2026届海南省三亚市华侨学校高三六校第一次联考数学试卷含解析

这是一份2026届海南省三亚市华侨学校高三六校第一次联考数学试卷含解析，共21页。试卷主要包含了若复数是纯虚数，则实数的值为，若直线与圆相交所得弦长为，则等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）
①绕着轴上一点旋转;
②沿轴正方向平移;
③以轴为轴作轴对称;
④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A．①③B．③④C．②③D．②④
2．下图所示函数图象经过何种变换可以得到的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
3．关于函数在区间的单调性，下列叙述正确的是（ ）
A．单调递增B．单调递减C．先递减后递增D．先递增后递减
4．已知集合，则集合的非空子集个数是（ ）
A．2B．3C．7D．8
5．若复数是纯虚数，则实数的值为( )
A．或B．C．D．或
6．如图，圆的半径为，，是圆上的定点，，是圆上的动点， 点关于直线的对称点为，角的始边为射线，终边为射线，将表示为的函数，则在上的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
7．为双曲线的左焦点，过点的直线与圆交于、两点，（在、之间）与双曲线在第一象限的交点为，为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．8D．6
9．若直线与圆相交所得弦长为，则（ ）
A．1B．2C．D．3
10．已知中内角所对应的边依次为，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
11．设递增的等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A．9B．27C．81D．
12．已知函数是奇函数，则的值为（ ）
A．－10B．－9C．－7D．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，对于任意都有，则的值为______________.
14．已知，为正实数，且，则的最小值为________________.
15．已知双曲线：（，），直线：与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若（点为坐标原点）的面积为32，且双曲线的焦距为，则双曲线的离心率为________.
16．若随机变量的分布列如表所示，则______，______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四面体中，.
（1）求证:平面平面；
（2）若，求四面体的体积.
18．（12分）如图，在四棱锥中底面是菱形，，是边长为的正三角形，，为线段的中点．
求证：平面平面；
是否存在满足的点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．（12分）某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计，表示第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
（1）经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望．
参考公式：，，，．
20．（12分）已知椭圆 的焦距为，斜率为的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，且直线的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过左焦点斜率为的直线与椭圆交于点为椭圆上一点，且满足，问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由.
21．（12分）某精密仪器生产车间每天生产个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布（单位：微米），且相互独立．若零件的长度满足，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．
（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为，求及的数学期望；
（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．
附：若随机变量服从正态分布，则．
22．（10分）在边长为的正方形，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，构成一个三棱锥.

（1）判别与平面的位置关系，并给出证明；
（2）求多面体的体积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.
【详解】
，，，
当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确；
，，
故，函数关于对称，故④正确；
根据图像知：①③不正确；
故选：.
【点睛】
本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.
2、D
【解析】
根据函数图像得到函数的一个解析式为，再根据平移法则得到答案.
【详解】
设函数解析式为，
根据图像：，，故，即，
，，取，得到，
函数向右平移个单位得到.
故选：.
【点睛】
本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
3、C
【解析】
先用诱导公式得,再根据函数图像平移的方法求解即可.
【详解】
函数的图象可由向左平移个单位得到,如图所示,在上先递减后递增.
故选：C
【点睛】
本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.
4、C
【解析】
先确定集合中元素，可得非空子集个数．
【详解】
由题意，共3个元素，其子集个数为，非空子集有7个．
故选：C．
【点睛】
本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有个元素的集合其子集个数为，非空子集有个．
5、C
【解析】
试题分析：因为复数是纯虚数，所以且，因此注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.
考点：纯虚数
6、B
【解析】
根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解.
【详解】
由题意，当时，P与A重合，则与B重合，
所以,故排除C,D选项；
当时，，由图象可知选B.
故选：B
【点睛】
本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.
7、D
【解析】
过点作，可得出点为的中点，由可求得的值，可计算出的值，进而可得出，结合可知点为的中点，可得出，利用勾股定理求得（为双曲线的右焦点），再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.
【详解】
如下图所示，过点作，设该双曲线的右焦点为，连接.
，.
， ，
，为的中点，，，，
，
由双曲线的定义得，即，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：D.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分分析图形的形状，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
8、C
【解析】
由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简，结合基本不等式即可求解.
【详解】
设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，半焦距为，
则，，设
由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：
，
则

