精品解析：辽宁省协作校2025-2026学年高一下学期5月期中测试数学试卷含解析（word版）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．作答时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项符合题目要求）
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角差正弦公式求解即可.
【详解】因为，
所以
故选：C.
2. 在中，若，，，则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由余弦定理，.
3. 已知平面向量的夹角为60°，，则＝（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量数量积及向量的模计算即可.
【详解】因为平面向量的夹角为60°，＝2，＝1，
而，
所以．
4. 若，则是（ ）
A. 第二或第四象限角B. 第三象限角
C. 第二象限角D. 第一或第三象限角
【答案】A
【解析】
【分析】结合三角函数性质可得范围，即可得范围，即可得解.
【详解】由，，则是第三象限角，
即，
所以，
当，即为偶数时，
，此时是第二象限角；
当，即为奇数时，
，此时是第四象限角；
综上是第二或第四象限角.
5. 在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，求解即可.
【详解】在中，，，，又满足条件的有2个，
则，即，解得，所以的取值范围是.
故选：D.
6. 若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】令，得.
所以函数的图像的对称中心为.
若点是函数的图像的一个对称中心，
令，得.
当时，取得最小值，最小值为.
7. 如图，已知中，，点在线段上运动，且满足，当取到最小值时，的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系，计算P点坐标，得到的式子得到答案.
【详解】以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系
不妨设
则，
当时取最小值
故答案选D
【点睛】本题考查了向量的计算，函数的最值，建立直角坐标系可以简化运算.
8. 已知函数，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得，由余弦函数的对称性，，化简得到，代入即可求解.
【详解】由于，所以,
因为​，所以，
因为，且，则
​由余弦函数的对称性，，且，
所以，则，
则，
因为，且，
所以
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 向量与的夹角的余弦值为D. 向量在上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由条件求得，由判断；对于B，由向量的模的坐标公式可得；对于C，由向量夹角的坐标公式计算即得；对于D，根据投影向量定义计算即得.
【详解】，
选项A：因，故，故A正确；
选项B：，故，故B正确；
选项C：，故C错误；
选项D：设向量在上的投影向量为，
则，故D正确.
10. 函数 的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递增
D. 关于x的不等式的解集为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答.
【详解】由图象得，，即，
而，则，又，且在减区间中,
则，解得，
函数的最小正周期，由图象知，
则，
对于A，图象向左平移个单位得到的图象，A正确；
对于B，代入有，不为正弦函数对称轴，故B错误；
对于C，当时，，
因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，C正确；
对于D，由，得，则，
解得，所以解集为，D错误．
11. 在中，内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，则该三角形周长的最大值为
C. 若的平分线交边于点且，则
D. 若的面积为，边上的高分别为，且，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项直接结合推导结果判断角的大小；B选项已知边求周长最大值，需借助正弦定理将边转化为角的三角函数，结合三角函数值域求解；C选项涉及角平分线性质，需通过三角形面积拆分得到的数量关系，再结合基本不等式求最值；D选项涉及三角形高的乘积最值，需结合三角形面积公式、余弦定理及基本不等式推导判断.
【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，
又因为，所以 ，化简可得 ，
又 ，可得，又，故，即选项A正确；
对于B，若，又，由正弦定理得，
所以，
则
因为，所以，所以，则的最大值为，故B正确；
对于C，由为的角平分线，得 ．
又，即，所以．
即，
当且仅当即时等号成立；故C错误；
对于D，由题意可得 ，
所以，则，
又因为 ，所以
由余弦定理得，当且仅当时等号成立
所以，所以，故D正确．
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为___________.
【答案】
【解析】
【分析】将角度化为弧度，结合弧长公式运算求解即可.
【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，即为弧度，
且半径，所以扇形的弧长为.
故答案为：.
13. 已知：向量与的夹角为锐角．则实数m的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】两向量夹角的坐标公式计算可得结果
【详解】两向量夹角的坐标公式为，
因为向量与的夹角为锐角，则，
所以.
