2025届钦州市浦北县高三第一次模拟考试数学试卷含解析

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若平面向量，满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则“m⊥n”是“m⊥l”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．设复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知正项等比数列中，存在两项，使得，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A，与准线在第三象限交于点B，过点作准线的垂线，垂足为.若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列中，，()，则等于（ ）
A．B．C．D．2
8．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的取值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
9．已知集合，则( )
A．B．
C．D．
10．函数在的图象大致为( )
A．B．
C．D．
11．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点P是第一象限内双曲线上的点，且，tan∠PF2F1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____．
14．函数在的零点个数为________．
15．已知向量，，若向量与向量平行，则实数___________．
16．已知，若的展开式中的系数比x的系数大30，则______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆,定点 ,为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆，设动点的轨迹为曲线
（1）求曲线的方程
（2）过点的直线与交于两点，已知点，直线分别与直线交于两点，线段的中点是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.
18．（12分）设函数，（）.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a、m的值；
（2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围；
（3）关于x的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论.
19．（12分）如图，直线与抛物线交于两点，直线与轴交于点，且直线恰好平分.
（1）求的值；
（2）设是直线上一点，直线交抛物线于另一点，直线交直线于点，求的值.
20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝C1C＝1，M，N分别是AB，A1C的中点.
（1）求证：直线MN⊥平面ACB1；
（2）求点C1到平面B1MC的距离.
21．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为4，且椭圆过点，过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆与两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点.
（1）求的周长；
（2）求面积的最大值.
22．（10分）已知函数的最小正周期是，且当时，取得最大值．
（1）求的解析式；
（2）作出在上的图象（要列表）．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.
【详解】
由题意可得：
，
，
，
故选：C
本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.
2．B
【解析】
构造长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m，n即可进行判断．
【详解】
如图，取长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，直线=直线。
若令AD1＝m，AB＝n，则m⊥n，但m不垂直于
若m⊥，由平面平面可知，直线m垂直于平面β，所以m垂直于平面β内的任意一条直线
∴m⊥n是m⊥的必要不充分条件．
故选：B．
本题考点有两个：①考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从m⊥n⇒m⊥？和m⊥⇒m⊥n？两方面进行判断；②是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体进行分析．
3．D
【解析】
先把变形为，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标可得答案.
【详解】
解：由，得，
所以，其在复平面内对应的点为，在第四象限
故选：D
此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.
4．D
【解析】
利用是偶函数化简，结合在区间上的单调性，比较出三者的大小关系.
【详解】
是偶函数，，
而，因为在上递减，
，
即．
故选:D
本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.
5．C
【解析】
由已知求出等比数列的公比，进而求出，尝试用基本不等式，但取不到等号，所以考虑直接取的值代入比较即可.
【详解】
，，或（舍）.
，，.
当，时；
当，时；
当，时，，所以最小值为.
故选:C.
本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.
6．C
【解析】
需结合抛物线第一定义和图形，得为等腰三角形，设准线与轴的交点为，过点作，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出，
，结合比值与正切二倍角公式化简即可
【详解】
如图，设准线与轴的交点为，过点作.由抛物线定义知，
所以，，，，
所以.
故选：C
本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题
7．A
【解析】
分别代值计算可得，观察可得数列是以3为周期的周期数列，问题得以解决.
【详解】
解：∵，()，
，
，
，
，
…，
∴数列是以3为周期的周期数列，
，
，
故选：A.
本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.
8．B
【解析】
求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；
【详解】
f （x）的定义域为（﹣1，+∞），
因为f′（x）a，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x，
可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，
故选：B．
本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．
9．B
【解析】
先由得或，再计算即可.
【详解】
由得或，
，,
又，.
故选：B
本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.
10．C
【解析】
先根据函数奇偶性排除B，再根据函数极值排除A；结合特殊值即可排除D，即可得解.
【详解】
函数，
则，所以为奇函数，排除B选项；
当时，，所以排除A选项；
当时，，排除D选项；
综上可知，C为正确选项，
故选：C.
本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题.
11．C
【解析】
先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果．
【详解】
从6个球中摸出2个，共有种结果，
两个球的号码之和是3的倍数，共有
摸一次中奖的概率是，
5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是，
有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是，
故选：．
本题主要考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题．
12．A
【解析】
试题分析：由题意，得，解得，故选A．
考点：函数的定义域．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据正弦定理得，根据余弦定理得2PF1•PF2cs∠F1PF23，联立方程得到，计算得到答案.
【详解】
∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，∴由正弦定理得，①
又∵，tan∠PF2F1＝﹣2，
∴tan∠F1PF2＝﹣tan（∠PF2F1+∠PF1F2），可得cs∠F1PF2，
△PF1F2中用余弦定理，得2PF1•PF2cs∠F1PF23，②
①②联解，得，可得，
∴双曲线的，结合，得离心率.
故答案为：.
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
14．
【解析】
求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数．
【详解】
详解：
由题可知，或
解得,或
故有3个零点．
本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题．
15．
【解析】
由题可得，因为向量与向量平行，所以，解得．
16．2
【解析】
利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得的值．
【详解】
展开式通项为：
且的展开式中的系数比的系数大
，即：
解得：（舍去）或
本题正确结果：
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）存在，.
【解析】
（1）设以为直径的圆心为，切点为，取关于轴的对称点，连接，计算得到，故轨迹为椭圆，计算得到答案.
