浙江省嘉兴市八校2025-2026学年高二下学期期中联考数学试卷

这是一份浙江省嘉兴市八校2025-2026学年高二下学期期中联考数学试卷，共18页。试卷主要包含了2 ，则等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟.
答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
选择题Ⅰ（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
下列求导数运算正确的有（ ）
A. 4x  4
B. e2 '  e2
C. cs x  sin x
D. ln 2x  2
x
甲、乙、丙去听同时举行的 4 个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为（ ）
B. 12C. 81D. 64
1 2x4 的展开式中 x3 的系数为（）
B. 16C. 24D. 32
设随机变量 X 的分布列为 P  X  i   ia i  1, 2, 3, 4 ，则a  （ ）
1111
A.B.C. D.
241064
某知识过关题库中有 A, B,C 三种难度的题目数分别为300, 200,100 ，其中小明完成 A, B,C 型题目的
4 3 2
正确率分别为
, ,
5 5 5
，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（）
33
A. B.
45
24
C. D.
37
设函数 f (x) 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数 f (x) 的图象可能是（）
A.B.C.D.
某空间站由 A, B,C 三个舱构成，某次实验需要 5 名宇航员同时在 3 个舱中开展，每个人只能去 1 个舱，每个舱至少安排 1 名宇航员，则不同的安排方法的种数为（ ）
A. 150B. 90C. 60D. 30
已知函数 f  x  x3  ax  3 在0, ∞ 上单调递增，则 a 的取值范围为（ ）
x
A. 6, 
B. , 6
C. 2, 
D. , 2
选择题Ⅱ（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分）
若2x 1n n  N* 的展开式中第 5 项的二项式系数最大，则 n 的可能取值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
已知随机变量 X ~ N 3,σ2  ，若 P  X  4  0.2 ，则（ ）
E  X   3
C. P 2  X  4  0.7
P  X  3  0.5
D. P  X  2  0.9
对于函数 f  x 
x
ln x
，下列说法正确的是（ ）
f  x 在0, e 上单调递减，在e,  上单调递增
f π  f 4
设 g  x 
f  x  2k 1 有 3 个不同的零点，则 k  e 1
2
若方程
f  x   k
有 6 个不等实数根，则 k  e
非选择题部分
填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
函数 f  x  ex  x 在 x  0 处的切线斜率为．
已知随机变量 X 的分布列如下，则 D  X   .
X
1
2
3
4
近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7 名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供 4 人组局的剧本，其中 A，B 角色各 1 人，C 角色 2 人．已知这 7 名同学中有 4 名男生，3 名女生，现决定让店主从他们 7 人中选出 4 人参加游戏，其余 3 人观看，要求选出的 4 人中至少有 1 名女生，并且 A，B 角色不可同时为女生．则店主共有种选择方式．
解答题（本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
已知函数 f  x  x3 12x ．
P
0.1
0.2
0.3
0.4
求曲线 y 
f  x 在点3, 9 处的切线方程；
求函数 f  x 的单调区间．
x

