2026届河北省唐山市第二十三中学高考全国统考预测密卷数学试卷含解析(1)

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1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ）
A．2B．3C．4D．1
2．若函数的图象过点，则它的一条对称轴方程可能是（ ）
A．B．C．D．
3．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）
A．B．C．16D．32
4．已知函数，为图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点，满足，则下列区间中存在极值点的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（ ）.
A．B．C．D．
6．将一块边长为的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为，则的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
7．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的值为（ ）
A．0B．1C．D．
8．已知向量，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
9．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ）
A．正方体B．球体
C．圆锥D．长宽高互不相等的长方体
10．在直角中，，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知的面积是,, ,则（ ）
A．5B．或1C．5或1D．
12．设分别是双曲线的左右焦点若双曲线上存在点，使，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有____种.（用数字作答）
14．已知实数、满足，且可行域表示的区域为三角形，则实数的取值范围为______，若目标函数的最小值为-1，则实数等于______.
15．展开式中的系数为_______________．
16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数（，）满足下列3个条件中的2个条件：
①函数的周期为；
②是函数的对称轴；
③且在区间上单调.
（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；
（Ⅱ）若，求函数的值域.
18．（12分）如图，在直棱柱中，底面为菱形，，，与相交于点，与相交于点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
19．（12分）某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图1）：规定产品的质量指标值在的为劣质品，在的为优等品，在的为特优品，销售时劣质品每件亏损元，优等品每件盈利元，特优品每件盈利元，以这件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率．
（1）求每件产品的平均销售利润；
（2）该企业主管部门为了解企业年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对该企业近年的年营销费用和年销售量，数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值．
表中，，，．
根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程．
①求关于的回归方程；
②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益销售利润营销费用，取）
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，，
（Ⅰ）证明；AC⊥BP；
（Ⅱ）求直线AD与平面APC所成角的正弦值．
21．（12分）已知数列，其前项和为，若对于任意，，且，都有.
（1）求证：数列是等差数列
（2）若数列满足，且等差数列的公差为，存在正整数，使得，求的最小值.
22．（10分）已知函数，,使得对任意两个不等的正实数，都有恒成立.
（1）求的解析式；
（2）若方程有两个实根，且，求证：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.
【详解】
根据实际问题可以转化为等比数列问题，
在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值．
因为，解得，，解得．故选B．
【点睛】
本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.
2、B
【解析】
把已知点坐标代入求出，然后验证各选项．
【详解】
由题意，，或，，
不妨取或，
若，则函数为，四个选项都不合题意，
若，则函数为，只有时，，即是对称轴．
故选：B．
【点睛】
本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键．
3、A
【解析】
几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是，选A.
4、A
【解析】
结合已知可知，可求，进而可求，代入，结合，可求，即可判断．
【详解】
图象上相邻两个极值点，满足，
即，
，，且，
，，
，，，
当时，为函数的一个极小值点，而．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用．
5、C
【解析】
易得，，又，平方计算即可得到答案.
【详解】
设双曲线C的左焦点为E，易得为平行四边形，
所以，又，
故，，，
所以，即，
故离心率为.
故选：C.
【点睛】
本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题.
6、D
【解析】
推导出，且，，，设中点为，则平面，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值．
【详解】
解：如图（4），为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，，且，由为等腰直角三角形可知，
，设中点为，则平面，∴，
∴，解得.
故选：D
【点睛】
本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.
7、A
【解析】
根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.
【详解】
输入，，
因为，所以由程序框图知，
输出的值为.
故选：A
【点睛】
本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.
8、C
【解析】
求出，进而可求,即能求出向量夹角.
【详解】
解：由题意知，. 则
所以，则向量与的夹角为.
故选:C.
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式 进行计算.
9、C
【解析】
根据基本几何体的三视图确定．
【详解】
正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形．
故选：C．
【点睛】
本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键．
10、C
【解析】
在直角三角形ABC中，求得 ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．
【详解】
在直角中，，，，，
，
若，则
故选C.
【点睛】
本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．
11、B
【解析】
∵，,
∴
①若为钝角，则，由余弦定理得，
解得；
②若为锐角，则，同理得.
故选B.
12、A
【解析】
由及双曲线定义得和（用表示），然后由余弦定理得出的齐次等式后可得离心率．
【详解】
由题意∵，∴由双曲线定义得，从而得，，
在中，由余弦定理得，化简得．
故选：A．
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用表示出到两焦点的距离，再由余弦定理得出的齐次式．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、36
【解析】
先优先考虑甲、乙两人不相邻的排法，在此条件下，计算甲不排在两端的排法，最后相减即可得到结果.
【详解】
由题意得5人排成一排，甲、乙两人不相邻，有种排法，其中甲排在两端，有种排法，则6人排成一排，甲、乙两人不相邻，且甲不排在两端，共有（种）排法.
所以本题答案为36.
【点睛】
排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻、考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题.
14、
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数的最小值，利用数形结合即可得到结论.
【详解】
作出可行域如图，
则要为三角形需满足在直线下方，即，；
目标函数可视为，则为斜率为1的直线纵截距的相反数，
该直线截距最大在过点时，此时，
直线：，与：的交点为，
该点也在直线：上，故，
故答案为：；.
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题.