当且仅当时，取等号.
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.
9、A
【解析】
将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.
【详解】
圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即.
故选：A
【点睛】
本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.
10、A
【解析】
由余弦定理可得，结合可得a，b，再利用面积公式计算即可.
【详解】
由余弦定理，得，由，解得，
所以，.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
11、A
【解析】
根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得的值.
【详解】
设等比数列的公比为q.
由，得，解得或.
因为.且数列递增，所以.
又，解得，
故.
故选：A
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12、B
【解析】
根据分段函数表达式，先求得的值，然后结合的奇偶性，求得的值.
【详解】
因为函数是奇函数，所以，
.
故选：B
【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由条件得到函数的对称性，从而得到结果
【详解】
∵f＝f，
∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．
∴f＝±2.
【点睛】
本题考查了正弦型三角函数的对称性，注意对称轴必过最高点或最低点，属于基础题.
14、
【解析】
由，为正实数，且，可知，于是，可得
，再利用基本不等式即可得出结果.
【详解】
解：，为正实数，且，可知，
，
.
当且仅当时取等号.
的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.
15、或
【解析】
用表示出的面积，求得等量关系，联立焦距的大小，以及，即可容易求得，则离心率得解.
【详解】
联立解得.
所以的面积，所以.
而由双曲线的焦距为知，，所以.
联立解得或
故双曲线的离心率为或.
故答案为：或.
【点睛】
本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属中档题.
16、
【解析】
首先求得a的值，然后利用均值的性质计算均值，最后求得的值，由方差的性质计算的值即可.
【详解】
由题意可知，解得（舍去）或.
则，
则，
由方差的计算性质得.
【点睛】
本题主要考查分布列的性质，均值的计算公式，方差的计算公式，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）取中点，连接，根据等腰三角形的性质得到，利用全等三角形证得，由此证得平面，进而证得平面平面.
（2）由（1）知平面，即是四面体的面上的高，结合锥体体积公式，求得四面体的体积.
【详解】
（1）证明:如图，取中点，连接，
由则
，则，
故
故，
平面.
又平面，
故平面平面
（2）由（1）知平面，
即是四面体的面上的高，
且.
在中，，
由勾股定理易知
故四面体的体积
【点睛】
本小题主要考查面面垂直的证明，考查锥体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
18、证明见解析；2.
【解析】
利用面面垂直的判定定理证明即可；
由，知，所以可得出，因此，的充要条件是，继而得出的值.
【详解】
解：证明：因为是正三角形，为线段的中点，
所以．
因为是菱形，所以．
因为，
所以是正三角形，
所以，而，
所以平面．
又，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
由，知．
所以，，
．
因此，的充要条件是，
所以，．
即存在满足的点，使得，此时．
【点睛】
本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，属于难题．
19、（1）；（2）见解析
【解析】
试题分析：
（I）由题意可得，，则，，关于的线性回归方程为．
（II）由题意可知二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元，它们所对应的概率分别为：，，，．据此可得分布列，计算相应的数学期望为元．
试题解析：
（I）依题意：，
，，，
，，
则关于的线性回归方程为．
（II）二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元，它们所对应的概率分别为：
，，，
，．
所以，总金额的分布列如下表：
总金额的数学期望为元．
20、 (1) .
(2) 为定值.过程见解析.
【解析】
分析：（1）焦距说明，用点差法可得＝.这样可解得，得椭圆方程；
（2）若，这种特殊情形可直接求得，在时，直线方程为，设，把直线方程代入椭圆方程，后可得，然后由纺长公式计算出弦长，同时直线方程为，代入椭圆方程可得点坐标，从而计算出，最后计算即可.
详解：（1）由题意可知，设，代入椭圆可得：
，两式相减并整理可得，
，即.
又因为，，代入上式可得，.
又，所以，
故椭圆的方程为.
（2）由题意可知，，当为长轴时，为短半轴，此时
；
否则，可设直线的方程为，联立，消可得，
，
则有：，
所以
设直线方程为，联立，根据对称性，
不妨得，
所以.
故，
综上所述，为定值.
点睛：设直线与椭圆相交于两点，的中点为，则有，证明方法是点差法：即把点坐标代入椭圆方程得，，两式相减，结合斜率公式可得.
21、（1）见解析（2）需要，见解析
【解析】
（1）由零件的长度服从正态分布且相互独立,零件的长度满足即为合格,则每一个零件的长度合格的概率为,满足二项分布,利用补集的思想求得,再根据公式求得；
（2）由题可得不合格率为,检查的成本为,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断.
【详解】
（1）,
由于满足二项分布,故.
（2）由题意可知不合格率为,
若不检查,损失的期望为；
若检查,成本为,由于,
当充分大时,,
所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件.
【点睛】
本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能力.
22、（1）平行，证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由题意及图形的翻折规律可知应是的一条中位线，利用线面平行的判定定理即可求证；
（2）利用条件及线面垂直的判定定理可知，，则平面，在利用锥体的体积公式即可．
【详解】
（1）证明：因翻折后、、重合，
∴应是的一条中位线，
∴，
∵平面，平面，
∴平面；
（2）解：∵，，
∴面
且，，
，
又，
．
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理及锥体的体积公式，属于基础题．
-1
0
1
1
2
3
4
5
6
7
5
8
8
10
14
15
17
0
300
600
900
1200