山东师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中检测数学试卷含答案（word版）

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1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是 符合题目要求的.
1. 已知向量 a=2,m,b=m+1,1 ，若 a//b ，则实数 m 的值为
A. -2 B. -2 或 1 C. 2 或 -1 D. 1
2. 如图所示，Rt ΔO′A′B′ 是一个平面图形的直观图，斜边 O′B′=2 ，则原平面图形的面积是
A. 22 B. 2 C. 1D. 22
3. 已知 α,β 表示两个不同的平面, m,n,l 表示三条不同的直线,则下列结论正确的是
A. 若 m//α,n⊂α ,则 m//n B. 若 m⊂α,n⊂β,l⊥m,l⊥n ,则 l⊥α
C. 若 m⊂α,n⊂α,m//β,n//β ,则 α//β D. 若 m⊥α,m//n ,则 n⊥α
4. 已知平面向量 a,b 满足 a⋅a+b=3 ,且 a=2,b=1 ,则向量 a 与 b 的夹角为
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
5. 在 △ABC 中,已知 a=23,b=2,B=30∘ ,则满足条件的三角形个数为
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 无法确定
6. 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, E 是棱 CC1 的中点,过 A,D1,E 三点的截面把正方体 ABCD−A1B1C1D1 分成两部分,则该截面的周长为
A. 32+25 B. 22+5+3 C. 92 D. 22+25+2
7. 革命烈士陵园内的革命烈士纪念碑, 其中央主体建筑集棱台, 棱柱于一体, 极具对称之美. 某同学准备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量, 并绘制出测量方案示意图 (如图),纪念碑的最顶端记为 A 点,纪念碑的最底端记为 B 点 (B 在 A 的正下方 ) ,在广场内(与 B 在同一水平面内)选取 C,D 两点，测得 CD 的长为 15 米，在 C,D 两点处测得纪念碑最顶端 A 处的仰角分别为 45∘ 和 30∘,∠CBD=30∘ ,则纪念碑的高度为

A. 17 米 B. 16 米 C. 15 米 D. 14 米
8. 如图,圆 M 为 △ABC 的外接圆, AB=3,AC=5,N 为边 BC 的中点,则 AN⋅AM=
A. 7B. 152 C. 8D. 172
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每个小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9. △ABC 是边长为 3 的等边三角形, CD=2DB ,则下列说法正确的是
A. AD=13AB+23AC B. AD=7
C. AD⋅BC=32 D. AD 在 BC 上的投影向量是 −16BC
10. 如图,在棱长均相等的正四棱锥 P−ABCD 中, O 为底面正方形的中心, M,N 分别为侧棱 PA,PB 的中点,则下列结论中正确的是
A. PC// 平面 OMN
B. OM⊥PA
C. 直线 PD 与直线 MN 所成角的大小为 90∘
D. 设平面 OMN∩ 底面 ABCD=l ,则二面角 M−l−A 的余弦值为 33
11. 已知在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,则下列说法正确的是 A. 若 acsA=bcsB=ccsC ,则 △ABC 是等边三角形
B. 若 A>B ,则 sin2A>sin2B
C. 若 asinB+bsinA=2c ,则 △ABC 是等腰直角三角形
D. 若 ABAB+ACAC⋅BC=0 ,且 ABAB⋅ACAC=12 ,则 △ABC 为等边三角形
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,sinA:sinB:sinC=2:3:4 ,则 csC= _____.
13. 在 △ABC 中,点 O 满足 CO=2OB ,过点 O 的直线分别交直线 AB,AC 于不同的两点 E,F ,设 AB=xAE,AC=yAF ,则 2x+y= _____.
14. 如图，在一个二面角的棱上有两个点 A,B ，线段 AC,BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 AB,AB=4 cm,AC=6 cm,BD=8 cm ， CD=217 cm ，则这个二面角的大小为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题满分 13 分)
如图，在平面四边形 ABCD 中， ∠D=2π3,CD=6,ΔACD 的面积为 332 .
(1)求 AC 的长；
(2)若 AB⊥AD,∠B=π4 ，求 BC 的长.
16. (本题满分 15 分)
如图所示,在四边形 ABCD 中, AB=2DC,AB⋅BC=0,AB=43,AD=4,E 为 AB 的中点,连接 DE .
(1)将四边形 ABCD 绕着线段 AB 所在直线旋转一周,求所形成的封闭几何体的表面积和体积;
(2)将 △AED 绕着线段 AE 所在直线旋转一周形成几何体 W ，若球 O 是几何体 W 的内切球,求球 O 的表面积.
17. (本题满分 15 分)
如图,在四棱锥 P−ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, CD=4,AD=42,ΔPCD 为等边三角形,平面 PAC⊥ 平面 PCD,PA⊥CD .
(1)设 G,H 分别为 PB,AC 的中点，求证: GH// 平面 PCD ；
(2)求证: PA⊥ 平面 PCD ；
(3)求直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值.
18. (本题满分 17 分)
已知 a,b,c 分别为 △ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且 bcsC+ccsB=2acsA .
(1)求 A ；
(2)若 b+c=5,ΔABC 的面积为 332 ，求 △ABC 的周长；
(3)若 △ABC 为锐角三角形， a=1 ，求 △ABC 周长的取值范围.
19. (本题满分 17 分)
如图,等腰梯形 BCDP 中, BC//PD,BA⊥PD 于点 A,PD=3BC 且 AB=BC=1 . 沿 AB 把 ΔPAB 折起到 ΔP′AB 的位置,使 ∠P′AD=90∘ .
(1)求证: CD⊥ 平面 P′AC ；
(2)求三棱锥 A−P′BC 的体积；
(3)线段 P′A 上是否存在点 M ，使得 BM// 平面 P′CD . 若存在，指出点 M 的位置并证明；若不存在, 请说明理由.