2026届河南南阳市高考数学倒计时模拟卷含解析

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，则“函数有两个零点”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．如图，四边形为平行四边形，为中点，为的三等分点（靠近）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ）
A．B．8C．D．4
4．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：
根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ）
A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高
B．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低
C．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益
D．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元
5．下列说法正确的是（ ）
A．“若，则”的否命题是“若，则”
B．在中，“”是“”成立的必要不充分条件
C．“若，则”是真命题
D．存在，使得成立
6．已知变量x，y间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为，则表中数据m的值为（ ）
A．0.9B．0.85C．0.75D．0.5
7．已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，若点的横坐标为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定形式是“，”
B．若平面，，，满足，则
C．随机变量服从正态分布（），若，则
D．设是实数，“”是“”的充分不必要条件
9．已知复数满足，则的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
10．已知双曲线的一条渐近线为，圆与相切于点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．已知双曲线（，），以点（）为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，，若，则______.
14．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于________.
15．在平面直角坐标系中，若双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为________.
16．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF=60°，则|FR|等于_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
18．（12分）已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）当时，求证：.
19．（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，若方程有两个不相等的实数根，求证：.
20．（12分）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线，曲线（为参数），求曲线交点的直角坐标.
21．（12分）已知函数，
（1）若，求的单调区间和极值；
（2）设，且有两个极值点，，若，求的最小值.
22．（10分）已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.
（1）判断点是否在直线上？说明理由；
（2）设点是△的外接圆的圆心，点到轴的距离为，点，求的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
作出函数的图象，得到，把函数有零点转化为与在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断．
【详解】
作出函数的图象如图，
由图可知，，
函数有2个零点，即有两个不同的根，
也就是与在上有2个交点，则的最小值为；
设过原点的直线与的切点为，斜率为，
则切线方程为，
把代入，可得，即，∴切线斜率为，
∴k的取值范围是，
∴函数有两个零点”是“”的充分不必要条件，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题．
2、D
【解析】
使用不同方法用表示出，结合平面向量的基本定理列出方程解出．
【详解】
解：，
又
解得，所以
故选：D
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．
3、C
【解析】
将直线方程代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值．
【详解】
F（1，0），故直线AB的方程为y＝x﹣1，联立方程组，可得x2﹣6x+1＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．
由抛物线的定义可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，
∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．
故选C．
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
4、D
【解析】
用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.
【详解】
用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：
所以月收益最高，A选项说法正确；月收益最低，B选项说法正确；月总收益万元，月总收益万元，所以前个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后个月收益比前个月收益增长万元，所以D选项说法错误.故选D.
【点睛】
本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.
5、C
【解析】
A：否命题既否条件又否结论，故A错.
B：由正弦定理和边角关系可判断B错.
C：可判断其逆否命题的真假，C正确.
D：根据幂函数的性质判断D错.
【详解】
解：A：“若，则”的否命题是“若，则”，故 A错.
B：在中，，故“”是“”成立的必要充分条件，故B错.
C：“若，则”“若，则”，故C正确.
D：由幂函数在递减，故D错.
故选：C
【点睛】
考查判断命题的真假，是基础题.
6、A
【解析】
计算，代入回归方程可得．
【详解】
由题意，，
∴，解得．
故选：A.
【点睛】
本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点．
7、A
【解析】
由题意得，即可得点M的轨迹为以A，B为左、右焦点，的双曲线，根据双曲线的性质即可得解.
【详解】
如图，连接OP，AM，
由题意得，
点M的轨迹为以A，B为左、右焦点，的双曲线，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.
8、D
【解析】
由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；或，利用集合间的包含关系可判断选项D.
【详解】
命题“，”的否定形式是“，”，故A错误；，
，则可能相交，故B错误；若，则，所以
，故，所以C错误；由，得或，
故“”是“”的充分不必要条件，D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.
9、B
【解析】
根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可.
【详解】
由，得，所以．
故选：B
【点睛】
本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题.
10、D
【解析】
由圆与相切可知，圆心到的距离为2，即.又，由此求出的值，利用离心率公式，求出e.
【详解】
由题意得，，
，.
故选：D.
【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.
11、A
【解析】
求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则可根据圆心到渐近线距离为列出方程，求解离心率．
【详解】
不妨设双曲线的一条渐近线与圆交于，
因为，所以圆心到的距离为：，
即，因为，所以解得．
故选A．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.
12、C
【解析】
根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积.
【详解】
由几何体的三视图可得，
几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为2的棱柱，
故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积，
即，
故选C.
【点睛】
本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、-1
【解析】
由向量垂直得向量的数量积为0，根据数量积的坐标运算可得结论．
【详解】
由已知，∵，∴，．
故答案为：－1．
【点睛】
本题考查向量垂直的坐标运算．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．
14、
【解析】
由已知可知直线过抛物线的焦点，求出弦的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦的中点到直线的距离．
【详解】
解：如图，
直线过定点，，
而抛物线的焦点为，，
弦的中点到准线的距离为，
则弦的中点到直线的距离等于．
故答案为：．
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，属于中档题．
15、
【解析】
利用，解出，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】
，且，，
，
该双曲线的渐近线方程为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了双曲线离心率与渐近线方程，考查了双曲线基本量的关系，考查了运算能力，属于基础题.
