2026届北京市房山区房山实验中学高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

这是一份2026届北京市房山区房山实验中学高考全国统考预测密卷数学试卷含解析，共12页。试卷主要包含了已知抛物线，已知函数，已知是等差数列的前项和，，，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在上函数的图象关于原点对称，且，若，则（ ）
A．0B．1C．673D．674
2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）

A．B．C．D．
3．已知数列满足,且,则的值是( )
A．B．C．4D．
4．已知为定义在上的奇函数，若当时，（为实数），则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是( )
A．B．
C．D．
6．已知抛物线：，直线与分别相交于点，与的准线相交于点，若，则（ ）
A．3B．C．D．
7．已知函数（e为自然对数底数），若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ， 成等差数列，则公比 的值为（ ）
A．B．C． 或 D． 或
9．已知是等差数列的前项和，，，则（ ）
A．85B．C．35D．
10．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为的等边三角形，则该几何体的体积为
A．B．C．D．
11．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，在棱长为2的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是______.
14．设函数，若存在实数m，使得关于x的方程有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是______.
15．若函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数的值为________．
16．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是______.
①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；
②支出最高值与支出最低值的比是6:1；
③第三季度平均收入为50万元；
④利润最高的月份是2月份．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前n项和，是等差数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令.求数列的前n项和.
18．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求的极坐标方程和的直角坐标方程；
（Ⅱ）设分别交于两点（与原点不重合），求的最小值.
19．（12分）如图，正方形所在平面外一点满足，其中分别是与的中点.
（1）求证：；
（2）若，且二面角的平面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.
20．（12分）已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.
21．（12分）已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若函数的值域为A，且，求a的取值范围.
22．（10分）已知函数存在一个极大值点和一个极小值点.
（1）求实数a的取值范围；
（2）若函数的极大值点和极小值点分别为和，且，求实数a的取值范围.（e是自然对数的底数）
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由题知为奇函数，且可得函数的周期为3，分别求出知函数在一个周期内的和是0，利用函数周期性对所求式子进行化简可得.
【详解】
因为为奇函数，故；
因为，故，
可知函数的周期为3；
在中，令，故，
故函数在一个周期内的函数值和为0，
故.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数奇偶性与周期性综合问题. 其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
2、C
【解析】
由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案．
【详解】
由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
其底面面积，高，
故体积，
故选：．
【点睛】
本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
3、B
【解析】
由，可得，所以数列是公比为的等比数列，
所以，则，
则，故选B.
点睛：本题考查了等比数列的概念，等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，试题有一定的技巧，属于中档试题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，等比数列的性质和在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
4、A
【解析】
先根据奇函数求出m的值，然后结合单调性求解不等式.
【详解】
据题意，得，得，所以当时，.分析知，函数在上为增函数.又，所以.又，所以，所以，故选A.
【点睛】
本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.
5、A
【解析】
由题知，利用求出，再根据题给定义，化简求出的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.
【详解】
根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为，
所以 的周期为， 则，
所以，
由正弦函数和正切函数图象可知正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.
6、C
【解析】
根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案.
【详解】
显然直线过抛物线的焦点
如图，过A,M作准线的垂直，垂足分别为C，D，过M作AC的垂线，垂足为E
根据抛物线的定义可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M为AN的中点，所以MD为三角形NAC的中位线，故MD=CE=EA=AC
设MF=t，则MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=
所以
故选：C
【点睛】
本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题.
7、A
【解析】
若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出的最小值，分别画出与的图象，结合图象可得.
【详解】
解：，
∴，
设，
∴，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴，
当时，，当，，
函数恒过点，
分别画出与的图象，如图所示，
，
若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，
∴且，即，且
∴，
故实数m的最大值为，
故选：A
【点睛】
本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.
8、D
【解析】
由成等差数列得，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程.
【详解】
由题意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q=
故选：D．
【点睛】
本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．
9、B
【解析】
将已知条件转化为的形式，求得，由此求得.
【详解】
设公差为，则，所以，，，.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和的计算，属于基础题.
10、C
【解析】
由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为的等边三角形，三棱锥的高为，所以该几何体的体积，故选C．
11、A
【解析】
由排除选项;排除选项；由函数有无数个零点，排除选项,从而可得结果.
【详解】
由，可排除选项，可排除选项；由可得，即函数有无数个零点，可排除选项,故选A.
【点睛】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
12、D
【解析】
根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点；利用导数研究的单调性从而得到的图象；由直线恒过定点，通过数形结合的方式可确定；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和，进而得到结果.
【详解】
关于直线对称的直线方程为：
原题等价于与有且仅有四个不同的交点
由可知，直线恒过点
当时，
在上单调递减；在上单调递增
由此可得图象如下图所示：
其中、为过点的曲线的两条切线，切点分别为
由图象可知，当时，与有且仅有四个不同的交点
设，，则，解得：
设，，则，解得：
，则
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
取中点，连结，，推导出平面平面，从而点在线段上运动，作于，由，能求出线段长度的取值范围．
【详解】
取中点，连结，，
在棱长为2的正方体中，点、分别是棱、的中点，
，，
，，
平面平面，
是侧面正方形内一点（含边界），平面，
点在线段上运动，
在等腰△中，，，
作于，由等面积法解得：
，
，
线段长度的取值范围是，．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14、
【解析】
先确定关于x的方程当a为何值时有4个不相等的实根，再将这四个根的平方和表示出来，利用函数思想来判断当a为何值时这4个根的平方和存在最小值即可.