6

已知 2x  2  ．

求各项的系数和；
求展开式中的常数项；
袋中有除颜色外均相同的 6 个红球，7 个黑球，若从中任取 3 个．
求恰有 1 个红球的概率；
设 3 个球中，黑球的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望 E  X  ；
DeepSeek 是由中国杭州的 DeepSeek 公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度 学习的决心．DeepSeek 主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高 DeepSeek 的应用能 力，某公司组织 A，B 两部门的 50 名员工参加 DeepSeek 培训．
此次 DeepSeek 培训的员工中共有 6 名部门领导参加，恰有 3 人来自 A 部门．从这 6 名部门领导中随
机选取 2 人，求 2 人都来自于 A 部门的概率；
21
此次 DeepSeek 培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为
3 ， 2 ，
1
，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
3
求每位员工经过培训合格的概率；
经过预测，开展 DeepSeek 培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润 30 万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润 20 万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付 3 万元的其他成本和
费用．试估计该公司 A，B 两部门培训后的年利润（公司年利润 员工创造的利润其他成本和费用）．
已知函数 f  x  xlnx  mx 1m  R  ．
当 m  1时，讨论 f  x 的单调性；
若x 0, , f  x  0 ，求m 的取值范围；
证明： ex  xlnx  0 ．
2025 学年第二学期嘉兴八校联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟.
答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
选择题Ⅰ（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
下列求导数运算正确的有（ ）
A. 4x  4
【答案】A
【解析】
B. e2 '  e2
C. cs x  sin x
D. ln 2x  2
x
【分析】利用初等函数的导数公式运算即可求解.
【详解】依题意， 4x  4, e2   0, csx  sinx, ln2x  1  2  1 .
2xx
甲、乙、丙去听同时举行的 4 个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为（ ）
B. 12C. 81D. 64
【答案】D
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理求解即可.
【详解】甲、乙、丙去听同时举行的 4 个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，即每人去听一个讲座共有4 种选择，则三人各选一个讲座种数为43  64 ．
故选：D．
1 2x4 的展开式中 x3 的系数为（）
B. 16C. 24D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式代值计算即得.
【详解】1 2x4 展开的通项公式为T Ck14k  2xk  2k Ck xk ， k  0,1,L, 4 ,
k 144
4
取 k  3 ，则1 2x4 的展开式中 x3 的系数是23C3  32 ．故选: D.
设随机变量 X 的分布列为 P  X  i   ia i  1, 2, 3, 4 ，则a  （ ）
1111
A.B.C. D.
241064
【答案】B
【解析】
【分析】由随机变量的分布列的性质得到答案.
【详解】由题意知 a  2a  3a  4a  1 ，解得 a  1 .
10
故选：B.
某知识过关题库中有 A, B,C 三种难度的题目数分别为300, 200,100 ，其中小明完成 A, B,C 型题目的
4 3 2
正确率分别为
, ,
5 5 5
，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（）
33
A. B.
45
24
C. D.
37
【答案】C
【解析】
【详解】设小明选1道 A 类试题为事件 A ，
小明选1道 B 类试题为事件 B ，小明选1道C 类试题为事件C ，
设小明答对试题为事件 D ，则 P  A  300  1 ，
6002
P  B  200  1 ， P C   100  1 ，
60036006
P  D | A  4 ， P  D | B  3 ， P  D | C   2 ，
