2026届河北省唐县一中高三二诊模拟考试数学试卷含解析

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1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数在上单调递减的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C的左，右支于另一点，且，则双曲线的离心率为( )
A．B．3C．2D．
3．已知双曲线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
4．函数且的图象是（ ）
A．B．
C．D．
5．函数，，则“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，，那么（ ）
A．B．C．D．
7．M、N是曲线y=πsinx与曲线y=πcsx的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( )
A．πB．πC．πD．2π
8．已知函数，若有2个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
10．已知是的共轭复数,则（ ）
A．B．C．D．
11．已知为坐标原点，角的终边经过点且，则( )
A．B．C．D．
12．已知椭圆的中心为原点，为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如果函数（,且,）在区间上单调递减,那么的最大值为__________．
14．在等差数列（）中，若，，则的值是______.
15．设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则双曲线的离心率为 .
16．函数的图象在处的切线与直线互相垂直,则_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，湖中有一个半径为千米的圆形小岛，岸边点与小岛圆心相距千米，为方便游人到小岛观光，从点向小岛建三段栈道，，，湖面上的点在线段上，且，均与圆相切，切点分别为，，其中栈道，，和小岛在同一个平面上.沿圆的优弧（圆上实线部分）上再修建栈道.记为.
用表示栈道的总长度，并确定的取值范围；
求当为何值时，栈道总长度最短.
18．（12分）设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，求实数的取值范围．
19．（12分）某公司欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格)(单位:万元)是每日产量(单位:吨)的函数:.
（1）求当日产量为吨时的边际成本(即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数)；
（2）记每日生产平均成本求证：；
（3）若财团每日注入资金可按数列(单位:亿元)递减，连续注入天，求证:这天的总投入资金大于亿元.
20．（12分）如图，在三棱柱中，是边长为2的菱形，且，是矩形，，且平面平面，点在线段上移动（不与重合），是的中点.
（1）当四面体的外接球的表面积为时，证明：.平面
（2）当四面体的体积最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21．（12分）如图，在中，角的对边分别为，且满足，线段的中点为.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）已知，求的大小.
22．（10分）已知等差数列的前n项和为，，公差，、、成等比数列，数列满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）已知，求数列的前n项和.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
先求导函数，函数在上单调递减则恒成立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次函数的性质和图象，列不等式组求解可得.
【详解】
依题意，，
令，则，故在上恒成立；
结合图象可知，，解得
故.
故选：C.
【点睛】
本题考查求三角函数单调区间. 求三角函数单调区间的两种方法:
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.
2、D
【解析】
本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可．
【详解】
结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故
对三角形运用余弦定理，得到，
而结合，可得，，代入上式子中，得到
，结合离心率满足，即可得出，故选D．
【点睛】
本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难．
3、C
【解析】
先求得的渐近线方程，根据没有公共点，判断出渐近线斜率的取值范围，由此求得离心率的取值范围.
【详解】
双曲线的渐近线方程为，由于双曲线与双曲线没有公共点，所以双曲线的渐近线的斜率，所以双曲线的离心率.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题.
4、B
【解析】
先判断函数的奇偶性，再取特殊值，利用零点存在性定理判断函数零点分布情况，即可得解.
【详解】
由题可知定义域为，
，
是偶函数，关于轴对称，
排除C，D.
又，，
在必有零点，排除A.
故选：B.
【点睛】
本题考查了函数图象的判断，考查了函数的性质，属于中档题.
5、B
【解析】
根据函数奇偶性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
设，若函数是上的奇函数，则，所以，函数的图象关于轴对称.
所以，“是奇函数”“的图象关于轴对称”；
若函数是上的偶函数，则，所以，函数的图象关于轴对称.
所以，“的图象关于轴对称”“是奇函数”.
因此，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键，考查推理能力，属于中等题.
6、D
【解析】
由得，分别算出和的值，从而得到的值.
【详解】
∵，
∴，
∴，
当时，，∴，
当时，，∴，
∴，
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查对数运算，属于基础题.
7、C
【解析】
两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1=,x2=π,
|x1-x2|=π,
|y1-y2|=|πsinx1-πcsx2|
=π+π
=π,
∴|MN|==π.故选C.
8、C
【解析】
令，可得，要使得有两个实数解，即和有两个交点，结合已知，即可求得答案.
【详解】
令，
可得，
要使得有两个实数解，即和有两个交点，
，
令，
可得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减.
当时，，
若直线和有两个交点，则.
实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
9、D
【解析】
由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积．
【详解】
如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即＝60°，由底面边长为3得，
∴．
正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为，
则由得，解得，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．
10、A
【解析】
先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．
【详解】
i，
∴a+bi＝﹣i，
∴a＝0，b＝﹣1，
∴a+b＝﹣1，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
11、C
【解析】
根据三角函数的定义，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果.
【详解】
根据题意，，解得，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.
