2026年湖南省娄底市中考二模数学试题（含解析）

这是一份2026年湖南省娄底市中考二模数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．全卷满分120分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 在3，，，0这四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A. 3B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】先分别求出四个数的绝对值，再比较大小，即可得到绝对值最大的数．
【详解】解：∵，， ，，
且 ，即，
∴ 四个数中绝对值最大的数是．
2. 全球人工智能领域在近几年来迎来了前所未有的技术突破，以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：A、 B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形，均不符合题意；
D选项中的图形能找到满足条件的直线，所以D选项符合题意．
3. 一个不透明的袋子里装有4个黑球和6个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用概率计算公式，用黑球的个数除以球的总个数，算出概率即可．
【详解】解：∵袋中共有个球，所有摸球结果是等可能的，其中摸出黑球的结果有4种，
∴从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. x2+x2=x4B. x3•x2=x6C. 2x4÷x2=2x2D. （3x）2=6x2
【答案】C
【解析】
【分析】根据整式运算法则，分别求出四个选项中算式的值，比较后即可得出结论．
【详解】A、x2+x2=2x2，选项A错误；
B、x3•x2=x3+2=x5，选项B错误；
C、2x4÷x2=2x4﹣2=2x2，选项C正确；
D、（3x）2=32•x2=9x2，选项D错误．
故选C．
本题考查了整式的混合运算，牢记整式混合运算的运算法则是解题的关键．
5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程有实数根求参数以及解一元一次不等式，根据即可求出m的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得：．
故选∶B．
6. 我国古代数学名著《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱．问梨果各几何?”意思：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个，问梨果各买了多少个？如果设梨买个，果买个，那么可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用总价单价数量，结合用999文钱买得梨和果共1000个，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵买得梨和果共1000个，
∴；
∵梨11文买9个，果4文买7个，且买梨和果共花费999文钱，
∴．
∴根据题意可列方程组．
7. 如图，把一个有的直角三角板放到一个矩形方框内，三个顶点均在方框边上，连接．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合条件可知 和 均为直角三角形，因此可以考虑构造“一线三等角”模型，利用相似即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于 ，
由条件易知，
．
在 中，，，则 ，．
在 中，，则 ．
，，
，
．
8. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移4个单位长度，平移后的直线经过，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据一次函数平移规律求出平移后的直线解析式，再将点代入解析式，计算即可求出的值．
【详解】解：根据一次函数图象平移规律：上加下减，
将直线向上平移4个单位长度，
可得平移后的直线解析式为：
，
平移后的直线经过，
把代入得：
．
9. 在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据压强公式，代入，即可求出反比例函数，进而判断出函数图像．
【详解】解：根据压强公式，可知当，时，
故，
即，
与的函数关系式为，
当时，，
故B，C选项不符合题意；
当时，，
故D选项不符合题意；
P与S之间的函数图像可能是选项A中的图像．
故选：A．
10. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，是劣弧的中点，连接，．以点为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用等边三角形及圆的性质，求出的度数、的长度，再证明为等腰三角形，阴影部分面积等于以为圆心、为半径的扇形的面积，代入扇形面积公式求解．
【详解】解：是等边三角形，
，
根据圆内接四边形对角互补，得，
是劣弧的中点，
∴，
，即为等腰三角形，
如图，连接、，过作于，
等边边长，
是外接圆圆心，， ，
在 中，，，即，
解得，即半径为，
是劣弧中点，，，
由圆周角定理及等腰三角形性质，可求得，
阴影部分面积为扇形的面积， 扇形面积公式：（为圆心角度数，为半径），
代入，
阴影部分面积．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11. 如图，直线，相交于点．若，则的度数是_____．
【答案】##146度
【解析】
【分析】根据“对顶角相等”，即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴．
12. 若分式的值为0，则x的值是_________．
【答案】2．
【解析】
【分析】直接利用分式为零的条件分析得出答案．
【详解】∵分式的值为0，
∴x2﹣2x＝0，且x≠0，
解得：x＝2．
故答案为2．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
13. 已知m，n满足，，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先对所求式子因式分解，将式子转化为含有、的形式，再整体代入已知条件求值．
【详解】解：对式子进行因式分解：
，
，，
原式．