555
故 P  D  1  4  1  3  1  2  2 ，故 C 正确.
2535653
设函数 f (x) 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数 f (x) 的图象可能是（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【详解】由 f  x 的图象可得，在 y 轴的左侧，图象下降， f  x 递减，即有导数小于 0，可排除 C，D；再由 y 轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数 f  x 递减，再递增，后递减，即有导数先小于 0，再大于 0，最后小于 0，可排除 A；则 B 正确．
某空间站由 A, B,C 三个舱构成，某次实验需要 5 名宇航员同时在 3 个舱中开展，每个人只能去 1 个舱，每个舱至少安排 1 名宇航员，则不同的安排方法的种数为（ ）
A. 150B. 90C. 60D. 30
【答案】A
【解析】
【详解】共 5 名宇航员同时在 3 个舱中开展实验，则有两种情况，
若按人数分为
1,1, 3
1 1 3
C C C3
三组，则有 5 4 3  A3  60 种方法，
2!
若按人数分为
1, 2, 2
1 2 2
C C C3
三组，则有 5 4 2  A3  90 种方法，
2!
共有60  90  150 种不同方法.
已知函数 f  x  x3  ax  3 在0, ∞ 上单调递增，则 a 的取值范围为（ ）
x
A. 6, 
B. , 6
C. 2, 
D. , 2
【答案】B
【解析】
【详解】由题意可得 f  x  3x2  a  3
x2
，当 f  x 在0, ∞ 上单调递增，
0, ∞ 上 f  x  0 恒成立，即3x2  a  3
x2
 0 在0, ∞ 上恒成立，
即 a  3x2 
3 在0, ∞ 上恒成立，
x2
由基本不等式可得3x2  3
x2
 2
 6 ，当且仅当3x2  3
3x2  3
x2
x2
时，即 x  1 时取等号，
所以 a  6 时， a  3x2 
3 在0, ∞ 上恒成立.
x2
选择题Ⅱ（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分）
若2x 1n n  N* 的展开式中第 5 项的二项式系数最大，则 n 的可能取值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】ABC
【解析】
【分析】借助二项式系数的性质逐项判断即可得.
【详解】A 选项，此时展开式有 8 项，第 4、5 项二项式系数最大且相等，满足题意，故 A 正确；
B 选项，此时展开式有 9 项，第 5 项二项式系数最大，满足题意，故 B 正确；
C 选项，此时展开式有 10 项，第 5、6 项二项式系数最大且相等，满足题意，故 C 正确；
D 选项，此时展开式有 11 项，第 6 项二项式系数最大，不满足题意，故 D 错误.
已知随机变量 X ~ N 3,σ2  ，若 P  X  4  0.2 ，则（ ）
E  X   3
C. P 2  X  4  0.7
P  X  3  0.5
D. P  X  2  0.9
【答案】AB
【解析】
【分析】应用正态分布的对称性及数学期望计算分别判断各个选项.
【详解】由正态分布的定义知 E  X   3 ，A 正确；
由 P  X  3  P  X  3  1 P  X  3 ，得 P  X  3  0.5 ，B 正确；
P 2  X  4  2P 3  X  4  2 0.5  0.2  0.6 ，C 错误；
P  X  2  0.5  P 2  X  3  0.5  P 3  X  4  0.5  0.5  0.2  0.8 ，D 错误.故选：AB.
对于函数 f  x 
x
ln x
，下列说法正确的是（ ）
f  x 在0, e 上单调递减，在e,  上单调递增
f π  f 4
设 g  x 
f  x  2k 1 有 3 个不同的零点，则 k  e 1
2
若方程 f  x   k 有 6 个不等实数根，则 k  e
【答案】BCD
【解析】
【分析】求导，根据导数与函数的单调性的关系即可判断出 AB；问题转化为 f  x  2k 1 ，画图判断交
点问题判断选项 C；由题可知 f  x   k 在 x  0 时有 3 个解即可结合函数图象可判断 D.
【详解】对于 A 选项， f  x 
x
ln x
的定义域为0,1 1, ∞ ，所以 A 选项错误；
对于 B 选项，对函数 f  x 
上单调递增， e  π  4 ，
x
ln x
求导， f  x  ln x 1 ，令 f  x  0 可得 x e，函数 f  x 在e, ∞
ln2 x
所以 f π  f 4 ，所以 B 选项正确；
令 f  x  0 可得0  x  e 且 x  1 ，
当0  x  1时， f  x  ln x 1  0 ，此时函数 f  x 在0,1 上单调递减且 f  x  0 ，
ln2 x
当1  x  e 时， 0  ln x  1, f  x  ln x 1  0 ， f e 
ln2 x
e ln e
