2026届河北省辛集中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届河北省辛集中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析，共33页。试卷主要包含了tan570°=等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．函数的一个单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
3．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）

A．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平
B．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨
C．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨
D．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格
4．己知抛物线的焦点为，准线为，点分别在抛物线上，且，直线交于点，，垂足为，若的面积为，则到的距离为（ ）
A．B．C．8D．6
5．设M是边BC上任意一点，N为AM的中点，若，则的值为( )
A．1B．C．D．
6．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．3B．C．D．
7．由曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为( )
A．1B．C．D．
8．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）．
A．B．C．D．
9．tan570°=（ ）
A．B．-C．D．
10．已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是
A．B．
C．D．
12．命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立；：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在直角三角形中，为直角，，点在线段上，且，若，则的正切值为_____.
14．若双曲线C：（，）的顶点到渐近线的距离为，则的最小值________.
15．若x，y满足，则的最小值为________.
16．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点P是第一象限内双曲线上的点，且，tan∠PF2F1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知曲线的参数方程为为参数， 曲线的参数方程为为参数).
（1）求与的普通方程；
（2）若与相交于，两点，且，求的值.
18．（12分）已知函数.其中是自然对数的底数.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.
（1）证明:平面
（2）若，求二面角的余弦值.
20．（12分）已知函数
（1）求函数的单调递增区间
（2）记函数的图象为曲线，设点是曲线上不同两点，如果在曲线上存在点，使得①；②曲线在点M处的切线平行于直线AB，则称函数存在“中值和谐切线”，当时，函数是否存在“中值和谐切线”请说明理由
21．（12分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数，）．以坐标原点 为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（l）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程：
（2）若直线与曲线C相交于A，B两点，且．求直线 的方程．
22．（10分）2019年是五四运动100周年.五四运动以来的100年，是中国青年一代又一代接续奋斗、凯歌前行的100年，是中口青年用青春之我创造青春之中国、青春之民族的100年.为继承和发扬五四精神在青年节到来之际，学校组织“五四运动100周年”知识竞赛，竞赛的一个环节由10道题目组成，其中6道A类题、4道B类题，参赛者需从10道题目中随机抽取3道作答，现有甲同学参加该环节的比赛.
（1）求甲同学至少抽到2道B类题的概率；
（2）若甲同学答对每道A类题的概率都是，答对每道B类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.现已知甲同学恰好抽中2道A类题和1道B类题，用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由题意得出的值，进而利用离心率公式可求得该双曲线的离心率.
【详解】
双曲线的渐近线方程为，由题意可得，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.
2、D
【解析】
利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得的单调区间，由此确定正确选项.
【详解】
因为
，由单调递增，则（），解得（），当时，D选项正确.C选项是递减区间，A，B选项中有部分增区间部分减区间.
故选：D
【点睛】
本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.
3、D
【解析】
先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可
【详解】
由折线图易知A、C正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为，由题意可知，，，则有，所以D正确.
故选：D
【点睛】
此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.
4、D
【解析】
作，垂足为，过点N作，垂足为G，设，则，结合图形可得，，从而可求出，进而可求得，，由的面积即可求出，再结合为线段的中点，即可求出到的距离．
【详解】
如图所示，
作，垂足为，设，由，得，则，.
过点N作，垂足为G，则，，
所以在中，，，所以，
所以，在中，，所以，
所以，，
所以 ．解得，
因为，所以为线段的中点，
所以F到l的距离为．
故选：D
【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题．
5、B
【解析】
设，通过，再利用向量的加减运算可得，结合条件即可得解.
【详解】
设，
则有.
又，
所以，有.
故选B.
【点睛】
本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题.
6、B
【解析】
由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：
直三棱柱的体积为，消去的三棱锥的体积为，
∴几何体的体积，故选B.
点睛：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键；几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积.
7、B
【解析】
首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.
【详解】
联立方程：可得：，，
结合定积分的几何意义可知曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为：
.
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.
8、C
【解析】
设M,N,P分别为和的中点，得出的夹角为MN和NP夹角或其补角，根据中位线定理，结合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.
【详解】
根据题意画出图形:
设M,N,P分别为和的中点，
则的夹角为MN和NP夹角或其补角
可知，.
作BC中点Q，则为直角三角形；
中，由余弦定理得
，
在中，
在中，由余弦定理得
所以
故选：C
【点睛】
此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目.
9、A
【解析】
直接利用诱导公式化简求解即可．
【详解】
tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=．
故选：A．
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.
10、D
【解析】
先求出的值域，再利用导数讨论函数在区间上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可.
【详解】
因为，故，
当时，，故在区间上单调递减；
当时，，故在区间上单调递增；
当时，令，解得，
故在区间单调递减，在区间上单调递增.
又，且当趋近于零时，趋近于正无穷；
对函数，当时，；
根据题意，对，且，使得成立，
只需，
即可得，
解得.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.
11、D
【解析】
根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.
【详解】
设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得 ， ，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．
【点睛】
本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.
12、A
【解析】
分别判断命题和的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.
【详解】
对于命题，由于，所以命题为真命题.对于命题，由于，由解得，且，所以是奇函数，故为真命题.所以为真命题. 、、都是假命题.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、3
【解析】
在直角三角形中设，，，利用两角差的正切公式求解.
【详解】
设，，
则
，
故.
故答案为：3
【点睛】
此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.
14、
【解析】
根据双曲线的方程求出其中一条渐近线，顶点，再利用点到直线的距离公式可得，由，利用基本不等式即可求解.
