北京市第五中学2025_2026学年度第二学期期中检测试卷高二数学（含答案）

这是一份北京市第五中学2025_2026学年度第二学期期中检测试卷高二数学（含答案），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．函数在处的瞬时变化率为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知的展开式中的系数为（ ）
A．243B．40C．32D．10
3．设是两个随机事件，且，如果，那么事件与是（ ）
A．互斥事件B．对立事件
C．独立事件D．包含事件
4．已知，则（ ）
A．1B．0C．D．
5．甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
7．中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．72种
8．“”是“函数存在单调递减区间”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（）
A．B．
C．D．
10．已知，对于，记，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．，都有
C．若，则
D．，使得
二、填空题
11．若展开式的第三项和第四项的二项式系数同时最大，则______，其展开式中的常数项为______.
12．在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则机器人成功完成指令的概率为.假设下达的动作指令表述模糊的概率为，则该机器人成功完成指令的概率为______.
13．在刚过去的“五一”假期，甲、乙、丙、丁四名同学从，，三个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为______.
14．已知函数的导函数，请写出一个满足条件且的函数_______.
15．设，，其中，定义，给出下列四个结论：
①当时，共有2个极值点；
②，都有；
③，使得是增函数；
④若恰有 个零点，则.
其中正确结论的序号为______.
三、解答题
16．在△中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且，．
(1)求证：△为等腰三角形；
(2)从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，求AC边上的高h．
条件①：△的面积为；
条件②：△的周长为20．
17．2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放.冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约､安全､精彩”的冬奥盛会拉开序幕.
为了解“开幕式”当晚的收看情况，对某地区居民进行简单随机抽样，获得数据如下表：（用频率估计概率）
(1)从该地区被调查对象中随机选取1人，估计此人是通过电视收看的概率；
(2)采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和期望；
(3)从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人没有收看的概率为；若3人都用手机收看的概率为.试比较与的大小.（直接写出结论）
18．如图，在三棱柱中，侧面，均为矩形，点D是棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，．
（Ⅰ）求直线到平面的距离；
（Ⅱ）在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由．
19．已知椭圆，焦距为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，记线段的中点为，直线交直线于点（为坐标原点），以为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由.
20．定义在上的函数在取得极小值.函数满足（其中是的导函数）且.
(1)求的最小值；
(2)解不等式；
(3)若，求过点作的切线有多少条？
21．已知各项均为正整数的有穷数列满足，有，若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质.
(1)判断下列数列是否具有性质，并说明理由：
①
②
(2)已知数列具有性质，求出的所有可能取值；
(3)若一个数列具有性质，则是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由.
《北京市第五中学2025-2026学年度第二学期期中检测试卷高二数学》答案
1．C
【详解】方法一：由函数在某点处瞬时变化率计算公式可知，，，
根据重要极限
，当时，，
故选项为C.
方法二：因为，所以，所以.
即函数在处的瞬时变化率为3.
2．B
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.
【详解】，，
则，故的展开式中的系数为.
3．C
【详解】若，则，即，
则事件与是独立事件.
4．B
【详解】令，得：，
所以，
令，得：，所以，则.
5．D
【分析】根据题意只需前5场甲赢3场，再利用独立事件的乘法公式求解．
【详解】根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，
则甲以4比2获胜的概率为．
故选：D．
6．A
【分析】设切点坐标为，则，利用导数求出切线方程，将原点坐标代入切线方程，求出的值，即可得出切点坐标.
【详解】设切点坐标为，则，
对函数求导得，切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，
将原点坐标代入切线方程得，解得，故切点坐标为.
故选：A.
7．C
【分析】先排宫、徽、羽三个音节，然后商、角两个音阶插空即可求解.
【详解】解：先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有，
再将商、角插入4个空中的2个，有，
所以共有种．
故选：C．
8．B
【分析】由题意得在上有解，分离参数a，结合二次函数的性质，可得a的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.
【详解】由题意得，
由函数存在单调递减区间，得在上有解，
只需，即在上有解，
整理得在上有解，
令，则，
所以当时，y有最小值，则，
所以，
当时，，
则单调递增，无单调减区间，故，
所以函数存在单调递减区间时，，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以“”是“函数存在单调递减区间”的必要不充分条件.
9．B
【分析】可导函数在开区间内存在最小值，则其必在区间内存在极小值点，即导数存在从负到正的变号零点,对于本题，导函数的分子为二次函数，其对应的函数至多只有一个极小值点，故若在内存在最小值，则导数在区间内存在唯一的从负到正的变号零点.
【详解】已知函数的定义域为，对其求导得：
，令，
若在上存在最小值，根据本题的函数结构可知，函数在区间内先递减后递增，
即在内由负变正，等价于.
