2026届河北省巨鹿县第二中学高三第二次调研数学试卷含解析

这是一份2026届河北省巨鹿县第二中学高三第二次调研数学试卷含解析，共18页。试卷主要包含了函数的图象大致为，若双曲线，已知向量，，则向量与的夹角为，已知为等差数列，若，，则等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．函数的对称轴不可能为（ ）
A．B．C．D．
3．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．B．C．D．
4．已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“”是“l⊥m”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．函数的图象大致为( )
A．B．
C．D．
6．若双曲线：（）的一个焦点为，过点的直线与双曲线交于、两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在区间有三个零点，，，且，若，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
9．已知向量，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
10．已知为等差数列，若，，则( )
A．1B．2C．3D．6
11．复数（ ）．
A．B．C．D．
12．如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则与面所成角的正弦值等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，在方向上的投影为，则与的夹角为_________.
14．三对父子去参加亲子活动，坐在如图所示的6个位置上，有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有________种（比如：B与D、B与C是相邻的，A与D、C与D是不相邻的）.
15．已知，椭圆的方程为，双曲线方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为________.
16．已知点是直线上的动点，点是抛物线上的动点.设点为线段的中点，为原点，则的最小值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的焦点为，，离心率为，点P为椭圆C上一动点，且的面积最大值为，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点，为椭圆C上的两个动点，当为多少时，点O到直线MN的距离为定值.
18．（12分）已知椭圆的右焦点为，直线被称作为椭圆的一条准线，点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点)，过点作直线与椭圆相切，且与直线相交于点.
（1）求证：.
（2）若点在轴的上方，当的面积最小时，求直线的斜率.
附：多项式因式分解公式：
19．（12分）2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：，，，，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.
（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为，求的分布列和数学期望.
20．（12分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
21．（12分）已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：
（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）已知点，直线与圆相交于、两点，求的值.
22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)把的参数方程化为极坐标方程：
(2)求与交点的极坐标.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可.
【详解】
解：∵,,
∴,
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.
2、D
【解析】
由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论．
【详解】
对于函数，令，解得，
当时，函数的对称轴为，，.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．
3、D
【解析】
根据等差数列公式直接计算得到答案.
【详解】
依题意，，故，故，故，故选：D．
【点睛】
本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.
4、A
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.
【详解】
当m⊥平面α时，若l∥α”则“l⊥m”成立，即充分性成立，
若l⊥m，则l∥α或l⊂α，即必要性不成立，
则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题
5、A
【解析】
确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．
【详解】
时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．
故选：A.
【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．
6、D
【解析】
求出直线的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得的方程组，求得的值，即可得到答案.
【详解】
由题意，直线的斜率为，
可得直线的方程为，
把直线的方程代入双曲线，可得，
设，则，
由的中点为，可得，解答，
又由，即，解得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
7、C
【解析】
根据题意，知当时，，由对称轴的性质可知和，即可求出，即可求出的最小正周期.
【详解】
解：由于在区间有三个零点，，，
当时，，
∴由对称轴可知，满足，
即.
同理，满足，即，
∴，，
所以最小正周期为：.
故选：C.
【点睛】
本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.
8、B
【解析】
求出圆心，代入渐近线方程，找到的关系，即可求解.
【详解】
解：，
一条渐近线
，
故选：B
【点睛】
利用的关系求双曲线的离心率，是基础题.
9、C
【解析】
求出，进而可求,即能求出向量夹角.
【详解】
解：由题意知，. 则
所以，则向量与的夹角为.
故选:C.
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式 进行计算.
10、B
【解析】
利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．
【详解】
∵{an}为等差数列，,
∴，
解得＝﹣10，d＝3，
∴＝+4d＝﹣10+11＝1．
故选：B．
【点睛】
本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11、A
【解析】
试题分析：，故选A.
【考点】复数运算
【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.
12、A
【解析】
首先找出与面所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值.
【详解】
由题知是等腰直角三角形且，是等边三角形，
设中点为，连接，，可知，，
同时易知，，
所以面，故即为与面所成角，
有，
故.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由向量投影的定义可求得两向量夹角的余弦值，从而得角的大小．
【详解】
在方向上的投影为，即夹角为.