14. 端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高．若每个粽子的成本为元，则每个粽子的标价为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据“标价=成本”进行解答即可．
【详解】解：标价为．
15. 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图，这是中国象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点，“马”位于点，则棋子“兵”的位置应记为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据“帅”位于点，“马”位于点，建立平面直角坐标系，然后判断棋子“兵”的位置即可．
【详解】解：由题意知，建立平面直角坐标系如下，
∴棋子“兵”的位置应记为．
16. 如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再以点，为圆心，大于的长为半径分别作弧相交于点，连接并延长交于点，为上一动点．若，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由作图步骤可知是的角平分线，根据垂线段最短，当时， 长度最小；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可求出的最小值．
【详解】解：由作图过程可知，平分，
根据垂线段最短，当时，取得最小值．
已知，即，
又 平分，，，
（角平分线上的点到角两边的距离相等），
，
的最小值为．
17. 数学操作实践课上，小明以为边长分别向两边作了正五边形和正六边形，如图，在操作过程中，他将点和点连接在一起，则图中的度数是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据正多边形内角和的性质求得，的度数，从而得到，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：由题意可得，
在正五边形中，内角和为，
则，
在正六边形中，内角和为，
则，
∴，
所以．
18. 在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数2，4，进行第1次构造，得到新的一列数2，6，4，第2次构造后，得到一列数2，8，6，10，4，…；第次构造后，得到一列数2，，，，…，，4．记．
（1）若进行第3次构造，则的值为_____．
（2）根据上述构造游戏进行判断，下列结论正确的是_____．（写出所有正确的结论）
①为偶数；②；③；④．
【答案】 ①. 84 ②. ①②③
【解析】
【分析】（1）先根据构造规则求出前几次构造后的和,推导数列的递推关系与通项公式，再逐一验证各个结论；
（2）按（1）中推导的及的通项公式判断正误即可．
【详解】（1）根据上述游戏，进行第1次构造后得到的数据之和为，其中；
第2次构造后得到的数据之和为，其中；
第3次构造后得到的数据之和为，其中；
第4次构造后得到的数据之和为
，其中；
……
第次构造后得到的数据之和为，其中，
综上所述，的值为84．
（2）为偶数；；；，
故①②③正确．
三、解答题（共8小题，共66分）
19. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义、绝对值的意义、零指数幂的意义计算即可求出值．
【详解】解：原式
．
20. 先化简，再从0，1，3中选择一个合适的值代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的四则混合运算对式子进行化简，根据分式有意义的条件确定，代入求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
．
由题意可得，不能取1和3，
将代入得，原式．
21. 如图，是的直径，，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点．
（1）若，求的度数．
（2）若，，求半径的长．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得，即可求解；
（2）连接，根据题意可得与相切于点，得到，根据圆周角定理可得，等腰三角形的性质可得，从而得到，从而解得，根据含30度角直角三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：，，
．
【小问2详解】
解：如图，连接，
．
，
，
．
与相切于点，
，
，
．
，
，
半径的长为3．
22. 当前，我国正迈入人工智能时代，以机器人科技为引领的智能产业蓬勃兴起，成为现代科技创新的重要标志．某大型物流中心为了提高工作效率，欲购买两种型号的智能机器人，对货物进行分拣、搬运．具体相关信息如下：
（1）求A，B两种型号智能机器人的单价．
（2）现该物流中心准备用不超过万元购买A，B两种型号智能机器人共台，则该物流中心选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
【答案】（1）A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元
（2）选择购买A型智能机器人6台、B型智能机器人4台，能使每天分拣快递的件数最多
【解析】
【分析】（1）设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元．根据题意列出方程组，计算结果即可；
（2）设购买A型智能机器人台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，可得当时，每天分拣快递的件数最多．
【小问1详解】
解：设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元．
依题意得
解得
答：A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元．
【小问2详解】
解：设购买A型智能机器人台，则购买B型智能机器人台．
依题意，得，
．
每天分拣快递的件数，
∵，
∴由一次函数的性质知，当时，每天分拣快递的件数最多，为（万件）．
则（台），
∴选择购买A型智能机器人6台、B型智能机器人4台，能使每天分拣快递的件数最多．
23. 某实验学校八年级举办了“一分钟踢毽子”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理和分析．下面给出了部分信息．
【收集数据】
