浙江省余姚中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

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选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
若复数 z  1 2i ，则 z 的虚部是（）
1
2
2iD.
2i
直线 4x  3y  1  0 的一个方向向量是（）
3, 4
3, 4
4, 3
4,3
在ΔABC 中，AD = 2 AB ，点 E 平分线段CD ．设 –––→  → ，AC  b ，则（）
1 →1 →
3
1 →1 →
ABa
1 →1 →
1 →1 →
AE 

a  b
32
a  b
32

a  b
32
a  b
32
若在ΔABC 中， sin A : sin B : sin C  3 : 5 : 6 ，则sin B 等于 （）
如图所示，矩形OABC 是水平放置一个平面图形的直观图，其中
OA  6,OC  2 ，则原图形的面积为（）
2
2
A. 12B. 12C. 24D. 24
正方体ABCD  A1B1C1D1 的棱长为 1，若 P 在ABC 内（包括边界）运动，则直线 D1P
与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围为()
2 14
14
11
2 11
A.9
B.
9
C.
5
D.
5
 3 ,6 
 2 ,6 
 3 ,6 
 3 ,2 
 44 
 23 
 33 
 42 

→ → →→→→→→→→→→→
已知向量a, b, c满足 a  1, b  a  1, b 2 , c  b •b  0, 则 c  a  c  a 的最小值为
（）
5
A.2
B.
C.3
D.4
10
2
已知是长方体表面上任意三点，且，则的最小值为（）
A.-14B. -13C. -10D. 5
选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
关于复数 z  4  3i ，下列说法正确的是()
A.z  z  8B.z是方程x2 8x  25  0的一个根
C.若复数z满足2  z, 则 2 i
D.若 z1  z
 2, 则 z1
3, 7 
动直线与动直线相交于点，则下列说法
正确的是()
直线l2过的定点是2, 1 
C. 3a  b  3 的最小值为2
a 1
点C 的轨迹是一个完整的圆
D. a  b 3 的取值范围为0, 4 
，
已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形 ，则()
的面积为定值
四棱锥表面积的最小值为
若四棱锥存在内切球，则该球半径为
填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
在ABC 中，角A，B，C 所对的边为 a, b, c. 若A 
积为。

，a  2, 则ABC 外接圆的面
4
已知在ABC所在的平面内有一点P ，满足 PA  PB  PC  AB ，则PBC 与ABC
的面积之比是。
正方体ABCD  A1B1C1D1 的棱长为 4，P 是侧面ADD1 A1（包括边界）上一动点，E 是棱CD 上一点，若APB  DPE ，且APB 的面积是DPE 面积的 9 倍，则三棱锥
P  ABE 体积的最大值是。
解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13 分）
a
已知向量 →  m,1, b  1,2.
→
若→  b  2b, 求 → ；
aa2b
→→→→
若向量c  4,2, a // c, 求 a 与 a  2b 夹角的余弦值。
16.（15 分）
已知ABC的顶点B1,2 ，边 BC 的中线AP 所在直线方程为 x  2 y  2  0, 边AB 上的高
CH 所在直线方程为 x  y 1  0 。
求A 的坐标；
求点A 到直线BC 的距离。
17.（15 分）
如图，在平面四边形ABCD 中， AB 
2，BC 
3，AC  CD ，且AC  CD 。
3 2
8
若cs BAC 
，求AC ；
求四边形ABCD 面积的最大值。
18.（17 分）
经过原点O 的直线与圆M：x 12  y2  4 相交于A，B 两点，过点C1,0且与 AB 垂直的直线与圆M 的另一个交点为D。
当点B 的坐标为1， 2时，求直线CD 的方程；
记点A 关于 x 轴的对称点为F（异于点A，B ），求证：直线 BF 恒过 x 轴上的一个定点；
求四边形ABCD 的面积S 的取值范围。
19.（17 分）（本题用向量法（坐标法）一律不给分）

如图，在三棱锥A  BCD 中， ACD  BDC 
，AC  BD  1，CD  x, 记二面角
2
A  CD  B 的大小为， M, N 分别为AD，BC 的中点。
求证： CD  MN ；
用 x,表示三棱锥M  CDN 的体积；
设在三棱锥A  BCD 内有一个半径为 r 的球， 0  x  2, 且 x, 求证： r  1 。
4

命题：俞丽萍 审题：史日能
选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
若复数 z  1 2i ，则 z 的虚部是（ ）
1
2
2iD. 2i
【答案】B【详解】因为复数 z  1 2i ，则 z 的虚部是2 ，
直线 4x  3y  1  0 的一个方向向量是（ ）
3, 4
3, 4
4, 3
4,3
【答案】A【详解】由 4x  3y  1  0 ，得 y  4 x  1 .
33
所以直线 4x  3y  1  0 的一个方向向量为1, 4  . 3, 4与1, 4  共线，所以 A 正确；
3 3 

