江西景德镇市乐平市第一中学2025_2026学年下学期期中考试高二数学试题 [含答案]

这是一份江西景德镇市乐平市第一中学2025_2026学年下学期期中考试高二数学试题 [含答案]，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时长：120分钟总分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（）
A. 2B. -1C. 1D.
【正确答案】D
【分析】利用导数的定义及几何意义进行求解.
【详解】由导数的几何意义，点处的切线斜率为，
因为时，，
所以，
所以在点处的切线斜率为，
故选：D.
2. 数列，，，，……的一个通项公式为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误；
对于B，的前两项依次为，不符合题意，故B错误；
对于C，即为，对应的余弦值为，符合题意，故C正确；
对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误；
3. 已知函数，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】对复合函数进行求导即可求解.
【详解】由，得：
．
故选：A．
4. 已知正项等比数列，满足，若存在两项，使得，则的最小值为（）
A. B. 2C. 1D.
【正确答案】D
【分析】利用等比数列性质可求解数列的通项公式，然后把已知条件转化为，再用1的代换法来求最小值即可.
【详解】由等比数列性质可得：，又因为正项等比数列，所以，
又因为，所以，即公比，
所以正项等比数列的通项公式为：，
再由，可得，
则，
当且仅当取等号，
故选：D
5. 曲线在点处的切线方程为（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用导数的几何意义得到切线的斜率，利用点斜式求出切线方程.
【详解】∵
∴，所以，
又当时，，
所以在点处的切线方程为：，即.
故选：A.
6. 《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A. 64B. 96C. 128D. 160
【正确答案】C
【分析】设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
7. 已知数列满足，且，则（）
A. B. 1C. D.
【正确答案】D
【分析】先求出前几项，发现规律，为周期数列，一个周期为4，并且，从而得到，计算出答案.
【详解】，解得，
，，
，……，
故为周期数列，一个周期为4，
其中，
故.
故选：D
8. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则b的值为（）
A. 0B. 1C. 0或1D. 0或
【正确答案】B
【分析】由导数的几何意义列式求解．
【详解】设是在点的切线，则，
同理设设是在点的切线，则，
由方程组得，代入解得
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导正确的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【正确答案】ABD
【分析】根据求导公式分别检验各项即可得出结果.
【详解】对于，的导数为，故选项正确；
对于，的导数为，故选项正确；
对于，的导数为，故选项错误；
对于，的导数为，故选项正确，
故选.
10. 已知等比数列，，，则（）
A. 数列是等比数列B. 数列的前和是
C. 数列是等差数列D. 数列的前10项和是
【正确答案】AC
【分析】根据等比数列通项公式和等比前和公式，等差数列的定义法证明方法，和等差数列前和公式，分别判断各选项正误.
【详解】由题可得，
则，所以数列是等比数列，故A正确；，故B不正确；
已知，，故是等差数列，故C正确；
则，故D错误.
故选：AC.
11. 已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（）
A. 数列是递增数列B.
C. D. 当取得最大值时，
【正确答案】BC
【分析】设等差数列的公差为，由条件不等式，利用等差数列求和公式推出，，即可对选项逐一判断.
【详解】设等差数列的公差为，
由题意可得：，
，
即，，且，即B、C正确；
因，故数列是递减数列，故A错误；
因，，即当取得最大值时，，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．
【正确答案】##．
【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．
【详解】因为，所以，因此．
故．
13. 若函数与直线相切，则实数的值为__________.
【正确答案】
【分析】设切点坐标，求导数表示斜率，结合切线过原点可计算切点横坐标，进而算出的值.
【详解】设切点为，
由得，，故切线斜率，
由直线可知切线过，故，
∴，解得，
∴.
故答案为.
14. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______.
【正确答案】
【分析】利用已知求的方法，分别讨论时，与时，的通项，再进行验证；
【详解】由，
当时，，
当时，，
两式相减，得，即，
所以，
所以，
所以，
由于时，不满足上式，
所以.
故答案为.
四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求下列函数的导数
（1）；
（2）
【正确答案】（1）
（2）
【小问1详解】
【小问2详解】
16. 国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表：
（1）求的值
（2）依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关
附：，其中．
【正确答案】（1）
（2）认为体质情况与爱好运动有关
【分析】（1）根据表中数据计算即可；
（2）完善列联表，然后计算卡方，与临界值比较即可判断.
【小问1详解】
由表中数据可得.
【小问2详解】
完善列联表
提出零假设为：体质情况与爱好运动无关，根据表中数据可得，
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为体质情况与爱好运动有关，该推断犯错误的概率不超过．
17. 已知公比大于1的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【正确答案】（1）
（2）
【小问1详解】
由题意，设等比数列的公比为，
则，两式相除得，解得或（舍去），
则，即.
【小问2详解】
由，得，
所以，
两式相减得，
则.
18. 已知曲线，且曲线在点处的切线与直线垂直．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值．
【正确答案】（1）1（2）
（3）
【分析】（1）求导可得的解析式，令代入，即可得答案.
（2）求导可得的解析式，可得在点处的切线的斜率，根据两直线垂直斜率的关系，即可得答案.
（3）根据（1）可得在点处的切线方程，设该切线方程与相切于点，根据导数的几何意义，可求出，代入切线方程，可得，将切点代入方程，即可得答案.
【小问1详解】
因为，所以，
令，得，解得
【小问2详解】
由，得，
则曲线在点处的切线的斜率，
又切线与直线垂直，
所以，解得
【小问3详解】
由（1）得曲线在点处的切线的斜率，
又，则切点坐标为，
则在点处的切线方程为，即，
由题意也是的切线，设切点坐标为，
则，所以在点处切线的斜率，
解得，则，即切点坐标为，
将切点代入，可得，
解得.
19. 已知数列满足，．
（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和；
（3）设，求数列中的最小项．
【正确答案】（1）证明见解析，
（2）
（3）．
【分析】（1）将取倒数后，根据等差数列定义求解即可；
（2）整理通项后，运用裂项相消求解；
（3）运用作商求出数列单调性，即可求出数列最小项.
【小问1详解】
由题可知，则，即．
所以是公差为的等差数列．
所以，故．
【小问2详解】
，
则．
故
【小问3详解】
由题意知，
则，
易知关于单调递增，当时，，当时，，
所以，
故数列中的最小项为．
体质情况组别
合格
良好及以上
合计
爱好运动
不爱好运动
合计
体质情况组别
合格
良好及以上
合计
爱好运动
不爱好运动
合计