2026届河北省石家庄市行唐县第三中学高三（最后冲刺）数学试卷含解析

这是一份2026届河北省石家庄市行唐县第三中学高三（最后冲刺）数学试卷含解析，共17页。试卷主要包含了设，，，则，已知，，若，则实数的值是，已知是边长为的正三角形，若，则，计算等于， “”是“直线与互相平行”的，若复数满足，综上，得或等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数（其中，，）的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，则对于下列判断：
①直线是函数图象的一条对称轴；
②点是函数的一个对称中心；
③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.
其中正确的判断是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
2．设复数满足为虚数单位)，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图，正方体中，，，，分别为棱、、、的中点，则下列各直线中，不与平面平行的是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
4．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，若，则实数的值是（ ）
A．-1B．7C．1D．1或7
6．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（ ）
A．B．3C．1D．
7．已知是边长为的正三角形，若，则
A．B．
C．D．
8．计算等于( )
A．B．C．D．
9． “”是“直线与互相平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．若复数满足（是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数，且)，则“在上是单调函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
12．的展开式中的系数是（ ）
A．160B．240C．280D．320
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中的常数项为__________.
14．如图，在△ABC中，E为边AC上一点，且，P为BE上一点，且满足，则的最小值为______．
15．某校初三年级共有名女生，为了了解初三女生分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生有_____________个．
16．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的值是，则输入的值为____________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.
（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元，求的分布列与数学期望.
18．（12分）联合国粮农组织对某地区最近10年的粮食需求量部分统计数据如下表：
（1）由所给数据可知，年需求量与年份之间具有线性相关关系，我们以“年份—2014”为横坐标，“需求量”为纵坐标，请完成如下数据处理表格：
（2）根据回归直线方程分析，2020年联合国粮农组织计划向该地区投放粮食300万吨，问是否能够满足该地区的粮食需求？
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，.
19．（12分）已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且，求的值.
20．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求B；
（2）若的面积为，周长为8，求b.
21．（12分）已知在平面直角坐标系中，椭圆的焦点为为椭圆上任意一点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线交椭圆于两点，且满足（分别为直线的斜率），求的面积为时直线的方程.
22．（10分）已知为等差数列，为等比数列，的前n项和为，满足，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，数列的前n项和，求.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
分析：根据最低点，判断A=3，根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T，再代入最低点可求得解析式为，依次判断各选项的正确与否．
详解：因为为对称中心，且最低点为，
所以A=3，且
由
所以，将带入得
，
所以
由此可得①错误，②正确，③当时，，所以与 有6个交点，设各个交点坐标依次为 ，则，所以③正确
所以选C
点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题．
2、B
【解析】
易得，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
【详解】
由已知，，所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
3、C
【解析】
充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据判断A的正误.根据，判断B的正误.根据与 相交，判断C的正误.根据，判断D的正误.
【详解】
在正方体中，因为 ，所以 平面，故A正确.
因为，所以，所以平面 故B正确.
因为，所以平面，故D正确.
因为与 相交，所以 与平面 相交，故C错误.
故选：C
【点睛】
本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题.
4、A
【解析】
先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,再由中间值1可得三者的大小关系.
【详解】
，，，因此，故选：A.
【点睛】
本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.
5、C
【解析】
根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值.
【详解】
由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得
.
∴解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.
6、D
【解析】
整理复数为的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.
【详解】
由题,,
因为纯虚数,所以,则,
故选:D
【点睛】
本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.
7、A
【解析】
由可得，因为是边长为的正三角形，所以，故选A．
8、A
【解析】
利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.
【详解】
原式.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.