AB a
在ΔABC 中， AD = 2 AB ，点 E 平分线段CD ．设–––→  → ， AC  b ，则 AE  （ ）

a
→
→
 1 →1 b
3

1 →1 →
a b
 1 →1 b
1 →1 →

a b
3232
AD = 2 AB
3232

a
–––→  2 –––→
【答案】D【详解】因为
，即 AD
3
3 AB ，又点 E 平分线段CD ，
–––→
1 –––→–––→
1 –––→
1 –––→12 –––→
1 –––→
1 –––→
1 –––→
1 →1 →
所以 AE   AD  AC   AD  AC   AB  AC  AB  AC  a  b .
2222323232
若在ΔABC 中， sin A : sin B : sin C  3 : 5 : 6 ，则sin B 等于（ ）
2 14
9
14
9
11
5
2 11
5
【答案】A【详解】根据正弦定理有 a : b : c  3 : 5 : 6 ，由余弦定理得cs B  9  36  25  5 ，
369
所以sin B 
 2 14 .
1  cs2 B
9
如图所示，矩形OABC 是水平放置一个平面图形的直观图，其中OA  6,OC  2 ，则原图形的面积为
（ ）
2
2
A. 12B. 12C. 24D. 24
【答案】D【详解】由题意得OA  6, OC  2 ，所以矩形OABC 的面积为 S  OA OC  6 2  12 ，
正方体的棱长为 1，若P 在 内（包含边界）运动，则直线与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围为（）
 3 ,6 
 2 ,6 
 3 ,6 
 3 ,2 
 44 
 23 
 33 
 42 

时，
最小，此时
最大，此时
，
【答案】C【详解】在正方体中，平面，对于平面，为垂线，为斜线，为射影，所以即为直线与平面ABC 所成角，设，则，
因为P 是内（包括边界）的动点，所以当P 与O 重合
，当P 与B 重合时，
所以
→ → →→→→→→ →→→→→
10
2
已知平面向量a, b, c满足 a 1, b  a 1, b  2, c  b •b  0, 则c  a  c  a 的最小值为（）
5
A.2
【答案】B
B.
C.3
D.4
详解 设a  OA  1, 0,b  OB  1,1, 可得c  OC的C 的轨迹为直线l：y  x  2, A 关于y
→→→→––––→–––→
10
轴和直线l的对称点分别为A1 1, 0，A2 2,1，则 c  a  c  a  A1C  AC  A1A2 
已知是长方体表面上任意三点，且，则的最小值为（）
14B. C. 10D. 5
【答案】B【详解】取中点为，由极化恒等式，.又是长方体表面上任意三点，
所以当位于体对角线的两个端点时， 最大，最大值为；
此时为长方体的中心，则当位于长方形中心时，的值最小，最小值为 1，所以的最小值为.
选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6
分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
关于复数 z  4  3i ，下列说法正确的是（ ）
z  z  8B. z 是方程 x2  8x  25  0 的一个根
C. 若复数 z 满足2  z ，则 2  iD. 若 z1  z  2 ，则 z1 3, 7
【答案】ABD【详解】选项A ： z  z  4  3i  4  3i  8. 故A 正确.选项B ：把 z  4  3i 代入 x2  8x  25  0 成立，故B 正确.
选项C ： 2  i 或 2  i ，故选项C 错误.
选项D ： Z1 的图形是以4, 3 为圆心，2 为半径的圆， z1 几何意义表示 Z1 到原点的距离，
 z1 3, 7 ，选项D 正确.
动直线与动直线相交于点，则下列说法正确的是（ ）
直线l2过的定点是2, 1
点C的轨迹是一个完整的圆
3a  b  3 的最小值为2 a 1
a  b  3 的取值范围为0, 4 
【答案】ACD【详解】
由，得，所以动直线过定点，不含直线；
由，得，所以动直线过定点，不含直线
.
又直线与动直线垂直，
所以点的轨迹是以为直径的圆（不含点）.所以A 对B 错误。因为线段的中点为，，
所以点的轨迹方程为.
，由图可知与（1,0）斜率范围为：，故的最小值为.
所以C 正确。
2
a  b  3
2
a  b  3 
2d , 其中d 为C a,b 到直线x  y  3  0 的距离，d  0, 2
2