故答案为：
14. 已知为函数相邻的两个零点，满足且，若在上有三个实数根，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据相邻零点距离求周期得，由对称性求确定函数表达式，再转化为正弦方程根的问题，最后通过分析解的个数确定的范围.
【详解】因为是的两个相邻零点，且，
所以的半周期，，即，
所以函数为 ，
由可知的一个对称中心为，
所以，解得，
又，取 ，所以，即，
因为，所以，
令，则问题转化为方程在上有三个实数根，
即的图象与直线有且仅有三个交点，
结合正弦函数图象可知，解得.
四、解答题（共5道题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知．
（1）化简，并求值；
（2）若且，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【小问1详解】
因为，，所以，
原式，
所以，原式
【小问2详解】
因为，所以，
又，所以，
所以
16. 如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．测得A到M，N的俯角和分别为，，B到M，N的俯角分别为，同时测得．
（1）分别求出A，M两点间的距离及A，N两点间的距离；
（2）求山顶M，N之间的距离．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】 （1）求出各角度后，利用余弦定理与正弦定理计算即可得、；
（2）借助余弦定理计算即可得.
【小问1详解】
在中，，，
故，则，
即，
在中， ，
由正弦定理可得，，
所以；
【小问2详解】
在中，，
由余弦定理得，，
代入数据有，
即．所以，之间的距离为．
17. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）求不等式在上的解集；
（3）对于任意的，关于x的不等式≥0恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式得到，结合周期公式和整体代换即可求解；
（2）由（1）得到再结合正弦函数性质即可求解；
（3）通过分离参数得到，再结合的值域和基本不等式即可求解.
【小问1详解】
易知
．
令，可得，
所以的单调递增区间为；
【小问2详解】
由可得，整理可得．
因为，所以．
根据正弦函数的性质可知要使，应满足，
解得．
所以不等式在上的解集为．
【小问3详解】
因为，所以，得到，
所以，又因为不等式恒成立，
得到，因为，
当且仅当，即时取等号，因此，
所以实数m的取值范围是.
18. 在中，角的对边分别为，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若的面积，内切圆的半径为，求；
（3）若为锐角三角形，且，求面积的范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理化简即可求解；
（2）利用三角形的面积公式可求出的值以及的值，结合余弦定理可得出关于的等式，解之即可；
（3）先根据三角形面积公式表示出，然后利用正弦定理表示出，结合三角函数的化简运算以及正切函数的单调性求解出三角形面积的取值范围，注意角度关系.
【小问1详解】
由，可得，
由于，故，
【小问2详解】
由题可知，化简得，
由余弦定理知，即，
所以，解得
【小问3详解】
在中，
由正弦定理得，
于是得，
因为是锐角三角形，则，且，
于是有，则，即，则，
从而得，
所以面积的取值范围是
19. 平面上非零向量，规定一种运算“⨂”：，其中为向量与的夹角．
（1）若，求的值；
（2）在△ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且已知，，若点G为△ABC的外心，求．
（3）已知向量，求的最小值．
【答案】（1）7 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数基本关系及数量积定义可得，再根据数量积的坐标运算与模的坐标运算公式计算求解即可；
（2）根据正弦定理及余弦定理可得，，取的中点为，连接，根据向量数量积的几何意义可得，，结合（1）计算即可求解；
（3）借助所给定义及三角函数间的关系，计算可得，代入数据，结合基本不等式计算即可得.
【小问1详解】
若，则，
因为，
所以；
【小问2详解】
由和正弦定理，可得，
因，
代入得，因，则，故，
由余弦定理，可得，即.
取的中点为，连接，因为点G为的外心，所以，
由正弦定理可得，所以，
由向量数量积的几何意义可知，，同理，
所以，
所以；
【小问3详解】
设，
，
因为向量
故，
，
当且仅当，即时等号成立，取得最小值是.