2026届贵州省遵义市遵义航天高级中学高三第五次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届贵州省遵义市遵义航天高级中学高三第五次模拟考试数学试卷含解析，共7页。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于两点，若，则的内切圆半径为（ ）
A．B．C．D．
2．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去社区，乙不去社区，则不同的安排方法种数为 （ ）
A．8B．7C．6D．5
3．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为（ ）
A．B．C．D．
4．若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为（ ）
A．B．或C．D．
8．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了年至年国家财政性教育经费投入情况及其在中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）
A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长
B．年以来，国家财政性教育经费的支出占比例持续年保持在以上
C．从年至年，中国的总值最少增加万亿
D．从年到年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是年
9．设i为数单位，为z的共轭复数，若，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，为图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点，满足，则下列区间中存在极值点的是（ ）
A．B．C．D．
11．设，，是非零向量.若，则（ ）
A．B．C．D．
12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知集合，.若，则实数a的值是______.
14．的展开式中的常数项为_______．
15．已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为_______．
16．角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数．
（1）当时，解不等式；
（2）设，且当时，不等式有解，求实数的取值范围．
18．（12分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；
（Ⅲ）记表示学生的考核成绩在区间的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．
19．（12分）已知动圆过定点，且与直线相切，动圆圆心的轨迹为，过作斜率为的直线与交于两点，过分别作的切线，两切线的交点为，直线与交于两点．
（1）证明：点始终在直线上且；
（2）求四边形的面积的最小值．
20．（12分）为提供市民的健身素质，某市把四个篮球馆全部转为免费民用
（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从四场馆的使用场数中依次抽取共25场，在中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望；
（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为，其相应维修费用为元，根据统计，得到如下表的数据：
①用最小二乘法求与的回归直线方程；
②叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时的值
参考数据和公式：，
21．（12分）随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等．其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：
（1）现有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要赡养老人，除此之外，无其它专项附加扣除．请问李某月应缴纳的个税金额为多少？
（2）为研究月薪为20000元的群体的纳税情况，现收集了某城市500名的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，有一个孩子的有400人，没有孩子的有100人，有一个孩子的人中有300人需要赡养老人，没有孩子的人中有50人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的500人中，任何两人均不在一个家庭）．若他们的月收入均为20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额的分布列与期望．
22．（10分）已知函数（其中是自然对数的底数）
（1）若在R上单调递增，求正数a的取值范围；
（2）若f（x）在处导数相等，证明：；
（3）当时，证明：对于任意，若，则直线与曲线有唯一公共点（注：当时，直线与曲线的交点在y轴两侧）.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
首先由求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解.
【详解】
由题意将代入双曲线的方程,得则,由,得的周长为
,
设的内切圆的半径为,则,
故选：B
【点睛】
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.
2、B
【解析】
根据题意满足条件的安排为：A（甲，乙）B（丙）C（丁）；A（甲，乙）B（丁）C（丙）；A（甲，丙）B（丁）C（乙）； A（甲，丁）B（丙）C（乙）； A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（丁）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7种，选B.
3、C
【解析】
程序在运行过程中各变量值变化如下表：
故退出循环的条件应为k>5?
本题选择C选项.
点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．
4、C
【解析】
利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，进而可得出、、三个数的大小关系.
【详解】
对数函数为上的增函数，则，即；
指数函数为上的增函数，则；
指数函数为上的减函数，则.
综上所述，.
故选：C.
【点睛】
本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.
5、C
【解析】
利用诱导公式以及二倍角公式，将化简为关于的形式，结合终边所在的直线可知的值，从而可求的值.
【详解】
因为，且，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解值的两种方法：（1）分别求解出的值，再求出结果；（2）将变形为，利用的值求出结果.
6、A
【解析】
试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，
则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，
∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．
故选A．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．
7、C
【解析】
由可得，故可求的值.
【详解】
因为，所以，
故，因为正项等比数列，故，所以，故选C.
【点睛】
一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2）公比时，则有，其中为常数且；
（3） 为等比数列（ ）且公比为.
8、C
【解析】
观察图表，判断四个选项是否正确．
【详解】
由表易知、、项均正确，年中国为万亿元，年中国为万亿元，则从年至年，中国的总值大约增加万亿，故C项错误．
【点睛】
本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．
9、A
【解析】
由复数的除法求出，然后计算．
【详解】
，
∴．
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键．
10、A
【解析】
结合已知可知，可求，进而可求，代入，结合，可求，即可判断．
【详解】
图象上相邻两个极值点，满足，
即，
，，且，
，，
，，，
当时，为函数的一个极小值点，而．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用．
11、D
【解析】
试题分析：由题意得：若，则；若，则由可知，，故也成立，故选D.
考点：平面向量数量积.
【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.
12、B
【解析】
还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果.
【详解】
由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥
半个圆柱体积为：
四棱锥体积为：
原几何体体积为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、9
【解析】
根据集合交集的定义即得.
【详解】
集合，，，
，则a的值是9.
故答案为：9
【点睛】
本题考查集合的交集，是基础题.
14、
【解析】
写出展开式的通项公式，考虑当的指数为零时，对应的值即为常数项.
【详解】
的展开式通项公式为： ，
令，所以，所以常数项为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查二项展开式中指定项系数的求解，难度较易.解答问题的关键是，能通过展开式通项公式分析常数项对应的取值.
15、
【解析】
先求导数可得切线斜率，利用基本不等式可得切点横坐标，从而可得切线方程.