, D 正确
已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，，则（）
的面积为定值
四棱锥表面积的最小值为
若四棱锥存在内切球，则该球半径为
【答案】ABD【详解】对于选项A，因为，所以在底面的射影在直线的垂直平分线上，过作垂直于，连接，因为面，面，
则，又 面，所以面，又 面，则，又底面是边长为的正方形，则，
所以的面积为，故选项A 正确，
对于选项B，由选项A 易知，则，所以，故选项B 正确， 对于选项C，过分别作的垂线，垂足分别为，由选项A 知与面积为定值，易知，，若在正方形内时，
不妨设，则，则，
因为可看成点到点和点的距离之和，则，
所以，
此时四棱锥表面积的最小值为，
若在正方形外时，不妨设，，
则，
因为可看成点到点和点的距离之和，则，
所以，
此时四棱锥表面积的最小值为，
综上，四棱锥表面积的最小值为，故选项C 错误；
对于选项D，若四棱锥存在内切球，则该球与平面，平面，
平面均相切，过作垂直于，所以的内切圆半径等于该球半径，又，，设的内切圆半径为，
则，得到，所以选项D 正确，
填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
在ΔABC 中，角 A ， B ， C 所对的边为 a ， b ， c .若 A  π ， a  2 ，则ΔABC 外接圆的面积为.
4
2
【答案】 2π【详解】设ΔABC 外接圆的半径为 R ，
由正弦定理可得
2R 
a
sin A
2
sin π
4
 2
2
，故 R ，则ΔABC 外接圆的面积 S  πR2  2π .
已知在△ABC 所在的平面内有一点 P，满足++=，则△PBC 与△ABC 的面积
之比是。
【答案】2/3【详解】∵++=，∴++-=，∴+++=，∴2+=，
∴=-2，可知向量、方向相反，且模长是的 2 倍，即P 是AC 的三等分点.故△PBC 的面积与△ABC 的面积之比为=.
正方体的棱长为 4，是侧面（包括边界）上一动点，是棱上
一点，若，且的面积是面积的倍，则三棱锥体积的最大值是．
【答案】 8
2 【详解】由已知平面，平面，所以,
3
因为平面，平面，所以，所以，又，
所以，又的面积是面积的倍，
所以，所以点的轨迹为半径为 1.5 的阿氏圆在侧面内的一段圆弧，
2
P 到地面距离的最大值为
，三棱锥体积最大值为 8 2 .
3
解答题：本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
( 13 分)
已知向量 ， .
若，求 ；
若向量 ，，求与夹角的余弦值.
【答案解析】（1）已知，，则，
又，所以，即，解得.
所以，则，所以.
（2）因为，所以，解得，所以，则.
则，，，
设与夹角为，则.所以与夹角的余弦值为.
16.（ 15分）
已知ABC的顶点B 1, 2 ， 边BC的中线AP所在直线方程为x  2 y  2  0,
边AB上的高CH所在直线方程为x  y  1  0.
(1)求A的坐标；
（2） 求点A到直线BC的距离。
( 15 分)
如图，在平面四边形中，，且.
若 ，求；
求四边形面积的最大值.
【答案解析】
在 中， 分
故，即，4 分
因为，故 分
在 中，.
又 的面积为，8 分
的面积为，10 分
所以四边形的面积为 ，其中.
故四边形面积的最大值为 分
17分
经过原点O的直线与圆M ： x  12  y 2  4相交于A， B两点， 过点C 1, 0 
且与AB垂直的直线与圆M的另一个交点为D。
当点B的坐标为 1， 2 时， 求直线CD的方程；
 2  记点A关于x轴的对称点为F 异于点A， B， 求证： 直线BF恒过x轴上的一个定点
3 求四边形ABCD的面积S的取值范围。
【答案解析】
解：（1）∵B 为（-1，-2），O（0，0）， ∴AB 的斜率为 =2，又CD⊥AB，
∴CD 的斜率为，又C（1，0）， ∴直线CD 的方程 y=（x-1），即x+2y-1=0；
根据题意可得 AB 直线的斜率存在且不为 0，又AB 过原点O（0，0），
∴设直线AB 方程为y=kx，联立圆M：（x+1） 2+y 2=4，
可得（k 2+1）x 2+2x-3=0，设A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），
则，又F（x 1，-y 1）， ∴直线BF 为 ，
令y=0，可得x= ====3，
∴直线BF 恒过x 轴上定点（3，0）；
设圆心M（-1，0）到直线AB 的距离平方为m，则m∈（0，|MO| 2]，即m∈（0，1]，设圆心M（-1，0）到直线CD 的距离平方为n，
根据圆的几何性质及平面几何知识易得 =4，∴n=4-4m，又|AB|==，|CD|====4，
∴四边形ABCD 的面积S= ==，又m∈（0，1]，
∴S=f（m）∈（f（0），f（1）]，即S∈（0，4]，
∴四边形ABCD 的面积S 的取值范围为（0，4]．
（3）法 2：
( 17 分) （本题用向量法（坐标法）一律不给分）
如图，在三棱锥中，，，，记二面角的大小为，分别为的中点．
求证：；
用 x,表示三棱锥M  CDN 的体积；
设在三棱锥内有一个半径为的球，，且，求证： ．
【答案解析】
（1）取中点，连接，又分别为的中点，则，，因为，
所以，，又，平面，所以平面，又平面，所以．
（3）作于,由（2）知，，过 作交于， ，又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
平面，所以，，
设的高，所以，
即
，
所以三棱锥
的表面积
，
所以三棱锥
的内切球半径
，
所以
．
又，，所以，
，