9、A
【解析】
利用两条直线互相平行的条件进行判定
【详解】
当时，直线方程为与，可得两直线平行；
若直线与互相平行，则，解得，
，则“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件，故选
【点睛】
本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题．
10、B
【解析】
利用复数乘法运算化简，由此求得.
【详解】
依题意，所以.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题.
11、C
【解析】
先求出复合函数在上是单调函数的充要条件，再看其和的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案.
【详解】
，且)，
由得或，
即的定义域为或，（且）
令，其在单调递减，单调递增，
在上是单调函数，其充要条件为
即.
故选：C.
【点睛】
本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.
12、C
【解析】
首先把看作为一个整体，进而利用二项展开式求得的系数，再求的展开式中的系数，二者相乘即可求解.
【详解】
由二项展开式的通项公式可得的第项为，令，则，又的第为，令，则，所以的系数是.
故选：C
【点睛】
本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、31
【解析】
由二项式定理及其展开式得通项公式得：因为的展开式得通项为，则的展开式中的常数项为： ，得解.
【详解】
解：，
则的展开式中的常数项为：
.
故答案为：31.
【点睛】
本题考查二项式定理及其展开式的通项公式，求某项的导数，考查计算能力.
14、
【解析】
试题分析：根据题意有，因为三点共线，所以有，从而有，所以的最小值是．
考点：向量的运算，基本不等式．
【方法点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，属于中档题目，在解题的过程中，关键步骤在于对题中条件的转化，根据三点共线，结合向量的性质可知，从而等价于已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的最值的问题，两式乘积，最后应用基本不等式求得结果，最后再加，得出最后的答案．
15、
【解析】
根据数据先求出，再求出分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数即可.
【详解】
解：，
.
则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.
16、或
【解析】
依题意，当时，由，即，解得；当时，由，解得或(舍去)．综上，得或．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）见解析.
【解析】
事件表示男学员在第次考科目二通过，事件表示女学员在第次考科目二通过（其中）（1）这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为元可能取值为400，600，800，1000，1200，根据题意可求相应的概率，进而可求X的数学期望．
【详解】
事件表示男学员在第次考科目二通过，
事件表示女学员在第次考科目二通过（其中）.
（1）事件表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.
.
（2）的可能取值为400，600，800，1000，1200.
，
，
，
，
.
则的分布列为：
故 (元).
【点睛】
本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础题.
18、（1）见解析；（2）能够满足.
【解析】
（1）根据表中数据，结合以“年份—2014”为横坐标，“需求量”为纵坐标的要求即可完成表格；
（2）根据表中及所给公式可求得线性回归方程，由线性回归方程预测2020年的粮食需求量，即可作出判断.
【详解】
（1）由所给数据和已知条件，对数据处理表格如下：
（2）由题意可知，变量与之间具有线性相关关系，
由（1）中表格可得，，，
，.由上述计算结果可知，所求回归直线方程为，
利用回归直线方程，可预测2020年的粮食需求量为：
（万吨），
因为，故能够满足该地区的粮食需求.
【点睛】
本题考查了线性回归直线的求法及预测应用，属于基础题.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）直接代入再由诱导公式计算可得；
（Ⅱ）先得到，再根据利用两角差的余弦公式计算可得．
【详解】
解：（Ⅰ）
；
（Ⅱ）因为
所以，
由得，
又因为，故，所以，
所以.
【点睛】
本题考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．
20、（1）；（2）
【解析】
（1）通过正弦定理和内角和定理化简，再通过二倍角公式即可求出；
（2）通过三角形面积公式和三角形的周长为8，求出b的表达式后即可求出b的值.
【详解】
（1）由三角形内角和定理及诱导公式，得，
结合正弦定理，得，
由及二倍角公式，得，
即，故；
（2）由题设，得，从而，
由余弦定理，得，即，
又，所以，
解得.
【点睛】
本题综合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面积公式，属于基础题.
21、（1）（2）或
【解析】
（1）根据椭圆定义求得，得椭圆方程；
（2）设，由得，应用韦达定理得，代入已知条件可得，再由椭圆中弦长公式求得弦长，原点到直线的距离，得三角形面积，从而可求得，得直线方程．
【详解】
解：（1）据题意设椭圆的方程为
则
椭圆的标准方程为.
（2）据得
设，则
又
原点到直线的距离
解得或
所求直线的方程为或
【点睛】
本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题时采取设而不求思想，即设交点坐标为，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，把这个结论代入题中条件求得参数，用它求弦长等等，从而解决问题．
22、（1），；（2）．
【解析】
（1）设的公差为，的公比为，由基本量法列式求出后可得通项公式；
（2）奇数项分一组用裂项相消法求和，偶数项分一组用等比数列求和公式求和．
【详解】
（1）设的公差为，的公比为，由，.得：
，解得，
∴，；
（2）由，得，
为奇数时，，为偶数时，，
∴
．
【点睛】
本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，考查分组求和法及裂项相消法、等差数列与等比数列的前项和公式，求通项公式采取的是基本量法，即求出公差、公比，由通项公式前项和公式得出相应结论．数列求和问题，对不是等差数列或等比数列的数列求和，需掌握一些特殊方法：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等等．
考试情况
男学员
女学员
第1次考科目二人数
1200
800
第1次通过科目二人数
960
600
第1次未通过科目二人数
240
200
年份
2010
2012
2014
2016
2018
需求量（万吨）
236
246
257
276
286
年份—2014
0
需求量—257
0

400
600
800
1000
1200






年份—2014
0
2
4
需求量—257
0
19
29