12、B
【解析】
由题意可得c=，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，
∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，
所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，
由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，
∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．
在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=，
由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a2=36，
于是 b2=a2﹣c2=36﹣=16，
所以椭圆的方程为．
故选B．
点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、18
【解析】
根据函数单调性的性质,分一次函数和一元二次函数的对称性和单调区间的关系建立不等式,利用基本不等式求解即可.
【详解】
解:①当时, ,
在区间上单调递减,
则,即,
则.
②当时, ,
函数开口向上,对称轴为,
因为在区间上单调递减,
则,
因为,则,
整理得,
又因为,
则.所以
即,
所以
当且仅当时等号成立.
综上所述,的最大值为18.
故答案为:18
【点睛】
本题主要考查一次函数与二次函数的单调性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.
14、-15
【解析】
是等差数列，则有，可得的值，再由可得，计算即得.
【详解】
数列是等差数列，，又，，
，故.
故答案为：
【点睛】
本题考查等差数列的性质，也可以由已知条件求出和公差，再计算.
15、
【解析】
不妨设双曲线，焦点，令，由的长为实轴的二倍能够推导出的离心率.
【详解】
不妨设双曲线，
焦点，对称轴，
由题设知，
因为的长为实轴的二倍，
，
，
，故答案为.
【点睛】
本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.
16、1.
【解析】
求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可．
【详解】
函数的图象在处的切线与直线垂直,
函数的图象在的切线斜率

本题正确结果：
【点睛】
本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、，；当时，栈道总长度最短.
【解析】
连，，由切线长定理知：，，，，即，，
则，，进而确定的取值范围；
根据求导得，利用增减性算出，进而求得取值.
【详解】
解：连，，由切线长定理知：，，
，又，，故，
则劣弧的长为，因此，优弧的长为，
又，故，，即，，
所以，，，则；
，，其中，，
故时，
所以当时，栈道总长度最短.
【点睛】
本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.
18、 (1) (2) 当时，的取值范围为；当时，的取值范围为．
【解析】
（1）当时，分类讨论把不等式化为等价不等式组，即可求解．
(2)由绝对值的三角不等式，可得，当且仅当时，取“”，分类讨论，即可求解．
【详解】
（1）当时，，
不等式可化为或或 ，
解得不等式的解集为．
(2)由绝对值的三角不等式，可得，
当且仅当时，取“”，
所以当时，的取值范围为；当时，的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及合理应用绝对值的三角不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
19、（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
（1）求得函数的导函数，由此求得求当日产量为吨时的边际成本.
（2）将所要证明不等式转化为证明，构造函数，利用导数证得，由此证得不等式成立.
（3）利用（2）的结论，判断出，由此结合对数运算，证得.
【详解】
（1）因为
所以
当时，
（2）要证，
只需证，即证，
设
则
所以在上单调递减，
所以
所以，即；
（3）因为
又由（2）知，当时，
所以
所以
所以
【点睛】
本小题主要考查导数的计算，考查利用导数证明不等式，考查放缩法证明数列不等式，属于难题.
20、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由题意，先求得为的中点，再证明平面平面，进而可得结论；
（2）由题意，当点位于点时，四面体的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可.
【详解】
（1）证明：当四面体的外接球的表面积为时.
则其外接球的半径为.
因为时边长为2的菱形，是矩形.
，且平面平面.
则，.
则为四面体外接球的直径.
所以，即.
由题意，，，所以.
因为，所以为的中点.
记的中点为，连接，.
则，，，所以平面平面.
因为平面，所以平面.
（2）由题意，平面，则三棱锥的高不变.
当四面体的体积最大时，的面积最大.
所以当点位于点时，四面体的体积最大.
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，.
所以，，，.
设平面的法向量为.
则
令，得.
设平面的一个法向量为.
则
令，得.
设平面与平面所成锐二面角是，则.
所以当四面体的体积最大时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面平行的判定，利用好空间向量是关键，属于基础题．
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由正弦定理边化角，再结合转化即可求解；
（Ⅱ）可设，由，再由余弦定理解得，对中，由余弦定理有，通过勾股定理逆定理可得，进而得解
【详解】
（Ⅰ）由正弦定理得.
而.
由以上两式得，即.
由于，所以，
又由于，得.
（Ⅱ）设，在中，由正弦定理有.
由余弦定理有，整理得，
由于，所以.
在中，由余弦定理有.
所以，所以.
【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理的综合运用，属于中档题
22、（1），（）；（2）.
【解析】
（1）根据是等差数列，，、、成等比数列，列两个方程即可求出，从而求得，代入化简即可求得；（2）化简后求和为裂项相消求和，分组求和即可，注意讨论公比是否为1.
【详解】
（1）由题意知，，，
由得
，
解得.
又，得，
解得或（舍）.
，.
又（），
（）.
（2），
①当时，
.
②当时，
.
【点睛】
此题等差数列的通项公式的求解，裂项相消求和等知识点，考查了化归和转化思想，属于一般性题目.
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增