2025-2026学年北京市第五中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年北京市第五中学高二（下）期中数学试卷试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.函数y=x2+lnx在x=1处的瞬时变化率为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.已知（1+2x）5的展开式中x2的系数为（ ）
A. 243B. 40C. 32D. 10
3.设A，B是两个随机事件，且P（A）＞0，如果P（B|A）=P（B），那么事件A与B是（ ）
A. 互斥事件B. 对立事件C. 独立事件D. 包含事件
4.已知，则a1+a2+a3+⋯+a2026=（ ）
A. 1B. 0C. 32026D. -1
5.甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）.已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.过原点的直线l与曲线y=lnx+1相切，则切点坐标为（ ）
A. （1，1）B. （2，ln2+1）C. （e,2）D.
7.中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ）
A. 18种B. 24种C. 36种D. 72种
8.“a≥-1”是“函数存在单调递减区间”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.若函数f（x）=2x2-ax+2lnx在（1，2）上有最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A. （0，3）B. （6，9）
C. D.
10.已知f（x）=ex-1，对于a,b∈R，记，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若a=0，b=2，则B＜AB. ∀a＜b,都有B＜C
C. 若0＜a＜b＜1，则A＜CD. ∃a＜b,使得A=B
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若展开式的第三项和第四项的二项式系数同时最大，则n= ，其展开式中的常数项为 .
12.在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评，某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则机器人成功完成指令的概率为0.5，假设下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为 .
13.在刚过去的“五一”假期，甲、乙、丙、丁四名同学从A，B，C三个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点A，则所有不同的选法种数为 .
14.已知函数f（x）的导函数f′（x）=g（x），请写出一个满足条件f′（0）=g′（0）=0且f（0）≠0的函数f（x）= .
15.设f（x）=xlnx,g（x）=sinωx,其中ω＞0，定义，给出下列四个结论：
①当ω=π时，M（x）共有2个极值点；
②∀ω＞0，都有M（1）=0；
③∃ω＞0，使得M（x）是增函数；
④若M（x）恰有k（k∈N*）个零点，则ω∈[kπ，kπ+π）.
其中正确结论的序号为 .
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且，csB=．
（Ⅰ）求证：△ABC为等腰三角形；
（Ⅱ）从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，求AC边上的高h．
条件①：△ABC的面积为8；
条件②：△ABC的周长为20．
17.(本小题13分)
2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放.冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约、安全、精彩”的冬奥盛会拉开序幕.
为了解“开幕式”当晚的收看情况，对某地区居民进行简单随机抽样，获得数据如下表：（用频率估计概率）
（Ⅰ）从该地区被调查对象中随机选取1人，估计此人是通过电视收看的概率；
（Ⅱ）采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用X表示这3人中通过手机收看的人数，求X的分布列和期望；
（Ⅲ）从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人没有收看的概率为p1；若3人全都用手机收看的概率为p2，试比较p1与p2的大小.（直接写出结论）
18.(本小题14分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为矩形，点D是棱C1B1的中点.
（1）求证：AB1∥平面A1DC；
（2）若∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2.
（Ⅰ）求直线AB1到平面A1DC的距离；
（Ⅱ）在棱CC1上是否存在点M，使得直线AM与平面A1DC所成角为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由.
19.(本小题15分)
已知椭圆，焦距为4，椭圆上的点到两焦点的距离之和为.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于A，B两点，记线段AB的中点为N，直线ON交直线 x=3于点M（O为坐标原点），以MN为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由.
20.(本小题15分)
定义在R上的函数g（x）=（x-a）ex+1在x=0取得极小值.函数f（x）满足f'（x）=g（x）（其中f′（x）是f（x）的导函数）且f（0）=1.
（Ⅰ）求g（x）的最小值；
（Ⅱ）解不等式f（x）≤1；
（Ⅲ）若f（3）＜2e3+2，求过A（2，1）点做f（x）的切线有多少条？
21.(本小题15分)
已知各项均为正整数的有穷数列An：a1，a2，⋯，an（n＞3）满足∀1≤i＜j≤n,有ai≠aj，若an等于ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数，则称数列An具有性质P.
（Ⅰ）判断下列数列是否具有性质P，并说明理由；
①A4：3，1，7，5；
②A5：2，4，6，8，10.
（Ⅱ）已知数列A7：2，4，6，8，10，12，m具有性质P，求出m的所有可能取值；
（Ⅲ）若一个数列A2026：a1，a2，⋯，a2026具有性质P，则a2026是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】5
10．

12.【答案】0.8．
13.【答案】24．
14.【答案】x3+1（答案不唯一）．
15.【答案】①③
16.【答案】（Ⅰ）证明：由，可设a=3m，b=4m，
由余弦定理知，csB==，即=，
化简整理得，3c2-2mc-21m2=0，即（3c+7m）（c-3m）=0，
所以c=3m=a，
故△ABC为等腰三角形．

（Ⅱ）解：选择条件①：由（Ⅰ），知a=c=3m，b=4m，
过点B作BD⊥AC于D，则AD=b=2m，
所以BD==m，
所以△ABC的面积S=BD•AC=m•4m=8，解得m=2，
所以AC边上的高h=BD=2．
选择条件②：由（Ⅰ），知a=c=3m，b=4m，
因为△ABC的周长为20，所以a+b+c=10m=20，即m=2，
因为csB=，所以sinB==，
所以△ABC的面积S=acsinB=h•AC，即6×6×=h•8，
所以AC边上的高h=BD=2．
17.【答案】；
p1＞p2；
18.【答案】（1）证明：由题意：连接AC1交A1C于点E，
∵ACC1A1为矩形，∴E为A1C中点，
连接DE，AB1，在△AB1C1中，E为A1C中点，D是棱C1B1的中点，
∴DE∥AB1，又A1B⊄面A1CD，DE⊂面A1CD，
∴AB1∥平面A1DC （2）（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，
19.【答案】 过定点，且定点坐标为（2，0）
20.【答案】0 （-∞，0] 过A（2，1）点作f（x）的切线有2条
21.【答案】①具有，②不具有，理由如下：
①A4：3，1，7，5，任意两项和的结果有4，6，8，10，12，共5个，而a4=5，所以具有性质P．
②A5：2，4，6，8，10，任意两项和的结果有6，8，10，12，14，16，18，共7个，
而a5=10，所以不具有性质P m=15 存在，最小值是4049，一个满足条件的数列A2026：1，3，5，…，4047，4051，4049 收看方式
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