【详解】
，
，＝1时有最小值1，此时M(1，﹣2)，
故切线方程为：，即．
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，切点处的导数值等于切线的斜率是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
16、
【解析】
试题分析：由三角函数定义知，又由诱导公式知，所以答案应填：．
考点：1、三角函数定义；2、诱导公式．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）通过分类讨论去掉绝对值符号，进而解不等式组求得结果；
（2）将不等式整理为，根据能成立思想可知，由此构造不等式求得结果.
【详解】
（1）当时，可化为，
由，解得；由，解得；由，解得．
综上所述：所以原不等式的解集为．
（2），，，，
有解，，即，
又，，
实数的取值范围是．
【点睛】
本题考查绝对值不等式的求解、根据不等式有解求解参数范围的问题；关键是明确对于不等式能成立的问题，通过分离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较问题.
18、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；
（Ⅱ）结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可；
（Ⅲ）求出满足的成绩有16个，求出满足条件的概率即可．
【详解】
解：（Ⅰ）设这名学生考核优秀为事件，
由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，
所以所求概率约为
（Ⅱ）设从图中考核成绩满足的学生中任取2人，
至少有一人考核成绩优秀为事件，
因为表中成绩在的6人中有2个人考核为优，
所以基本事件空间包含15个基本事件，事件包含9个基本事件，
所以
（Ⅲ）根据表格中的数据，满足的成绩有16个，
所以
所以可以认为此次冰雪培训活动有效．
【点睛】
本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题．
19、（1）见解析（2）最小值为1．
【解析】
（1）根据抛物线的定义，判断出的轨迹为抛物线，并由此求得轨迹的方程.设出两点的坐标，利用导数求得切线的方程，由此求得点的坐标.写出直线的方程，联立直线的方程和曲线的方程，根据韦达定理求得点的坐标，并由此判断出始终在直线上，且.
（2）设直线的倾斜角为，求得的表达式，求得的表达式，由此求得四边形的面积的表达式进而求得四边形的面积的最小值．
【详解】
(1)∵动圆过定点，且与直线相切，∴动圆圆心到定点和定直线的距离相等，∴动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，∴轨迹的方程为：，
设，∴直线的方程为：，即：①，同理，直线的方程为：②，
由①②可得：，
直线方程为：，联立可得：，
，∴点始终在直线上且；
（2）设直线的倾斜角为，由（1）可得：，
，
∴四边形的面积为：，当且仅当或，即时取等号，∴四边形的面积的最小值为1.
【点睛】
本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中四边形面积的最值的计算，考查运算求解能力，属于中档题.
20、（1）见解析，12.5（2）①②20
【解析】
(1) 运用分层抽样，结合总场次为100，可求得的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;
(2) ①由公式可计算的值，进而可求与的回归直线方程；
②求出，再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时的值.
【详解】
解：（1）抽样比为，所以分别是，6，7，8，5
所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15
，，，
所以分布列为
期望为
（2）因为
所以，，
；
②，
设，
所以当递增，当递减
所以约惠值最大值时的值为20
【点睛】
本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.
21、（1）李某月应缴纳的个税金额为元，（2）分布列详见解析，期望为1150元
【解析】
（1）分段计算个人所得税额；
（2）随机变量X的所有可能的取值为990，1190，1390，1590，分别求出各值对应的概率，列出分布列，求期望即可．
【详解】
解：（1）李某月应纳税所得额（含税）为：29600−5000−1000−2000＝21600元
不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元
超过3000元至12000元的部分税额为9000×10%＝900元，
超过12000元至25000元的部分税额为9600×20%＝1920元
所以李某月应缴纳的个税金额为90＋900＋1920＝2910元，
（2）有一个孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−1000−2000＝12000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＝990元
有一个孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−1000＝14000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＋400＝1390元；
没有孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−2000＝13000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＋200＝1190元；
没有孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000＝15000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＋600＝1590元；
．
所以随机变量X的分布列为：
．
【点睛】
本题考查了分段函数的应用与函数值计算，考查了随机变量的概率分布列与数学期望，属于中档题．
22、（1）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）需满足恒成立，只需即可；（2）根据的单调性，构造新函数，并令，根据的单调性即可得证；
（3）将问题转化为证明有唯一实数解，对求导，判断其单调性，结合题目条件与不等式的放缩，即可得证．
【详解】
；
令，则恒成立；
，；
的取值范围是；
（2）证明：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增；
；
令，；
则；
令，则；
；
；
（3）证明：，，要证明有唯一实数解；
当时，；
当时，；
即对于任意实数，一定有解；
；
当时，有两个极值点；
函数在，，上单调递增，在上单调递减；
又；
只需，在时恒成立；
只需；
令，其中一个正解是；
，；
单调递增，，（1）；
；
；
综上得证．
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数证明不等式，考查了转化思想、不等式的放缩，属难题．
x
10
15
20
25
30
35
40
y
10000
11761
13010
13980
14771
15440
16020
2.99
3.49
4.05
4.50
4.99
5.49
5.99
级数
一级
二级
三级
四级
每月应纳税所得额（含税）
不超过3000元的部分
超过3000元至12000元的部分
超过12000元至25000元的部分
超过25000元至35000元的部分
税率
3
10
20
25

K
S
是否继续循环
循环前
1
1

第一圈
2
4
是
第二圈
3
11
是
第三圈
4
26
是
第四圈
5
57
是
第五圈
6
120
否
990
1190
1390
1590