2026届河北省沧州市黄骅中学高三（最后冲刺）数学试卷含解析

这是一份2026届河北省沧州市黄骅中学高三（最后冲刺）数学试卷含解析，共19页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知下列命题等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则“”是“的展开式中项的系数为90”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（ ）
A．﹣21B．﹣24C．85D．﹣85
4．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，侧棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知下列命题：
①“”的否定是“”；
②已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题；
③“”是“”的充分不必要条件；
④“若，则且”的逆否命题为真命题.
其中真命题的序号为（ ）
A．③④B．①②C．①③D．②④
9．半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
10．在直角梯形中，，，，，点为上一点，且，当的值最大时，( )
A．B．2C．D．
11．在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足 ，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
12．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知关于空间两条不同直线m、n，两个不同平面、，有下列四个命题：①若且，则；②若且，则；③若且，则；④若，且，则.其中正确命题的序号为______.
14．内角，，的对边分别为，，，若，则__________．
15．一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数，若把当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的平均值为，则_________．
16．已知双曲线()的左右焦点分别为，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的焦点在轴上，且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过椭圆右焦点的直线交于、两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值.
18．（12分）数列的前项和为，且.数列满足，其前项和为.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19．（12分）已知函数，.
（1）求证：在区间上有且仅有一个零点，且；
（2）若当时，不等式恒成立，求证：.
20．（12分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据：
若用表中数据所得频率代替概率.
（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？
（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；类是其他市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为类市民的概率是多少？
21．（12分）如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，分别为，的中点，为棱上一点，若平面.
（1）求线段的长；
（2）求二面角的余弦值.
22．（10分）如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上的一点，.
（1）若，求直线AP与平面所成角；
（2）在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的实数m，都有，并证明你的结论.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
求得的二项展开式的通项为,令时,可得项的系数为90,即,求得,即可得出结果.
【详解】
若则二项展开式的通项为,令,即,则项的系数为,充分性成立;当的展开式中项的系数为90,则有,从而,必要性不成立.
故选:B.
【点睛】
本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.
2、A
【解析】
将整理为，根据的范围可求得；根据，结合的值域和的图象，可知，解不等式求得结果.
【详解】
当时，
又，，
由在上的值域为
解得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.
3、D
【解析】
由等比数列的性质求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可.
【详解】
设等比数列{an}的公比为q，
∵a5＝16，a3a4＝﹣32，
∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32，
∴q＝﹣2，则，
则，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查等比数列的前n项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题.
4、A
【解析】
根据指数函数的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，将与对比，即可求出结论.
【详解】
由题知，
，则.
故选:A.
【点睛】
本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..
5、D
【解析】
由图象可以求出周期，得到，根据图象过点可求，根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.
【详解】
由图象知，
所以，，
又图象过点，
所以，
故可取，
所以
令，
解得
所以函数的单调递增区间为
故选：．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.
6、C
【解析】
对函数求导，对a分类讨论，分别求得函数的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.
【详解】
∵ ，.
当时，，在上单调递增，不合题意.
当时，，在上单调递减，也不合题意.
当时，则时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又，所以在上有两个零点，只需即可，解得.
综上，的取值范围是.
故选C.
【点睛】
本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．
7、C
【解析】
如图所示，在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，计算长度，设球半径为，则，解得，得到答案.
【详解】
如图所示：在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，
，故，，
设球半径为，则，解得，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
8、B
【解析】
由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．
【详解】
“”的否定是“”，正确；
已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题，正确；
“”是“”的必要不充分条件,错误；
“若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.
故选：B．
【点睛】
本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．
9、B
【解析】
设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，利用，可得，进一步得到侧面积，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】
如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，则，
在中，，化为，
，
，
当且仅当时取等号，此时.
故选：B.
【点睛】
本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.
10、B
【解析】
由题，可求出，所以，根据共线定理，设，利用向量三角形法则求出，结合题给，得出，进而得出，最后利用二次函数求出的最大值，即可求出.
【详解】
由题意，直角梯形中，，，，，
可求得，所以·
∵点在线段上， 设 ，
则
，
即，
又因为
所以，
所以，
当时，等号成立.
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.
11、D
【解析】
设出的坐标为，依据题目条件，求出点的轨迹方程，
写出点的参数方程，则，根据余弦函数自身的范围，可求得结果.
【详解】
设 ，则
∵，
∴
∴
∴为点的轨迹方程
∴点的参数方程为（为参数）
则由向量的坐标表达式有：
又∵
∴
故选：D
【点睛】
考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法
12、C
【解析】
由三视图可知，该几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为，上部半圆锥的体积为，所以该几何体的体积为，故应选．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、③④
【解析】
由直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断．
【详解】
①若且，的位置关系是平行、相交或异面，①错；
②若且，则或者，②错；
③若，设过的平面与交于直线，则，又，则，∴，③正确；
④若，且，由线面垂直的定义知，④正确．
故答案为：③④．
【点睛】
本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义，考查空间线面间的位置关系，掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础．
14、
【解析】
∵，∴，即，
∴，∴．
15、1
【解析】
根据均值的定义计算．
【详解】
由题意，∴．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查均值的概念，属于基础题．
16、
【解析】
法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得，，,又由双曲线的定义得,将离心率表示成关于的式子,再令，则，令对函数求导研究函数在上单调性，可求得离心率的范围.