15、
【解析】
把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．
【详解】
解：，
故它的展开式中的系数为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
16、
【解析】
(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.
【详解】
(1)每个三角形面积是，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，
可求出该四面体的高为，故四面体体积为，
因此该六面体体积是正四面体的2倍， 所以六面体体积是；
(2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，
连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为，
所以， 所以球的体积.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）只有①②成立，；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案.
（Ⅱ）得到，得到函数值域.
【详解】
（Ⅰ）由①可得，；由②得：，；
由③得，，，；
若①②成立，则，，，
若①③成立，则，，不合题意，
若②③成立，则，，
与③中的矛盾，所以②③不成立，
所以只有①②成立，.
（Ⅱ）由题意得，，
所以函数的值域为.
【点睛】
本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
18、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）要证明平面，只需证明，即可：
（2）取中点，连，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出与平面的法向量，再利用计算即可.
【详解】
（1）∵底面为菱形，
∵直棱柱平面.
∵平面.
.
平面；
（2）如图，取中点，连，以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系：
，
点，
设平面的法向量为，
，
有，令，
得
又，
设直线与平面所成的角为，
所以
故直线与平面所成的角的正弦值为.
【点睛】
本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐标.
19、（1）元．（2）①②万元
【解析】
（1）每件产品的销售利润为，由已知可得的取值，由频率分布直方图可得劣质品、优等品、特优品的概率，从而可得的概率分布列，依期望公式计算出期望即为平均销售利润；
（2）①对取自然对数，得，
令，，，则，这就是线性回归方程，由所给公式数据计算出系数，得线性回归方程，从而可求得；
②求出收益，可设换元后用导数求出最大值．
【详解】
解：（1）设每件产品的销售利润为，则的可能取值为，，．由频率分布直方图可得产品为劣质品、优等品、特优品的概率分别为、、．
所以；；．所以的分布列为
所以（元）．
即每件产品的平均销售利润为元．
（2）①由，得，
令，，，则，
由表中数据可得，
则，
所以，即，
因为取，所以，故所求的回归方程为．
②设年收益为万元，则
令，则，，当时，，
当时，，所以当，即时，有最大值．
即该企业每年应该投入万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大，最大收益为万元．
【点睛】
本题考查频率分布直方图，考查随机变量概率分布列与期望，考查求线性回归直线方程，及回归方程的应用．在求指数型回归方程时，可通过取对数的方法转化为求线性回归直线方程，然后再求出指数型回归方程．
20、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．
【解析】
(I)取的中点,连接,通过证明平面得出;
(II)以为原点建立坐标系，求出平面的法向量，通过计算与的夹角得出与平面所成角．
【详解】
（I）证明：取AC的中点M，连接PM，BM，
∵AB＝BC，PA＝PC，
∴AC⊥BM，AC⊥PM，又BM∩PM＝M，
∴AC⊥平面PBM，
∵BP⊂平面PBM，
∴AC⊥BP．
（II）解：∵底面ABCD是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，
∴∠ABC＝120°，
∵AB＝BC＝1，∴AC，BM，∴AC⊥CD，
又AC⊥BM，∴BM∥CD．
∵PA＝PC，CM，∴PM，
∵PB，∴cs∠BMP，∴∠PMB＝120°，
以M为原点，以MB，MC的方向为x轴，y轴的正方向，
以平面ABCD在M处的垂线为z轴建立坐标系M﹣xyz，如图所示：
则A（0，，0），C（0，，0），P（，0，），D（﹣1，，0），
∴（﹣1，，0），（0，，0），（，，），
设平面ACP的法向量为（x，y，z），则，即，
令x得（，0，1），
∴cs，，
∴直线AD与平面APC所成角的正弦值为|cs，|．
【点睛】
本题考查异面直线垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理使用,难度一般.
21、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）用数学归纳法证明即可；
（2）根据条件可得，然后将用，，表示出来，根据是一个整数，可得结果．
【详解】
解：（1）令，，则
即
∴，∴成等差数列，
下面用数学归纳法证明数列是等差数列，
假设成等差数列，其中，公差为，
令，，
∴
，
∴，
即，
∴成等差数列，
∴数列是等差数列；
（2），
，
若存在正整数，使得是整数，
则
，
设，，
∴是一个整数，
∴，从而
又当时，有，
综上，的最小值为．
【点睛】
本题主要考查由递推关系得通项公式和等差数列的性质，关键是利用数学归纳法证明数列是等差数列，属于难题．
22、（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据题意，在上单调递减，求导得，分类讨论的单调性，结合题意，得出的解析式；
（2）由为方程的两个实根，得出，，两式相减，分别算出和，利用换元法令和构造函数，根据导数研究单调性，求出，即可证出结论.
【详解】
（1）根据题意，对任意两个不等的正实数，都有恒成立.
则在上单调递减，
因为，
当时，在内单调递减.，
当时，由，有，
此时，当时，单调递减，
当时，单调递增，
综上，，所以.
（2）由为方程的两个实根，
得，
两式相减，可得，
因此，
令，由，得，
则，
构造函数.
则，
所以函数在上单调递增，
故，
即， 可知，
故，命题得证.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性求函数的解析式、以及利用构造函数法证明不等式，考查转化思想、解题分析能力和计算能力.