数学：辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一下学期期中考试试卷（解析版）

这是一份数学：辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一下学期期中考试试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）
1. 集合，，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】有已知，则，
故选：C.
2. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年让无数观赏者入迷，某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角，处作圆弧所在圆的切线，两条切线交于点，测得，，则《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为（单位：）（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设圆弧的圆心为，则易知，
又，则，即为正三角形，所以半径，则弧长为，
故选：B.
3. 函数的单调减区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，因在上单调递减，则，则.
故选：D
4. 已知非零向量，满足，若，则在方向上的投影的数量为（ ）
A. 5B. 1C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，因为，可得，
所以，所以在方向上的投影的数量为.
故选：A.
5. 已知，，，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】化简可得，由，
则，即；
，
，由，则，
即，所以，
故选：D.
6. “欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一.下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为（ ）
（，结果保留位小数）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】B
【解析】由已知设，则，，在中，由正弦定理得，即，
又在中，由正弦定理得，即，
则，则，
故选：B.
7. 如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，易知，，，过点作于点，则四边形为矩形，
则，又，
所以，即的最大值为，
故选：C.
8. 已知，，且，，则（ ）
A. B. 或C. 或D.
【答案】D
【解析】因为，，所以，
所以，因为，，所以，
又，所以，所以，
所以，所以，
所以.
故选：D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 最大值为
C. 若，则
D. 若与的夹角为，则
【答案】AC
【解析】由已知向量，，
A选项：若，则，解得，A选项正确；
B选项：，所以的最大值为，B选项错误；
C选项：由，则，解得，C选项正确；
D选项：由与的夹角为，且，，则，，D选项错误；
故选：AC.
10. 在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则有两个解
B. 若，则是锐角三角形
C. 若是锐角三角形，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】对于A，由余弦定理，
，则或，经验证均满足三角形三边关系，则三角形有两解，故A正确；
对于B，，则为锐角，但题目条件不足，无法判断其他角的情况，故B错误；
对于C，因是锐角三角形，则，因正弦函数在上单调递增，，则，故C正确；
对于D，由正弦定理边角互化可得，则，故D正确.
故选：ACD
11. 下列说法正确的有（ ）
A.
B. 已知，则
C.
D. 在，角的对边分别为，若，则
【答案】BCD
【解析】A选项：由诱导公式可知，
又，
即，
所以，A选项错误；
B选项：由已知，则，B选项正确；
C选项：，C选项正确；
D选项：由已知在中，，
又设，则在中，，，
所以，
，
D选项正确；
故选：BCD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 求值________．
【答案】
【解析】由诱导公式可知，
故答案为：.
13. 设向量，，满足，，，则的最大值为________．
【答案】；
【解析】如图，设，由题可得，，
取中点为，过做垂线，在垂线上取点，使，
从而可使，再以为圆心，为半径作圆，
则当一点分别在两圆优弧上时，.注意到，则，即终点在两圆优弧上.由图可得，当在圆优弧上，且三点共线时最大.则.
故答案为：
14. 已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是________．
【答案】
【解析】由已知是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，
则，即，即，，
又函数在区间上单调，则，即，
所以，解得且，
当，即时，，
此时，，解得，，
又，即，此时，
当，则，函数不单调；
当，即时，，
此时，，解得，，
又，即，此时，
当，则，函数单调，满足题意；
综上所述的最大值为，
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知向量，，，且．
（1）求实数m的值；
（2）求；
（3）求向量与的夹角θ．
解：（1）由题意可知，，
又，可得，解得．
（2）由（1）可知，可得，
因此；
（3）易知，,，
又，可得
所以向量与的夹角（或）
16. 已知函数的图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的值域．
解：（1）由图象可知，且，即，
又，所以；所以，
又，解得，，
又，则，所以；
（2）令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，，
又，所以函数在上的单调递增区间为和；
（3）当，则，即
设，则，
所以当时，取得最小值为；
当时，取得最大值为，
故在上的值域为.
17. 已知为锐角三角形，角所对边分别为，满足：
（1）求角的取值范围；
（2）当角取最大值时，若，求面积的取值范围．
解：（1）由题意知
得，
由正弦定理可得：，即，
∴，
又，所以的取值范围为；
（2）由（1）知：；由正弦定理
得：，所以，
，
又，则，
，
因为为锐角三角形，
∴，即，解得：，
则，，
所以，
所以的面积的取值范围为.
18. 已知函数，
（1）若，，求函数的解析式及对称轴；
（2）若，，，且，求的值；
（3）已知，函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，是一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数a的取值范围以及的值．
解：（1）函数
，．则的最小正周期，
因为，，所以函数的最小正周期，
所以，解得
当时，，令，解得，
所以函数的图象的对称轴为
当时，，令，解得，
所以函数的图象的对称轴为；
（2）当，
由，则，
由，则，可得，
所以
.
（3）由题意可知，
因为是的一个零点，即，
所以，
所以或，
故或，又，（舍），
故，则，
当时，，设，则，
则原式可化为，即的图象在区间内与水平直线的图象有3个不同的交点，
作出在上的图象如下图所示，
所以当时，即，与恰有3个不同的交点，
故实数a的取值范围为，
设与的3个不同的交点分别为、、，
则、，
∴，即，
整理得．
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的一个几何问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”．意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，满足的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．利用以上知识解决下面问题：
（1）若是边长为的等边三角形，求该三角形的费马点到各边的距离之和；
（2）的内角所对的边分别为，且，点为的费马点．
（ⅰ）若，求；
（ⅱ）求的最大值．
解：（1）因为为等边三角形，三个内角均小于，故费马点在三角形内，
由正三角形对称性可知点为三角形中心，
即满足，且，
如图：过作于，
则，，
故，
因为为等边三角形，费马点到各边的距离相等
所以该三角形的费马点到各边的距离之和为；
（2）（ⅰ）因为，由正弦定理，且，，
所以，，得，
所以的三个角都小于，
则由费马点定义可知，，
设，，，，，，，
由得：
，
整理得，
又．
故；
（ⅱ）由（ⅰ）知，所以点在内部，且，
设，，，，，，
令，，，，所以．
由余弦定理得，，
由勾股定理得，，
即，
所以，即，
而，，所以，
当且仅当，即时，等号成立．
设，则，解得或（舍去），
由，，
所以
又
故的最大值为，此时，即