.
解得，即实数的取值范围是.
10．C
【分析】代入数据，比较A、B，即可判断A的正误；当时，满足，分别求出B和C，比较即可判断B的正误；求出的表达式，根据基本不等式结合条件，分析求解，可判断C的正误；假设，使得，整理变形，令，得，令，利用导数求出的单调性和范围，分析求解，即可判断D的正误.
【详解】选项A：若，，
则，，所以，故A错误；
选项B：当时，满足，
此时，，显然，故B错误；
选项C：，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
因为，所以，
因为，所以，则，
所以，
所以，则，故C正确；
选项D：假设，使得，则，
所以，左右同除，得，
令，则，整理得，
令，则，
令，则，
因为，所以，则，
所以在上单调递减，则，
所以，则在上单调递增，
所以，所以在上无解，
即在上无解，所以假设不成立，即不存在，使得.
11．
【分析】第1空，根据二项式展开共有项及二项式系数的对称性，可得到关于的等式，解出即可；
第2空，先写出通项公式，化简，令的指数为，即可求出项数，再代入计算即可求出常数项.
【详解】（1）解：由二项式展开共有项，又展开式的第三项和第四项的二项式系数同时最大，
则为奇数，且这两项为中间两项，所以，即，解得；
（2）由（1）知，则二项式为，设其通项公式为，
则当该项为常数项时，，解得，
即第三项为常数项，所以.
12．/
【分析】根据条件概率和全概率公式求解.
【详解】设事件表示“机器人成功完成指令”，事件表示“下达的动作指令表述清晰”，
则表示“下达的动作指令表述模糊”.
已知，，，
，
则.
即该机器人成功完成指令的概率为.
13．
【分析】先根据每个景点都有人选，确定分组情况，再结合甲没有选景点，分情况讨论不同的选法种数，将各种情况种数相加即为所有不同选法种数.
【详解】解：由四名学生选三个景点，且每个景点都有人，则必有一个景点有2人，另外两个景点各1人，
情况1，甲单独去一个景点，由甲没有选景点，则甲选景点或，共有种，
由于甲单独在一个景点，因此需将剩下人分配到剩下两个景点，
则有一个景点有2人，另一个景点1人，有种，
所以根据分步计数原理，这种情况选法种数共有种；
情况2，甲和另外一个人一起去景点或，共有种，
剩下2人选剩下的2个景点，共有种，
所以根据分步计数原理，这种情况选法种数共有种，
因此，每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为种.
14．（答案不唯一）
【详解】令，则，，
所以，且，满足，此时只要即可，所以.
15．①③
【分析】对于①，需要分析当时，和的大小关系，进而确定的极值点个数；对于②，举反例，取， ；对于③，要判断是否存在，使得是增函数，需分析和的性质；对于④，举反例，取，即可判断.
【详解】分析①，当时，，令.
当时，，，此时.
当时，，此时.
当，，，此时.
综上，
时， ，，
令，得.
当时，，，，此时是的极大值点.
当 ，，，且 ，故 在 处连续；
时，，在 附近 ，函数递减；
时，，函数递增，因为 左侧递减、右侧递增，故 是极小值点.
当时，，在单调递增，此时无极值点.
综上，共有两个极值点，①正确.
分析②，，，.
因为，取，则 ，所以；②错误.
分析③，对于，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
，，，
存在足够小的，使得在的递减区间上，且单调递增；
而在递增的区间上，当出现递减时，有，
此时仍单调递增，
故存在使为增函数，③正确.
分析④，取，此时恰有2个零点，但，④错误.
16．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据余弦定理，结合，求得，通过判断，即可证明；
（2）选择①，根据结合面积公式，求得；再根据等面积法即可求得；
选择②，根据三角形周长结合等量关系，求得，再根据等面积即可求得.
【详解】（1）因为，由余弦定理可得：，又，设，
则，解得（舍）或，
故△为等腰三角形，即证.
（2）选①：△的面积为，
由，可得，又，故，
则，又，故可得，又，则，
因为AC边上的高为h，故，故可得；
选②：△的周长为20，
则，即，结合可得，
由，可得，又，故，
则，即，解得.
综上所述，选择①②作为条件，均有.
17．(1)；
(2)分布列见解析，期望；
(3)；
【分析】（1）由题设条件及频率估计概率计算可得.
（2）由题意知可能的值为，求出对应可能值的概率，进而写出分布列并求期望；
（3）用频率估计概率知识计算相应的概率，利用分步计数原理、组合知识解得值并比较大小即可.
【详解】（1）由频率估计概率，总人数为(人)，
通过电视收看的人数为200(人)，；
（2）由题意，～，可能的值为，服从超几何分布：
；
；
；
；
分布列如下：
；
（3）由题意知，指随机抽取的人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人没有收看的概率.