（2）设直线的方程为，设，联立方程得到
，，计算，得到答案.
【详解】
（1）设以为直径的圆心为，切点为，则，
取关于轴的对称点，连接，故，
所以点的轨迹是以为焦点，长轴为4的椭圆，其中，
曲线方程为.
（2）设直线的方程为，设，
直线的方程为，同理，
所以，
即，
联立，
所以，
代入得，
所以点都在定直线上.
本题考查了轨迹方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
18．（1），；（2）；（3）不能，证明见解析
【解析】
（1）求出，结合导数的几何意义即可求解；
（2）构造，则原题等价于对任意恒成立，即时，，利用导数求最值即可，值得注意的是，可以通过代特殊值，由求出的范围，再研究该范围下单调性；
（3）构造并进行求导，研究单调性，结合函数零点存在性定理证明即可.
【详解】
（1），
，
曲线在点处的切线方程为，
，
解得.
（2）记，
整理得，
由题知，对任意恒成立，
对任意恒成立，即时，，
，解得，
当时，
对任意，，，
，
，即在单调递增，此时，
实数的取值范围为.
（3）关于的方程不可能有三个不同的实根，以下给出证明：
记，，
则关于的方程有三个不同的实根，等价于函数有三个零点，
，
当时，，
记，则，
在单调递增，
，即，
，
在单调递增，至多有一个零点；
当时，
记，
则，
在单调递增，即在单调递增，
至多有一个零点，则至多有两个单调区间，至多有两个零点.
因此，不可能有三个零点.
关于的方程不可能有三个不同的实根.
本题考查了导数几何意义的应用、利用导数研究函数单调性以及函数的零点存在性定理，考查了转化与化归的数学思想，属于难题.
19．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）联立直线的方程和抛物线的方程，化简写出根与系数关系，由于直线平分，所以，代入点的坐标化简得，结合跟鱼系数关系，可求得；（2）设，，，由三点共线得，再次代入点的坐标并化简得，同理由三点共线，可得，化简得，故.
试题解析：
（1）由，整理得，
设，，则，
因为直线平分，∴，
所以，即，
所以，得，满足，所以.
（2）由（1）知抛物线方程为，且，，，
设，，，由三点共线得，
所以，即，
整理得：，①
由三点共线，可得，②
②式两边同乘得：，
即：，③
由①得：，代入③得：，
即：，所以.
所以.
考点：直线与圆锥曲线的位置关系.
【方法点晴】本题考查直线与抛物线的位置关系.阅读题目后明显发现，所有的点都是由直线和抛物线相交或者直线与直线相交所得.故第一步先联立，相当于得到的坐标，但是设而不求.根据直线平分，有，这样我们根据斜率的计算公式，代入点的坐标，就可以计算出的值.第二问主要利用三点共线来求解.
20．（1）证明见解析.（2）
【解析】
（1）连接AC1，BC1，结合中位线定理可证MN∥BC1，再结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质分别求证AC⊥BC1，BC1⊥B1C，即可求证直线MN⊥平面ACB1；
（2）作交于点，通过等体积法，设C1到平面B1CM的距离为h，则有，结合几何关系即可求解
【详解】
（1）证明：连接AC1，BC1，则N∈AC1且N为AC1的中点；
∵M是AB的中点.
所以：MN∥BC1；
∵A1A⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴A1A⊥AC，
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1∥CC，
∴AC⊥CC1，
∵∠ACB＝90°，BC∩CC1＝C，BC⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，
∴AC⊥平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，
∴AC⊥BC1；又MN∥BC1
∴AC⊥MN，
∵CB＝C1C＝1，
∴四边形BB1C1C正方形，
∴BC1⊥B1C，∴MN⊥B1C，
而AC∩B1C＝C，且AC⊂平面ACB1，CB1⊂平面ACB1，
∴MN⊥平面ACB1，
（2）作交于点，设C1到平面B1CM的距离为h，
因为MP，
所以•MP，
因为CM，B1C；
B1M，所以
所以：CM•B1M.
因为，所以，解得
所以点，到平面的距离为
本题主要考查面面垂直的证明以及点到平面的距离，一般证明面面垂直都用线面垂直转化为面面垂直，而点到面的距离常用体积转化来求，属于中档题
21．（1）12（2）
【解析】
（1）根据焦距得焦点坐标，结合椭圆上的点的坐标，根据定义；
（2）求出椭圆的标准方程，设，联立直线和椭圆，结合韦达定理表示出面积，即可求解最大值.
【详解】
（1）设椭园的焦距为，则，故.则椭圆过点，由椭圆定义知:，故，
因此，的周长；
（2）由（1）知:，椭圆方程为:设，则，
，，，，
当且仅当在短轴顶点处取等，故面积的最大值为.
此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值，涉及韦达定理的使用，综合性强，计算量大.
22．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）根据函数的最小正周期可求出的值，由该函数的最大值可得出的值，再由，结合的取值范围可求得的值，由此可得出函数的解析式；
（2）由计算出的取值范围，据此列表、描点、连线可得出函数在区间上的图象.
【详解】
（1）因为函数的最小正周期是，所以．
又因为当时，函数取得最大值，所以，
同时，得，
因为，所以，所以；
（2）因为，所以，
列表如下：
描点、连线得图象：
本题考查正弦函数解析式的求解，同时也考查了利用五点作图法作图，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.