故答案为：．
【点睛】
本题考查求向量的夹角，掌握向量投影的定义是解题关键．
14、192
【解析】
根据题意，分步进行分析：①，在三对父子中任选1对，安排在相邻的位置上，②，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，分步进行分析：
①，在三对父子中任选1对，有3种选法，由图可得相邻的位置有4种情况，将选出的1对父子安排在相邻的位置，有种安排方法；
②，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，有种安排方法，
则有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法种；
故答案为：
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
15、
【解析】
求出椭圆与双曲线的离心率，根据离心率之积的关系，然后推出关系，即可求解双曲线的渐近线方程.
【详解】
，椭圆的方程为，
的离心率为：，
双曲线方程为，
的离心率：，
与的离心率之积为，
，
，
的渐近线方程为：，即.
故答案为：
【点睛】
本题考查了椭圆、双曲线的几何性质，掌握椭圆、双曲线的离心率公式，属于基础题.
16、
【解析】
过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案.
【详解】
如图所示：过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，
，则，，故抛物线的与直线平行的切线为.
点为线段的中点，故在直线时距离最小，故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）当＝0时，点O到直线MN的距离为定值.
【解析】
（1）的面积最大时，是短轴端点，由此可得，再由离心率及可得，从而得椭圆方程；
（2）在直线斜率存在时，设其方程为，现椭圆方程联立消元（）后应用韦达定理得，注意，一是计算，二是计算原点到直线的距离，两者比较可得结论．
【详解】
（1）因为在椭圆上，当是短轴端点时，到轴距离最大，此时面积最大，所以，由，解得，
所以椭圆方程为．
（2）在时，设直线方程为，原点到此直线的距离为，即，
由，得，
，，
所以，，
，
所以当时，，，为常数．
若，则，，，，，
综上所述，当＝0时，点O到直线MN的距离为定值.
【点睛】
本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力．解题方法是“设而不求”法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式．
18、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由得令可得，进而得到，同理，利用数量积坐标计算即可；
（2），分，两种情况讨论即可.
【详解】
（1）证明：点的坐标为.
联立方程，消去后整理为
有，可得，，.
可得点的坐标为.
当时，可求得点的坐标为，
，.
有,
故有.
（2）若点在轴上方，因为，所以有，
由（1）知
①因为时.由（1）知，
由函数单调递增，可得此时.
②当时，由（1）知
令
由
，故当时，
，此时函数单调递增：当时，，此时函数单
调递减，又由，故函数的最小值，函数取最小值时
，可求得.
由①②知，若点在轴上方，当的面积最小时，直线的斜率为.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到分类讨论求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道难题.
19、（1）3360元；（2）见解析
【解析】
（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；
（2）根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望值．
【详解】
（1）记每个农户的平均损失为元，则
；
（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（户），损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3（户），
随机抽取2户，则X的可能取值为0，1，2；
计算P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
所以X的分布列为；
数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．
【点睛】
本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题．
20、（1）（2）
【解析】
（1）按绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式；
（2）不等式转化为，求出在上的最小值即可，利用绝对值定义分类讨论去绝对值符号后可求得函数最小值．
【详解】
解：（1）或或
解得或或无解
综上不等式的解集为．
（2）时，，即
所以只需在时恒成立即可
令，
由解析式得在上是增函数，
∴当时，
即
【点睛】
本题考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，解决绝对值不等式的问题，分类讨论是常用方法．掌握分类讨论思想是解题关键．
21、（1） ： ， ：；（2）
【解析】
（1）消去参数求得直线的普通方程，将两边同乘以，化简求得圆的直角坐标方程.
（2）求得直线的标准参数方程，代入圆的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得的值.
【详解】
（1）消去参数，得直线的普通方程为，
将两边同乘以得，，
∴圆的直角坐标方程为；
（2）经检验点在直线上，可转化为①，
将①式代入圆的直角坐标方程为得，
化简得，
设是方程的两根，则，，
∵，∴与同号，
由的几何意义得.
【点睛】
本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义求解距离问题，属于中档题.
22、（1）（2）与交点的极坐标为，和
【解析】
（1）先把曲线化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；
（2）联立曲线和曲线的方程解得即可.
【详解】
(1)曲线的直角坐标方程为：，即 . 的参数方程化为极坐标方程为；
(2)联立可得：，与交点的极坐标为，和.
【点睛】
本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.
X
0
1
2
P