2026届河南省扶沟高中高三下学期一模考试数学试题含解析

这是一份2026届河南省扶沟高中高三下学期一模考试数学试题含解析，共30页。试卷主要包含了已知，若，则等于等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的焦点为，则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）
A．1个B．2个C．0个D．无数个
2．已知函数是定义在上的奇函数，函数满足，且时，，则（ ）
A．2B．C．1D．
3．一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为( )
A．B．C．D．
4．已知，若，则等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则
（ ）
A．α∥β且∥αB．α⊥β且⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于D．α与β相交，且交线平行于
7．设为虚数单位，为复数，若为实数，则（ ）
A．B．C．D．
8．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
9．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
10．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态､紧跟时代脉搏的热门｡该款软件主要设有“阅读文章”､“视听学习”两个学习模块和“每日答题”､“每周答题”､“专项答题”､“挑战答题”四个答题模块｡某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有（ ）
A．60B．192C．240D．432
11．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：
①直线与直线的斜率乘积为；
②轴；
③以为直径的圆与抛物线准线相切.
其中，所有正确判断的序号是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
12．设，则“ “是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知“在中，”，类比以上正弦定理，“在三棱锥中，侧棱与平面所成的角为、与平面所成的角为，则________．
14．已知定义在的函数满足，且当时，，则的解集为__________________.
15．已知函数，若函数有个不同的零点，则的取值范围是___________．
16．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，要使恒成立，求实数的取值范围.
18．（12分）如图1，与是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，，，连接是边上一点，过作，交于点，沿将向上翻折，得到如图2所示的六面体
（1）求证：
（2）设若平面底面，若平面与平面所成角的余弦值为，求的值；
（3）若平面底面，求六面体的体积的最大值.
19．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.在以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）若点在直线上，求直线的极坐标方程；
（2）已知，若点在直线上，点在曲线上，且的最小值为，求的值.
20．（12分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：.过点的直线：（为参数）与曲线相交于，两点.
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若，求实数的值.
21．（12分）某生物硏究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有两种，且这两种的个体数量大致相等，记种蜻蜓和种蜻蜓的翼长（单位：）分别为随机变量，其中服从正态分布，服从正态分布.
（Ⅰ）从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间的概率；
（Ⅱ）记该地区蜻蜓的翼长为随机变量，若用正态分布来近似描述的分布，请你根据（Ⅰ）中的结果，求参数和的值（精确到0.1）；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只，记这3只中翼长在区间的个数为，求的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.
注:若，则，，.
22．（10分）已知椭圆的左焦点坐标为，，分别是椭圆的左，右顶点，是椭圆上异于，的一点，且，所在直线斜率之积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
圆心在的中垂线上，经过点，且与相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆．
【详解】
因为点在抛物线上，
又焦点，，
由抛物线的定义知，过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点，
这样的交点共有2个，
故过点、且与相切的圆的不同情况种数是2种．
故选：．
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上．
2、D
【解析】
说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值．
【详解】
由知函数的周期为4，又是奇函数，
，又，∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础．
3、A
【解析】
求出满足条件的正的面积，再求出满足条件的正内的点到顶点、、的距离均不小于的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案．
【详解】
满足条件的正如下图所示：
其中正的面积为，
满足到正的顶点、、的距离均不小于的图形平面区域如图中阴影部分所示，
阴影部分区域的面积为.
则使取到的点到三个顶点、、的距离都大于的概率是.
故选：A.
【点睛】
本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题．
4、C
【解析】
先求出，再由，利用向量数量积等于0，从而求得.
【详解】
由题可知，
因为，所以有，得，
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
5、D
【解析】
先将所求问题转化为对任意恒成立，即得图象恒在函数
图象的上方，再利用数形结合即可解决.
【详解】
由得，由题意函数得图象恒在函数图象的上方，
作出函数的图象如图所示
过原点作函数的切线，设切点为，则，解得，所以切
线斜率为，所以，解得.
故选：D.
【点睛】
本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题.
6、D
【解析】
试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．
考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．
7、B
【解析】
可设，将化简，得到，由复数为实数，可得，解方程即可求解
【详解】
设，则.
由题意有，所以.
故选：B
【点睛】
本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题
8、A
【解析】
将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．
【详解】
解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，
∵四面体所有棱长都是4，
∴正方体的棱长为，
设球的半径为，
则，解得，
所以，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题．
9、A
【解析】
由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.
【详解】
对于选项B, 为 奇函数可判断B错误;
对于选项C,当时, ,可判断C错误;
对于选项D, ,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;
故选:A.
【点睛】
本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.
10、C
【解析】
四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法．注意按“阅读文章”分类．
【详解】
四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法，由于“阅读文章”不能放首位，因此不同的方法数为．
故选：C．
【点睛】
本题考查排列组合的应用，考查捆绑法和插入法求解排列问题．对相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法．
11、B
【解析】
由题意，可设直线的方程为，利用韦达定理判断第一个结论；将代入抛物线的方程可得，，从而，，进而判断第二个结论；设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，进而判断第三个结论.
【详解】
解：由题意，可设直线的方程为，
代入抛物线的方程，有．
设点，的坐标分别为，，
则，．
所．
则直线与直线的斜率乘积为．所以①正确．
将代入抛物线的方程可得，，从而，，
根据抛物线的对称性可知，，两点关于轴对称，
所以直线轴．所以②正确．
如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，
则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，
则．所以③不正确．
故选：B.
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题．
12、B
【解析】
解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.