甲班10名学生的竞赛成绩：64，55，62，69，70，59，63，70，66，72．
乙班10名学生的竞赛成绩：70，59，60，61，66，64，70，72，58，70．
【整理数据】
【分析数据】
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：_____，_____．
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班级成绩比较好，简要说明理由．
（3）若甲班、乙班两个班级所有学生全部参赛，甲班共有学生40人，乙班共有学生50人，按比赛记分规定，70分及70分以上的学生均为满分，估计这两个班可以获得满分的总人数是多少．
【答案】（1）70，65
（2）乙班成绩比较好，理由见解析
（3）估计这两个班可以获得满分的总人数是32人
【解析】
【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数是将数据从小到大排列后，中间两个数的平均数；
（2）平均数相同的情况下，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定；
（3）先根据样本求出甲、乙班满分人数占比，再用总人数×对应占比求和．
【小问1详解】
解：求（甲班众数）：甲班成绩：，，，，，，，，，，其中出现次，出现次数最多，故；
求（乙班中位数）：乙班成绩从小到大排列：，，，，，，，，， 共个数据，中位数为第、个数的平均数，即
．
【小问2详解】
解：甲、乙两班平均数均为65，
甲班方差为26.6，乙班方差为25.2，
，
乙班成绩波动更小，更稳定，故乙班成绩较好．
【小问3详解】
解：甲班样本：10人中70分及以上有3人，占比，
甲班40人，满分人数：（人）；
乙班样本：10人中70分及以上有4人，占比，
乙班50人，满分人数：（人），
总满分人数：（人）．
24. 神农塔（又称株洲电视塔、东方神龙塔）是位于中国湖南省株洲市天元区的一座多功能钢结构电视塔，是株洲市的标志性建筑和重要文化景观．某校九年级数学兴趣小组成员在学习了“解直角三角形”相关知识后利用课余时间对该塔进行高度测量．首先在距离塔底部中心388米的点处进行测量，测杆高度为2米，此时测量到塔尖点处的仰角为，然后向塔的方向将测杆平移一段距离到点处，在此测量到塔尖的仰角为，求之间的距离和塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：，）
【答案】之间的距离为243米，塔的高度为293米
【解析】
【分析】延长交于点，设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义表示出相应线段，列方程，求解即可．
【详解】解：如图，延长交于点，
，．
，
四边形是矩形，
米，米．
设米．
，，，
，
．
，，，
，
．
米，
，
解得，（米），
（米），
之间的距离为243米，塔的高度为293米．
25. 如图1，中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，当恰好经过的中点，时，求的长；
（3）如图3，当经过点时，以边在右侧作正方形，延长交于点，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转性质得到对应边相等、对应角相等，再利用两边对应成比例且夹角相等，证明三角形相似．
（2）先利用直角三角形斜边中线性质和三角函数关系，通过设未知数求出线段的长度，再借助（）中相似三角形的比例关系求出．
（3）通过设参数表示线段长度，构造直角三角形利用勾股定理列方程求解，再结合相似或平行线分线段成比例求出的值．
【小问1详解】
证明：由旋转性质可知，，
，
．
【小问2详解】
解：如图，过点作于，
，
由旋转性质可知，，
，是的中点，
，
，即，
，
设，则，
，解得，
，
，
，即，
解得，．
【小问3详解】
解：如图，令，
过点作于点，交于点，
，
由旋转性质可知，，
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在中，，
设，则，
在中，
，
解得，（舍去），
，
，
．
本题主要考查了图形旋转的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理以及正方形的性质，熟练掌握旋转前后图形的对应关系、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），对称轴为，与轴交于点，连接，．
（1）求抛物线的表达式．
（2）过点作交轴于点，交于点．在第一象限内，抛物线上有一点，使得，求点的坐标．
（3）是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为M，交于点．试探究在点运动的过程中，是否存在最大值，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）当时，有最大值
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数与角度的问题，二次函数与线段的问题，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，综合性比较强，解题的关键是表示出线段长度与点的横坐标为的函数关系．
（1）根据二次函数的对称性求得点的坐标为，根据待定系数法求解即可；
（2）由题意得，点关于轴对称的点，求得直线与抛物线的交点，根据平行线的性质可得，即可求解；
（3）过点作于点，由题意可得为等腰直角三角形，，由题意可得，得到，从而得到，，根据点的横坐标为可得，，从而得到，根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：点在点左侧，且对称轴为，
点的坐标为．
又抛物线过点，
将点，，代入，
得，解得
此抛物线的表达式为．
【小问2详解】
解：点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为，
设直线的表达式为．
把点，代入，
得解得
直线的表达式为．
当时，解得，（不合题意，舍去）．
当时，，即点的坐标为．
，
．
，
，
点即为所求点，其坐标为．
【小问3详解】
解：存在．
如图，过点作于点，则轴，
点，，
直线的表达式为．
，
为等腰直角三角形，
，
．
，
．
轴，
，，，
，
，即，
，
，
．
轴，点的横坐标为，，
，，
，
．
，
有最大值，
当时，有最大值．
A型智能机器人台数
B型智能机器人台数
总费用（单位：万元）

2
5
3
4
班级
甲班
2
5
3
乙班
2
4
4
班级
平均数
中位数
众数
方差
甲班
65
65
26.6
乙班
65
70
25.2