【详解】
由双曲线C：（，，
可得一条渐近线，一个顶点，
所以，解得，
则，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
15、5
【解析】
先作出可行域，再做直线，平移，找到使直线在y轴上截距最小的点，代入即得。
【详解】
作出不等式组表示的平面区域，如图，令，则，作出直线，平移直线，由图可得，当直线经过C点时，直线在y轴上的截距最小，由，可得，因此的最小值为.
故答案为：4
【点睛】
本题考查不含参数的线性规划问题，是基础题。
16、
【解析】
根据正弦定理得，根据余弦定理得2PF1•PF2cs∠F1PF23，联立方程得到，计算得到答案.
【详解】
∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，∴由正弦定理得，①
又∵，tan∠PF2F1＝﹣2，
∴tan∠F1PF2＝﹣tan（∠PF2F1+∠PF1F2），可得cs∠F1PF2，
△PF1F2中用余弦定理，得2PF1•PF2cs∠F1PF23，②
①②联解，得，可得，
∴双曲线的，结合，得离心率.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），（2）0
【解析】
（1）分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；
（2）把直线的参数方程代入的普通方程，化为关于的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时的几何意义求解．
【详解】
（1）由曲线的参数方程为为参数），消去参数，可得；
由曲线的参数方程为为参数），消去参数，可得，即．
（2）把为参数）代入，
得．
，．
．
解得：，即，满足△．
．
【点睛】
本题考查参数方程化普通方程，特别是直线参数方程中参数的几何意义的应用，是中档题．
18、（1）；
（2）.
【解析】
(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标即可得在点处的切线方程；
（2）令，然后利用导数并根据a的情况研究函数的单调性和最值.
【详解】
（1），，
∴，
又，
∴切线方程为，即.
（2）令，
，
①若，则在上单调递减，又，
∴恒成立，∴在上单调递减，又，
∴恒成立.
②若，令，
∴，易知与在上单调递减，
∴在上单调递减，，
当即时，在上恒成立，
∴在上单调递减，即在上单调递减，
又，∴恒成立，∴在上单调递减，
又，∴恒成立，
当即时，使，
∴在递增，此时，∴，
∴在递增，∴，不合题意.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义及构造函数解决含参数的不等式恒成立时求参数的取值范围问题，第二问的难点是构造函数后二次求导问题，对分类讨论思想及化归与等价转化思想要求较高，难度较大，属拔高题.
19、（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）连接，由菱形的性质以及中位线，得，由平面平面，且交线，得平面，故而，最后由线面垂直的判定得结论.
（2）以为原点建平面直角坐标系，求出平面平与平面的法向量
，，最后求得二面角的余弦值为.
【详解】
解：（1）连结
∵ ，且是的中点，
∴
∵平面平面，
平面平面，
∴平面.
∵平面，
∴
又为菱形，且为棱的中点，
∴
∴.
又∵，平面
∴平面.
（2）由题意有，
∵四边形为菱形，且
∴
分别以，，所在直线为轴，轴，轴
建立如图所示的空间直角坐标系，设，则
设平面的法向量为
由，得，
令，得
取平面的法向量为
∴
二面角为锐二面角，
∴二面角的余弦值为
【点睛】
处理线面垂直问题时，需要学生对线面垂直的判定定理特别熟悉，运用几何语言表示出来方才过关，一定要在已知平面中找两条相交直线与平面外的直线垂直，才可以证得线面垂直，其次考查了学生运用空间向量处理空间中的二面角问题，培养了学生的计算能力和空间想象力.
20、（1）见解析（2）不存在，见解析
【解析】
（1）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，结合导数的几何意义，再令，转化为方程有解问题，即可说明.
【详解】
(1)函数的定义域为，所以
当时，；，
所以函数在上单调递增
当时，
①当时，函数在上递增
②，显然无增区间；
③当时， ，函数在上递增，
综上当函数在上单调递增.
当时函数在上单调递增；
当时函数无单调递增区间
当时函数在上单调递增
(2)假设函数存在“中值相依切线”
设是曲线上不同的两个点，且
则
曲线在点处的切线的斜率为，
.
令，则，
单调递增，，
故无解，假设不成立
综上，假设不成立，所以不存在“中值相依切线”
【点睛】
本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，考查导数的应用以及分类讨论和转化思想，属于中档题．
21、 (1)见解析(2)
【解析】
（1）将消去参数t可得直线的普通方程，利用x=ρcsθ， 可将极坐标方程转为直角坐标方程．（2）利用直线被圆截得的弦长公式计算可得答案．
【详解】
（1）由消去参数t得（），
由得曲线C的直角坐标方程为：
（2）由得，圆心为（1，0），半径为2，
圆心到直线的距离为，
∴，即，整理得
，∵，∴，，，
所以直线l的方程为：．
【点睛】
本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查分析能力与计算能力，属于基础题．
22、（1）；（2）分布列见解析，期望为．
【解析】
（1）甲同学至少抽到2道B类题包含两个事件：一个抽到2道B类题，一个是抽到3个B类题，计算出抽法数后可求得概率；
（2）的所有可能值分别为，依次计算概率得分布列，再由期望公式计算期望．
【详解】
（1）令“甲同学至少抽到2道B类题”为事件，则抽到2道类题有种取法，抽到3道类题有种取法，
∴；
（2）的所有可能值分别为，
，，
，，
∴的分布列为：
【点睛】
本题考查古典概型，考查随机变量的概率分布列和数学期望．解题关键是掌握相互独立事件同时发生的概率计算公式．
0
1
2
3