【详解】
由，得，又由，得，
因为集合，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】
本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
类比，三角形边长类比三棱锥各面的面积，三角形内角类比三棱锥中侧棱与面所成角．
【详解】
，故，
【点睛】
本题考查类比推理．类比正弦定理可得，类比时有结构类比，方法类比等．
14、
【解析】
由已知得出函数是偶函数，再得出函数的单调性，得出所解不等式的等价的不等式，可得解集.
【详解】
因为定义在的函数满足，所以函数是偶函数，
又当时，，得时，，所以函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，
所以不等式等价于，即或，
解得或，所以不等式的解集为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查抽象函数的不等式的求解，关键得出函数的奇偶性，单调性，属于中档题.
15、
【解析】
作出函数的图象及直线，如下图所示，因为函数有个不同的零点，所以由图象可知，，，所以．
16、
【解析】
由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，模拟程序的运行，即可得到答案.
【详解】
根据题中的程序框图可得：,
执行循环体，，
不满足条件，执行循环体，，
此时，满足条件，退出循环，输出的值为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了程序和算法，依次写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基本知识的考查.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）求函数的导函数，即可求得切线的斜率，则切线方程得解；
（Ⅱ）构造函数，对参数分类讨论，求得函数的单调性，以及最值，即可容易求得参数范围.
【详解】
（Ⅰ）当时，，则.
所以.
又，故所求切线方程为，即.
（Ⅱ）依题意，得，
即恒成立.
令，
则.
①当时，因为，不合题意.
②当时，令，
得，，显然.
令，得或；令，得.
所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.
当时，，，
所以，
只需，所以，
所以实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求切线方程，以及利用导数研究恒成立问题，属综合中档题.
18、（1）证明见解析（2）（3）
【解析】
根据折叠图形， ，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据平面，得到.
（2）根据，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，根据，可知，，表示相应点的坐标，分别求得平面与平面的法向量，代入求解.
设所求几何体的体积为，设为高，则，表示梯形BEFD和 ABD的面积由，再利用导数求最值.
【详解】
（1）证明：不妨设与的交点为与的交点为
由题知，，则有
又，则有
由折叠可知所以可证
由平面平面，
则有平面
又因为平面，
所以
（2）解：依题意，有平面平面，
又平面，
则有平面，，又由题意知，
如图所示：
以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系
由题意知
由可知，
则
则有，
，
设平面与平面的法向量分别为
则有
则
所以
因为，解得
设所求几何体的体积为，设，
则，
当时，，当时，
在是增函数，在上是减函数
当时，有最大值，
即
六面体的体积的最大值是
【点睛】
本题主要考查线线垂直，线面垂直，面面垂直的转化，二面角的向量求法和空间几何体的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
19、（1）
（2）
【解析】
（1）利用消参法以及点求解出的普通方程，根据极坐标与直角坐标的转化求解出直线的极坐标方程；
（2）将的坐标设为，利用点到直线的距离公式结合三角函数的有界性，求解出取最小值时对应的值.
【详解】
（1）消去参数得普通方程为，
将代入，可得，即
所以的极坐标方程为
（2）的直角坐标方程为
直线的直角坐标方程
设的直角坐标为
∵在直线上，∴的最小值为到直线的距离的最小值
∵，∴当，时取得最小值
即，∴
【点睛】
本题考查直线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化以及根据曲线上一点到直线距离的最值求参数，难度一般.（1）直角坐标和极坐标的互化公式：；（2）求解曲线上一点到直线的距离的最值，可优先考虑将点的坐标设为参数方程的形式，然后再去求解.
20、（1），；（2）.
【解析】
（1）将代入求解，由（为参数）消去即可.
（2）将（为参数）与联立得，设，两点对应的参数为，，则，，再根据，即，利用韦达定理求解.
【详解】
（1）把代入，
得，
由（为参数），
消去得，
∴曲线的直角坐标方程和直线的普通方程分别是，.
（2）将（为参数）代入得，
设，两点对应的参数为，，则，，
由得，
所以，即，
所以，而，
解得.
【点睛】
本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21、（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）由题知这只蜻蜓是种还是种的可能性是相等的，所以，代入数值运算即可；
（Ⅱ）可判断均值应为，再结合（1）和题干备注信息可得，进而求解；
（Ⅲ）求得，该分布符合二项分布，故，列出分布列，计算出对应概率，结合即可求解；
【详解】
（Ⅰ）记这只蜻蜓的翼长为.
因为种蜻蜓和种蜻蜓的个体数量大致相等，所以这只蜻蜓是种还是种的可能性是相等的.
所以
.
（Ⅱ）由于两种蜻蜓的个体数量相等，的方差也相等，根据正态曲线的对称性，可知
由（Ⅰ）可知，得.
（Ⅲ）设蜻蜓的翼长为，则.
由题有，所以.
因此的分布列为
.
【点睛】
本题考查正态分布基本量的求解，二项分布求解离散型随机变量分布列和期望，属于中档题
22、（1）（2）直线过定点
【解析】
（1），再由，解方程组即可；
（2）设，，由，得，由直线MN的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，代入计算即可.
【详解】
（1）由题意知：，又，且
解得，，
∴椭圆方程为，
（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，设，，
由，得.
则，（*）
由，
得，
整理可得
（*）代入得，
整理可得，
又
，
∴，
即，
∴直线过点
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，其中，
∴，
由，得，
所以
∴当直线的斜率不存在时，直线也过定点
综上所述，直线过定点.
【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程以及直线与椭圆位置关系中的定点问题，在处理直线与椭圆的位置关系的大题时，一般要利用根与系数的关系来求解，本题是一道中档题.