16、2
【解析】
由题意知：，，，.由∠NRF=60°，可得为等边三角形，MF⊥PQ，可得F为HR的中点，即求.
【详解】
不妨设点P在第一象限，如图所示，连接MF，QF.
∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点
∴，.
∵M，N分别为PQ，PF的中点，
∴，
∵PQ垂直l于点Q，
∴PQ//OR，
∵，∠NRF=60°，
∴为等边三角形，
∴MF⊥PQ，
易知四边形和四边形都是平行四边形，
∴F为HR的中点，
∴，
故答案为：2.
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）按绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式；
（2）不等式转化为，求出在上的最小值即可，利用绝对值定义分类讨论去绝对值符号后可求得函数最小值．
【详解】
解：（1）或或
解得或或无解
综上不等式的解集为．
（2）时，，即
所以只需在时恒成立即可
令，
由解析式得在上是增函数，
∴当时，
即
【点睛】
本题考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，解决绝对值不等式的问题，分类讨论是常用方法．掌握分类讨论思想是解题关键．
18、 (1) 的极小值为，无极大值.（2）见解析.
【解析】
（1）对求导，确定函数单调性，得到函数极值.
（2）构造函数，证明恒成立，得到，
，得证.
【详解】
（1）由题意知，，
令，得，令，得.
则在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值.
（2）当时，要证，即证.
令，则，
令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
所以，即.因为时，，
所以当时，，
所以当时，不等式成立.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，极值，不等式的证明，构造函数是解题的关键.
19、（1）；（2）当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；（3）证明见解析.
【解析】
（1）当时，，求得其导函数 ，，可求得函数的图象在处的切线方程；
（2）由已知得，得出导函数，并得出导函数取得正负的区间，可得出函数的单调性；
（3）当时，，，由（2）得的单调区间，以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，，构造函数，分析其导函数的正负得出函数的单调性，得出其最值，所证的不等式可得证.
【详解】
（1）当时，，
所以 ，，
所以函数的图象在处的切线方程为，即；
（2）由已知得，，令，得，
所以当时，，当时，，
所以在上是减函数，在上是增函数；
（3）当时，，，由（2）得在上单调递减，在单调递增，
所以，且时，，当时，，，
所以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，，
构造函数，则，
当时，所以，
在上单调递减，且，，
由 ，在上单调递增，
.
所以.
【点睛】
本题考查运用导函数求函数在某点的切线方程，讨论函数的单调性，以及证明不等式，关键在于构造适当的函数，得出其导函数的正负，得出所构造的函数的单调性，属于难度题.
20、
【解析】
利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.
【详解】
因为，所以，
所以曲线的直角坐标方程为.
由，得，
所以曲线的普通方程为.
由，得，
所以（舍），
所以，
所以曲线的交点坐标为.
【点睛】
本题考查极坐标方程与普通方程，参数方程与普通方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.
21、（1）增区间为，减区间为; 极小值，无极大值；（2）
【解析】
（1）求出f（x）的导数，解不等式，即可得到函数的单调区间，进而得到函数的极值；
（2）由题意可得，，求出的表达式，，求出h（t）的最小值即可．
【详解】
（1）将代入中，得到，求导，
得到，结合，
当得到： 增区间为，当，得减区间为且在时有极小值，无极大值.
（2）将解析式代入，得，求导
得到，
令,得到,
，，
，
，
，
，
，
因为，所以设,令，
则所以在单调递减,又因为
所以,所以 或
又因为，所以 所以,
所以的最小值为.
【点睛】
本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数的极值的意义，考查转化思想与减元意识，是一道综合题．
22、（1）不在，证明见详解；（2）
【解析】
（1）假设直线方程，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算，可得，然后验证可得结果.
（2）分别计算线段中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点的轨迹方程，然后可得焦点，结合抛物线定义可得，计算可得结果.
【详解】
（1）设直线方程，
根据题意可知直线斜率一定存在，
则
则
由
所以
将代入上式
化简可得，所以
则直线方程为，
所以直线过定点，
所以可知点不在直线上.
（2）设
线段的中点为
线段的中点为
则直线的斜率为，
直线的斜率为
可知线段的中垂线的方程为
由，所以上式化简为
即线段的中垂线的方程为
同理可得：
线段的中垂线的方程为
则
由（1）可知：
所以
即，所以点轨迹方程为
焦点为，
所以
当三点共线时，有最大
所以
【点睛】
本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处，第（2）问中关键在于得到点的轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.
变量x
0
1
2
3
变量y
3
5.5
7
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
收益
20
30
20
10
30
30
60
40
30
30
50
30