 e  0 ，此时函数 f  x 在1, e 上单调递
减且 f  x  e ，
画出大致函数 f  x 图象如下图：
则大致函数
f  x 图象如下图：
对于 C 选项，令 g  x  f  x  2k 1  0 ，即 f  x  2k 1 ，
g  x  f  x  2k 1 有 3 个不同的零点等价于函数 y1  f  x 和函数 y2  2k 1 有 3 个不同的交点，
由图象可知， 2k 1  e ，解得 k  e 1 ，所以 C 选项正确；
2
对于 D 选项，方程 f  x   k 有 6 个不等实数根等价于函数 y1  f  x  和函数 y2  k 有 6 个不同的交点，
由图象可知， k  e ，所以 D 选项正确．
非选择题部分
填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
函数 f  x  ex  x 在 x  0 处的切线斜率为．
【答案】2
【解析】
【分析】对函数进行求导，再利用导数的几何意义即可求解.
【详解】Q f (x)  ex 1 ，
 k  f (0)  11  2 .
已知随机变量 X 的分布列如下，则 D  X   .
【答案】1
【解析】
【分析】先根据期望和方差公式求出 E  X , D  X  ，即可得解.
【详解】由题意可得： E  x  0.11 0.2  2  0.3 3  0.4  4  3 ，
所以 D  X   0.1 1 32  0.2 2  32  0.3 3  32  0.4 4  32  1.
故答案为：1.
近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7 名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供 4 人组局的剧本，其中 A，B 角色各 1 人，C 角色 2 人．已知这 7 名同学中有 4 名男生，3 名女生，现决定让店主从他们 7 人中选出 4 人参加游戏，其余 3 人观看，要求选出的 4 人中至少有 1 名女生，并且 A，B 角色不可同时为女生．则店主共有种选择方式．
【答案】348
【解析】
【分析】根据题意，按照选出的女生人数进行分类，分别求出每一类的选择种数，然后相加即可求解.
【详解】由题意，根据选出的女生人数进行分类，
第一类：选出 1 名女生，先从 3 名女生中选 1 人，再从四名男生中选 3 人，然后安排角色，两名男生扮演
3
A，B 角色有A2 种，剩余的 1 名男生和女生扮演 C 角色，或 A，B 角色 1 名男生 1 名女生，女生先选有
C1 ，剩下的一个角色从 3 名男生中选 1 人，则C1 种，所以共有C1C3 (A2  C1 C1 )  144 种，
233 432 3
第二类：选出 2 名女生，先从 3 名女生中选 2 人，再从四名男生中选 2 人，然后安排角色，两名男生扮演
2
A，B 角色有A2 种，剩余的 2 名女生扮演 C 角色，或 A，B 角色 1 名男生 1 名女生，选出 1 名女生先选角
色有C1 C1 ，剩下的一个角色从 2 名男生中选 1 人，则C1 种，所以共有C2C2 (A2  C1 C1 C1 )  180 种，
2 223 422 2 2
3 2
第三类：选出 3 名女生，从先从 3 名女生中选 3 人，再从四名男生中选 1 人，然后安排角色，A，B 角色 1 名男生 1 名女生，选出 1 名女生先选角色有C1C1 ，剩下的一个角色让男生扮演，余下的 2 名女生扮演角
3 4 3 2
色 C，所以共有C3C1 C1C1  24 种，
X
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.3
0.4
由分类计数原理可得：店主共有144 180  24  348 种选择方式，故答案为： 348 .
解答题（本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
已知函数 f  x  x3 12x ．
求曲线 y 
f  x 在点3, 9 处的切线方程；
求函数 f  x 的单调区间．
【答案】（1） y  15x  54
（2） f  x 的单调递增区间为(  ,2) ， 2, ∞ ；单调递减区间为(  2, 2) .
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可.
（2）利用导数的正负判断函数的单调性即可；
【小问 1 详解】
因为 f (x)  3x2 12 ，
则 k  f (3)  15 ，且 f (3)  9 ，
所以切线方程为 y  9  15(x  3) ，即 y  15x  54 .
所以曲线 y 
f  x 在点3, 9 处的切线方程为 y  15x  54 .
【小问 2 详解】
因为 f (x)  3x2 12 ，
令 f (x)  0 ，得 x  2 或 x  2 ，
所以 f (x) 的单调递增区间为(  ,2) ， 2, ∞ ；
f (x)  0 ，得2  x  2 ， f (x) 的单调递减区间为(  2, 2) .
综上， f (x) 的单调递增区间为(  ,2) ， 2, ∞ ；单调递减区间为2, 2 .
x