【详解】
由题意，当时，，此时，此时函数在单调递减，在单调递增，方程最多2个不相等的实根，舍；
当时，函数图象如下所示：
从左到右方程，有4个不相等的实根，依次为，，，，即，
由图可知，故，且，，
从而，
令，显然，
，要使该式在时有最小值，则对称轴，解得.
综上所述，实数a的取值范围是.
【点睛】
本题考查了函数和方程的知识，但需要一定的逻辑思维能力，属于较难题.
15、4
【解析】
由题可分析函数与的三个相邻交点中不相邻的两个交点距离为,即,进而求解即可
【详解】
由题意得函数的最小正周期,解得
故答案为：4
【点睛】
本题考查正弦型函数周期的应用,考查求正弦型函数中的
16、①②③
【解析】
通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可．
【详解】
对于①，2至月份的收入的变化率为20，11至12月份的变化率为20，故相同，正确．
对于②，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1，正确．
对于③，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40万元，50万元，60万元，故第三季度的平均收入为50万元，正确．
对于④，利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元，高于2月份的利润是80﹣60＝20万元，错误．
故答案为①②③．
【点睛】
本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1）先由公式求出数列的通项公式；进而列方程组求数列的首项与公差，得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用“错位相减法”求数列的前项和.
试题解析：（1）由题意知当时，，
当时，，所以．
设数列的公差为，
由，即，可解得，
所以．
（2）由（1）知，又，得，，两式作差，得所以．
考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前项和.
【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.
18、（Ⅰ）直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）2.
【解析】
（Ⅰ）由定义可直接写出直线的极坐标方程，对曲线同乘可得：，转化成直角坐标为；
（Ⅱ）分别联立两直线和曲线的方程，由得，由得，
则，结合三角函数即可求解；
【详解】
（Ⅰ）直线的极坐标方程为，
直线的极坐标方程为
由曲线的极坐标方程得，
所以的直角坐标方程为.
（Ⅱ）与的极坐标方程联立得所以.
与的极坐标方程联立得所以.
所以.
所以当时，取最小值2.
【点睛】
本题考查参数方程与极坐标方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，极坐标中的几何意义，属于中档题
19、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）先证明EF平面，即可求证；
（2）根据二面角的余弦值，可得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系,利用向量计算线面角即可.
【详解】
（1）连接，交于点，
连结.则，
故面.
又面，
因此.
（2）由（1）知即为二面角的平面角，
且.
在中应用余弦定理，得，
于是有，
即，从而有平面.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,
则，
于是，，
设平面的法向量为，
则，即，解得
于是平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，因此.
【点睛】
本题主要考查了线面垂直，线线垂直的证明，二面角，线面角的向量求法，属于中档题.
20、另一个特征值为，对应的一个特征向量
【解析】
根据特征多项式的一个零点为3，可得，再回代到方程即可解出另一个特征值为，最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量.
【详解】
矩阵的特征多项式为：
，
是方程的一个根，
，解得，即
方程即，，
可得另一个特征值为：，
设对应的一个特征向量为：
则由，得得，
令，则，
所以矩阵另一个特征值为，
对应的一个特征向量
【点睛】
本题考查了矩阵的特征值以及特征向量，需掌握特征多项式的计算形式，属于基础题.
21、（1）或（2）
【解析】
（1）分类讨论去绝对值即可；
（2）根据条件分a＜﹣3和a≥﹣3两种情况，由[﹣2，1]⊆A建立关于a的不等式，然后求出a的取值范围.
【详解】
（1）当a＝﹣1时，f（x）＝|x+1|.
∵f（x）≤|2x+1|﹣1，∴当x≤﹣1时，原不等式可化为﹣x﹣1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1；
当时，原不等式可化为x+1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1，此时不等式无解；
当时，原不等式可化为x+1≤2x，∴x≥1，
综上，原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥1}.
（2）当a＜﹣3时，，
∴函数g（x）的值域A＝{x|3+a≤x≤﹣a﹣3}.
∵[﹣2，1]⊆A，∴，∴a≤﹣5；
当a≥﹣3时，，
∴函数g（x）的值域A＝{x|﹣a﹣3≤x≤3+a}.
∵[﹣2，1]⊆A，∴，∴a≥﹣1，
综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣5]∪[﹣1，+∞）.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法和利用集合间的关于求参数的取值范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题.
22、（1）；（2）.
【解析】
（1）首先对函数求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出a的取值范围；
（2）首先求出的值，再根据求出实数a的取值范围.
【详解】
（1）函数的定义域为是，
，
若有两个极值点，则方程一定有两个不等的正根，
设为和，且，
所以解得，
此时，
当时，，
当时，，
当时，，
故是极大值点，是极小值点，
故实数a的取值范围是；
（2）由（1）知，，，
则，
，
，
由，得，即，
令，考虑到，
所以可化为，
而，
所以在上为增函数，
由，得，
故实数a的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性，利用函数单调性证明不等式，属于难题.