. 260万年C. 万年D. 万年
【答案】C
详解：依题意，该二维码生成器生成的二维码大约可以用万年，
，
因此，所以该二维码生成器生成的二维码大约可以用万年.
8. 已知正方体中，是的中点，则平面与平面的夹角余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
详解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴,
建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、，则，，
设平面的一个法向量为，
所以，取，可得，
易知平面的一个法向量为，则，
故平面与平面的夹角余弦值是.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递减
D. 将图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为偶函数
【答案】AB
详解：对于A选项，由图可知，函数的最小正周期为，
故，A对；
对于B选项，由图可知函数在附近单调递增，
且，故，
所以，
又因为，故，所以，
因为，
故函数的图象关于直线对称，B对；
对于C选项，当时，，故函数在区间上不单调，C错；
对于D选项，将图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
则，即函数为奇函数，D错.
10. 已知数列的前项和为，满足，．若，则（ ）
A. B. 数列是等差数列
C. D. 数列中不存在能被整除的项
【答案】ACD
详解：对于A选项，
，A对；
对于B选项，，①，可得②，
②①得，
又因为，，易知，所以，
故数列不是等差数列，B错；
对于C选项，由B选项可知，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，则，C对；
对于D选项，对任意的，、均不能被整除，
故数列中不存在能被整除的项，D对.
11. 已知为坐标原点，椭圆的焦点分别为，，且离心率，为上一动点，过作的切线，过，分别作的垂线，垂足分别为，．则（ ）
A. ，B. C. D.
【答案】BCD
详解：解：根据题意，，，解得，
椭圆，故A错误；
设，则，，
，
，，，故C正确；
又过的切线方程为，即，
，
，故D正确；
设中点为，连接，又为中点，
，，
设，则，
，
，
，故B正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 数据：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55的第75百分位数为______．
【答案】21
详解：数据：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55已经从小到大进行排序，共有10个数据，
因为，所以第75百分位数为排在第8位的数字21.
13. 直线是曲线的切线，则________．
【答案】
详解：对函数求导得，令可得，
将代入得，故切点坐标为，
将切点坐标代入切线方程得，解得.
14. 平常我们用的方格纸，都画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离总是相等的．方格纸上两条直线的交点称为格点．右图每个小正方形的边长为，假设方格纸足够大，已知一只蚂蚁从格点出发，沿格子四个方向移动，每次移动距离为，则蚂蚁移动次回到出发点的不同方法总数为________（用数字作答）．
【答案】
详解：分以下几种情况讨论：
①次移动中，有次向左移动一步，次向右移动一步，此时不同的移动方法种数为种；
②次移动中，有次向上移动一步，次向下移动一步，此时不同的移动方法种数为种；
③次移动中，有次向左移动一步，次向右移动一步，次向上移动一步，次向下移动一步，
此时不同的移动方法种数为种；
④次移动中，有次向上移动一步，次向下移动一步，次向右移动一步，次向左移动一步，
此时不同的移动方法种数为种.
综上所述，不同的移动方法种数为种.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．
（1）求角C的大小；
（2）若，求周长的最大值．
【答案】（1）
（2）
（1）
由，
而，
得，
在中，由及正弦定理，得，
因为，所以，即，
所以，得，
又，所以．
（2）
在中，由余弦定理，，化简得，
所以，即，当且仅当时等号成立，
从而，即周长的最大值为．
16. 在五棱锥中，，底面五边形中，，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（1）
连接，取中点，连接、，
由，，知，，
又，、平面，因此平面．
又平面，故．
在底面内，，，因此，
又，因此四边形为矩形，因此，故．
（2）
（方法一）由（1）知，，，
在中，由余弦定理，，
所以，
在矩形中，，故，
所以，故，
所以直线与直线所成角为或其补角，
在中，，，
由余弦定理可得，
所以与所成角的余弦值为．
（方法二）连接、，设，连接，则为中点，
由，知，同理，
因为，、底面，因此底面．
取中点为，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系．
易知、、、．
则，，
设直线与直线所成角为，则．
故直线与直线所成角的余弦值为.
17. 已知函数，为的导函数．
（1）求的单调区间；
（2）记，．当时，证明：．
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）证明见解析
（1）
依题意，有．
令，得，得，
令，得，得．
因此单调递增区间为，
单调递减区间为．
（2）
易知，记．
由题意知，则，
从而．
当时，，，则，
因此，在区间上单调递减，．
当时，．
18. 已知抛物线的焦点为，过点作一条直线交抛物线于、两点，过、分别作准线的垂线，垂足分别为、，为坐标原点．
（1）记、的斜率分别为、，求；
（2）求证：、、三点共线；
（3）记、，的面积分别为、、，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
（1）
设、，
若直线与轴重合，则该直线与抛物线有且只有一个交点，不符合题意，
设直线的方程为，与抛物线方程联立有，
消去并化简得，，
则，，
因此，，所以．
（2）
由（1），依题意知，要证、、三点共线，只需证．
即证，即证．而成立，
故、、三点共线．
（3）
记，由（2）同理知、、三点共线，且．
，，
，，
，
，
，
．
19. 某校高一、高二、高三三个篮球队为比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某队时，该队可挑战另外两队中的一队，且被挑战的队伍获得下一次的挑战权．已知高一篮球队挑战高二、高三篮球队的概率均为，高二篮球队挑战高一、高三篮球队的概率分别为、，高三篮球队挑战高一、高二篮球队的概率分别为、．经商定，高一篮球队获得首次挑战权．
（1）经过次挑战后，高一篮球队已获得的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望；
（2）若经过次挑战后，挑战权属于高一篮球队、高二篮球队和高三篮球队分别记为事件、、．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：当为偶数时，．
【答案】（1）
数学期望为
（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）证明见解析
【解析】
（1）
随机变量的可能取值为和，
时，第一次高一篮球队挑战高二篮球队，第二次高二篮球队挑战高三篮球队，第三次高三篮球队挑战高二篮球队，
或者第一次高一篮球队挑战高三篮球队，第二次高三篮球队挑战高二篮球队，第三次高二篮球队挑战高三篮球队，
则，．
则的分布列为
则的数学期望为．
（2）
（ⅰ）若第次挑战权属于高二篮球队，
若第次挑战权属于高一篮球队，则第次高一篮球队挑战高二篮球队，其概率为，
若第次挑战权属于高三篮球队，则第次高三篮球队挑战高二篮球队，其概率为，
所以①，同理可得②，
②①得，
又，因此，因此；
（ii）若第次挑战权属于高一篮球队，
若第次挑战权属于高二篮球队，则第次高二篮球队挑战高一篮球队，其概率为，
若第次挑战权属于高三篮球队，则第次高三篮球队挑战高一篮球队，其概率为，
所以，③
①②，得，
由③知，
又，
从而有，所以，
第一次挑战权为高一篮球队，经过一次挑战后，挑战权不是高一篮球队，则，
故，
则有是以为首项，为公比的等比数列，
因此，，．
当为偶数时，，因此．