6

已知 2x  2  ．

求各项的系数和；
求展开式中的常数项；
【答案】（1）4096
（2）960
【解析】
【分析】（1）利用赋值法，令 x  1 ，可得各项的系数和；
（2）利用二项展开式的通项公式求解即可.
【小问 1 详解】
令 x  1 ，则各项的系数和为2  26  46  4096 .
【小问 2 详解】
设展开式中常数项为第 r  1 项，
x
即T Cr 2x6r 
2 r
 Cr  26 x
6 3r
2 ， 0  r  6 ， r  N ，
r 16
6

令6  3r  0 ，得 r  4 ，
2
T 26 C4  960 ．
416
袋中有除颜色外均相同的 6 个红球，7 个黑球，若从中任取 3 个．
求恰有 1 个红球的概率；
设 3 个球中，黑球的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望 E  X  ；
63
【答案】（1）
（2）
143
21
13
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用组合数公式及古典概率公式求解.
（2）求出 X 的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望.
【小问 1 详解】
设从袋中任取 3 个球恰有 1 个红球为事件 A，
X
0
1
2
3
P
10
143
105
286
63
143
35
286
C1 C2
6  2163
则 P( A)  6 7 .
C
13
3286143
【小问 2 详解】
依题意，X 的可能取值为 0，1，2，3，
C3C010
C2C1
105
P( X  0)  6 7 ， P( X  1)  6 7 ，
C
C
3
13
C1 C2
143
63
3
13
C0C3
286
35
P( X  2)  6 7 ， P( X  3)  6 7 ，
C
C
13
13
31433286
X 的分布列为
数学期望 E( X )  0  10 1 105  2  63  3 35  21 ．
14328614328613
DeepSeek 是由中国杭州的 DeepSeek 公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度 学习的决心．DeepSeek 主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高 DeepSeek 的应用能 力，某公司组织 A，B 两部门的 50 名员工参加 DeepSeek 培训．
此次 DeepSeek 培训的员工中共有 6 名部门领导参加，恰有 3 人来自 A 部门．从这 6 名部门领导中随
机选取 2 人，求 2 人都来自于 A 部门的概率；
21
此次 DeepSeek 培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为
3 ， 2 ，
1
，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
3
求每位员工经过培训合格的概率；
经过预测，开展 DeepSeek 培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润 30 万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润 20 万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付 3 万元的其他成本和费用．试估计该公司 A，B 两部门培训后的年利润（公司年利润 员工创造的利润其他成本和费用）．
1
【答案】（1）
5
2ⅰ1ⅱ1100 万元
（ ）（ ） 2 ；（ ）
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的定义即可求解；
（2）（ⅰ）记事件C  “每位员工经过培训合格”， Ai  “每位员工第i 轮培训达到优秀”（ i  1, 2, 3 ），根据概率加法公式和事件相互独立定义即可求解；
X
0
1
2
3
P
10
143
105
286
63
143
35
286
（ⅱ）记 A, B 两部门开展 DeepSeek 培训后合格的人数为Y ，则Y  B  50, 1  ，然后根据二项分布期望公式
2 

结合条件即得.
【小问 1 详解】
C2C01
C
2
根据题意，6 名部门领导参加，恰有 3 人来自 A 部门，2 人都来自于 A 部门的概率为 P  3 3  .
65
【小问 2 详解】
记C  “每位员工经过培训合格”， Ai  “每位员工第 i 轮培训达到优秀”（ i  1 ，2，3），
C  A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， P C   P  A1 A2 A3   P  A1 A2 A3   P  A1 A2 A3   P  A1 A2 A3 
 P  A1  P  A2  P  A3   P  A1  P  A2  P  A3   P  A1  P  A2  P  A3   P  A1  P  A2  P  A3 
 2  1  1  1  1  1  2  1  1  2  1  2  1 ．
3233233233232
1
即每位员工经过培训合格的概率为 2 ．
1 1
22
记 A，B 两部门开展 DeepSeek 培训后合格的人数为 Y，则Y ~ B  50,  ，则 E Y   50   25 ，

所以25 30  25 20  50  3  1100 （万元）
即估计 A，B 两部门的员工参加 DeepSeek 培训后为公司创造的年利润为 1100 万元．
已知函数 f  x  xlnx  mx 1m  R  ．
当 m  1时，讨论 f  x 的单调性；
若x 0, , f  x  0 ，求m 的取值范围；
证明： ex  xlnx  0 ．
【答案】（1）在0,1 上单调递减，在1,  上单调递增
（2） ,1
证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数的正负判断函数单调性；
转化问题为lnx  1  m 对于 x 0,  恒成立，设 g  x  lnx  1 ， x 0,  ，利用导数分析其单
xx
调性，进而求解即可；
结合（2）可得ex  xlnx  ex  x 1, x 0, ∞ ，进而证明ex  x 1  0 即可求证.
【小问 1 详解】
当 m  1时， f  x  xlnx  x 1 ， x  0 ，则 f  x  lnx ，令 f  x  0 ，得0  x  1，令 f  x  0 ，得 x  1 ，
所以函数 f  x 在0,1 上单调递减，在1,  上单调递增.
【小问 2 详解】
由 f  x  xlnx  mx 1  0 ，则lnx  1  m 对于 x 0,  恒成立，
x
设 g  x  lnx  1 ， x 0,  ，则g x  1  1
 x 1 ，
xxx2x2
令 g x  0 ，得0  x  1，令 g x  0 ，得 x  1 ，
min
所以函数 g  x  在0,1 上单调递减，在1,  上单调递增， 则 g  x g 1  1，即 m ≤1 ，则m 的取值范围为,1 .
【小问 3 详解】
由（2）知，当 m  1时， x 0, ∞, f  x  xlnx  x 1  0 ，则 xlnx  x 1 ，所以ex  xlnx  ex  x 1，
设 h  x  ex  x 1， x 0,  ，则 h x  ex 1  0 ，
所以函数 h  x 在0, ∞ 上单调递增，
则 h  x  h 0  0 ，即ex  xlnx  ex  x 1  0 ，得证.