从人中任选人有种，其中人用手机收看的概率为，
再从剩下的两人中任选人，有种，用电视收看的概率为，还有人没有收看的概率为，
由分步计数原理得：；
同理得，
所以.
18．(1)证明见解析
(2)（Ⅰ）（Ⅱ）存在，
【分析】（1）通过证明平行于平面内的一条直线，即可证明平面
（2）（Ⅰ）将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，根据等体积法，得到点到平面的距离，也就得到直线到平面的距离.
（Ⅱ）由几何关系，建立空间直角坐标系，设，根据线面垂直求出面的法向量，通过直线与平面所成的角的余弦值，即可求出的值
【详解】（1）由题意：连接交于点，
∵为矩形∴为中点
连接，
在△中，为中点，D是棱的中点
∴
∵，
∴平面
（2）（Ⅰ）由题意及（1）得
平面
∴直线到平面的距离与点到平面的距离相等
连接，设点到平面的距离为
∵，
∴由几何知识得，，
在△中，
∴△是直角三角形
∴
取中点，连接，
由几何知识得，，易得
∵
∴
∴
∴直线到平面的距离为
（Ⅱ）由题意，（1）及（2）（Ⅰ）得，
以点为原点，，，方向为轴，建立空间直角坐标系如下图所示，
则， , ，，
∴，
设，为面的一个法向量
∴
∴即，解得：
当时，
∴面的其中一个法向量
若直线与平面所成角为
∴
整理得
解得：
∴
19．(1)
(2)过定点，且定点坐标为
【分析】（1）利用焦距与椭圆定义计算可得、，即可计算出，即可得解；
（2）设出直线方程，联立曲线方程可得与交点纵坐标有关韦达定理，则可得点坐标，在表示出直线方程，即可得点坐标，由以为直径的圆上的点满足，即可借助向量得到，设，求出是否存在定值、使得恒成立即可得解.
【详解】（1）由焦距为，可得，即，
由椭圆定义可得，故，
故，
即椭圆的标准方程为；
（2）由题意可得，设，、，
联立，消去可得，恒成立，
则，，
则，，即，
则，令，解得，即，
若在以为直径的圆上，则，
由，，
即有
，
即
，
令，解得，
故以为直径的圆恒过定点.

20．(1)0
(2)
(3)过点作的切线有2条
【分析】（1）求导，根据极值点可得，代入结合的单调性检验，进而可得的最小值；
（2）分析可知在定义域内单调递增，根据函数单调性结合解不等式；
（3）根据题意可得，设切点坐标，结合导数的几何意义可得，设，利用导数分析的零点即可.
【详解】（1）因为，则，
由题意可知：，解得，
若，则，，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则在取得极小值，所以符合题意，
所以的最小值为.
（2）由（1）可知：，即，
可知在定义域内单调递增，且，
不等式即为，可得，
所以不等式的解集为.
（3）由题意可知：，可设，，
因为，解得，即，
则，符合题意，
即，，
设切点坐标为，则切线斜率，
则切线方程为，
代入点可得，
整理可得，
设，则，
令，即，解得或；
令，即，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则的极大值为，，
且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于；
由图象可知：有2个零点，所以过点作的切线有2条.
21．(1)①具有，②不具有，理由见解析
(2)
(3)存在，最小值是4049，
【分析】（1）根据新定义判断即可；
（2）根据新定义，确定数列，任意两项和不同的取值最多有15个，中任意两项和的结果有个，分为奇数、偶数讨论求解；
（3）将的项从小到大排列构成新数列：，可得，据此取数列，结合等差数列性质证明满足条件即可.
【详解】（1）①任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个，
而，所以具有性质；
②，任意两项和的结果有共7个，
而，所以不具有性质．
（2）因为数列中任意两项和的结果有共个，且全部为偶数，
所以数列，任意两项和不同的取值最多有个，
所以，
若为奇数，都是奇数，与前6项中任意两项和的值均不相同，
则中所有的不同值共有15个，所以．
若为偶数，都是偶数，所以，所以，
因为，有，所以，则，
则任意两项和比任意两项和多了，共个，不符合题意；
综上，.
（3）存在最小值，且最小值为4049．
将的项从小到大排列构成新数列：，
所以
所以的值至少有个．
即的值至少有4049个，即．
数列符合条件，即．
此时为等差数列，由等差数列性质，
当时，；当时，，
因此每个等于中的一个，或者等于中的一个．
即所有和的不同值为个不同值，且．
综上，的最小值为4049
收看方式
通过电视收看
通过手机收看
没有收看
人数（人）
200
300
100
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
B
D
A
C
B
B
C