法二：令，，，，，根据直角三角形的性质和勾股定理得，将离心率表示成关于角的三角函数，根据三角函数的恒等变化转化为关于的函数，可求得离心率的范围.
【详解】
法一:，，，,
，,
设，则，
令，所以时，，在上单调递增， ，，.
法二：，，令，，，，，
，，，
，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率的范围的问题，关键在于将已知条件转化为与双曲线的有关，从而将离心率表示关于某个量的函数，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1） （2）
【解析】
（1）由已知条件列出关于和的方程，并计算出和的值，jike 得到椭圆的方程.
（2）设出点和点坐标，运用点坐标计算出，分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，求解出的最小值.
【详解】
（1）由己知得：，解得，
所以，椭圆的方程
（2）设，．
当直线垂直于轴时，，且
此时，，
当直线不垂直于轴时，设直线
由，得．
，
.
要使恒成立，只需，即最小值为
【点睛】
本题考查了求解椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，求解过程中需要分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，并运用根与系数的关系转化为只含一个变量的表达式进行求解，需要掌握解题方法，并且有一定的计算量.
18、（1），；（2）.
【解析】
（1）令可求得的值，令，由得出，两式相减可推导出数列为等比数列，确定该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式，再利用对数的运算性质可得出数列的通项公式；
（2）运用等差数列的求和公式，运用数列的分组求和和裂项相消求和，化简可得.
【详解】
（1）当时，，所以；
当时，，得，即，
所以，数列是首项为，公比为 的等比数列，.
；
（2）由（1）知数列是首项为，公差为的等差数列，
.
，
.
所以.
【点睛】
本题考查数列的递推式的运用，注意结合等比数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：分组求和法和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．
19、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1）利用求导数，判断在区间上的单调性，然后再证异号，即可证明结论；
（2）当时，不等式恒成立，分离参数只需时，恒成立，
设（），需，根据（1）中的结论先求出，再构造函数结合导数法，证明即可.
【详解】
（1），
令，则，
所以在区间上是增函数，
则，所以在区间上是增函数.
又因为，
，
所以在区间上有且仅有一个零点，且.
（2）由题意，在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
当时，；
当时，恒成立，
设（），
所以.
由（1）可知，，使，
所以，当时，，当时，，
由此在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以.
又因为，
所以，从而，
所以.令，，
则，
所以在区间上是增函数，
所以，故.
【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、函数的零点、极值最值、不等式的证明，分离参数是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.
20、（1）降低（2）
【解析】
（1）计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率，和不进行处罚时行人闯红灯的概率，求解即可；
（2）闯红灯的市民有80人，其中类市民和类市民各有40人，根据分层抽样法抽出4人依次排序，计算所求的概率值.
【详解】
解：（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率为；
不进行处罚，行人闯红灯的概率为；
所以当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低；
（2）由题可知，闯红灯的市民有80人，类市民和类市民各有40人
故分别从类市民和类市民各抽出两人，4人依次排序
记类市民中抽取的两人对应的编号为，类市民中抽取的两人编号为
则4人依次排序分别为，，，，，，，，，，，，共有种
前两位均为类市民排序为，，有种，所以前两位均为类市民的概率是.
【点睛】
本题主要考查了计算古典概型的概率，属于中档题.
21、（1）（2）
【解析】
（1）先证得，设与交于点，在中解直角三角形求得，由此求得的值.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.
【详解】
（1）由题意，，
设与交于点，在中，可求得，则，
可求得，则
（2）以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，
建立空间直角坐标系.
，，，
，，易得平面的法向量为.
，，易得平面的法向量为.
设二面角为，由图可知为锐角，所以
.
即二面角的余弦值为.
【点睛】
本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
22、（1）；（2）存在， Q为线段中点
【解析】
解法一：（1）作出平面与平面的交线，可证平面，计算，，得出，从而得出的大小；（2）证明平面，故而可得当Q为线段的中点时.
解法二，以为原点，以为建立空间直角坐标系：（1）由，利用空间向量的数量积可求线面角；（2）设上存在一定点Q，设此点的横坐标为，可得，由向量垂直，数量积等于零即可求解.
【详解】
（1）解法一：连接交于，
设与平面的公共点为，连接，
则平面平面，
四边形是正方形，，
平面，平面，
，又，
平面，
为直线AP与平面所成角，
平面，平面，平面平面，
，又为的中点，
，
，，
直线AP与平面所成角为.
（2）四边形正方形，
，
平面，平面，
，又,
平面，又平面，
，
当Q为线段中点时，对于任意的实数，都有.
解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
所以，，，
又由，，则为平面的一个法向量，
设直线AP与平面所成角为，
则，
故当时，直线AP与平面所成角为.
（2）若在上存在一定点Q，设此点的横坐标为，
则，，
依题意，对于任意的实数要使，
等价于，
即，解得，
即当Q为线段中点时，对于任意的实数，都有.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理、线面角的计算，考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题.
处罚金额（单位：元）
5
10
15
20
会闯红灯的人数
50
40
20
10