2026届河北省沧州市肃宁一中高三下学期第六次检测数学试卷含解析

这是一份2026届河北省沧州市肃宁一中高三下学期第六次检测数学试卷含解析，共53页。试卷主要包含了定义在上的奇函数满足，若，，则，已知满足，则，已知为非零向量，“”为“”的等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（ ）．
A．B．
C．D．
2．设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知是第二象限的角，，则( )
A．B．C．D．
4．已知正方体的体积为，点，分别在棱，上，满足最小，则四面体的体积为
A．B．C．D．
5．定义在上的奇函数满足，若，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
6．已知椭圆的右焦点为F，左顶点为A，点P椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）.
A．2寸B．3寸C．4寸D．5寸
8．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知满足，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知为非零向量，“”为“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充分必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
11．如果实数满足条件，那么的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知双曲线的焦距为，若的渐近线上存在点，使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，则______.
14．若展开式中的常数项为240，则实数的值为________.
15．某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，则成绩在区间的学生人数是__________．
16．过点，且圆心在直线上的圆的半径为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列满足，，，且.
（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．（12分）已知矩阵，且二阶矩阵M满足AMB，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.
19．（12分）已知函数，且.
（1）求的解析式；
（2）已知，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.
20．（12分）如图，直线与抛物线交于两点，直线与轴交于点，且直线恰好平分.
（1）求的值；
（2）设是直线上一点，直线交抛物线于另一点，直线交直线于点，求的值.
21．（12分）如图，己知圆和双曲线，记与轴正半轴、轴负半轴的公共点分别为、，又记与在第一、第四象限的公共点分别为、.
（1）若，且恰为的左焦点，求的两条渐近线的方程；
（2）若，且，求实数的值；
（3）若恰为的左焦点，求证：在轴上不存在这样的点，使得.
22．（10分）已知函数.
(Ⅰ) 求函数的单调区间；
(Ⅱ) 当时，求函数在上最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据题意，求出集合A，进而求出集合和，分析选项即可得到答案.
【详解】
根据题意，
则
故选：D
【点睛】
此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,
2、B
【解析】
设过点作的垂线，其方程为，联立方程，求得，，即，由，列出相应方程，求出离心率.
【详解】
解：不妨设过点作的垂线，其方程为，
由解得，，即，
由，所以有，
化简得，所以离心率．
故选：B.
【点睛】
本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．
3、D
【解析】
利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.
【详解】
因为,
由诱导公式可得,,
即,
因为,
所以,
由二倍角的正弦公式可得,
,
所以.
故选:D
【点睛】
本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.
4、D
【解析】
由题意画出图形，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，可得当时最小，设正方体的棱长为，得，进一步求出四面体的体积即可．
【详解】
解：如图，
∵点M，N分别在棱上，要最小，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，三线共线时，最小，

∴
设正方体的棱长为，则，
∴．
取，连接，则共面，
在中，设到的距离为，
设到平面的距离为，
.
故选D．
【点睛】
本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题．
5、C
【解析】
首先判断出是周期为的周期函数，由此求得所求表达式的值.
【详解】
由已知为奇函数，得，
而，
所以，
所以，即的周期为.
由于，，，
所以，
，
，
.
所以，
又，
所以.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.
6、C
【解析】
不妨设在第一象限，故，根据得到，解得答案.
【详解】
不妨设在第一象限，故，，即，
即，解得，（舍去）.
故选：.
【点睛】
本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力.
7、B
【解析】
试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B.
考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.
8、D
【解析】
画出曲线与围成的封闭区域，表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，然后结合图形求解可得所求范围．
【详解】
画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示．
表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，
设，结合图形可得或，
由题意得点A,B的坐标分别为，
∴，
∴或，
∴的取值范围为．
故选D．
【点睛】
解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题．
9、A
【解析】
利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果.
【详解】
，.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
10、B
【解析】
由数量积的定义可得,为实数,则由可得,根据共线的性质,可判断；再根据判断,由等价法即可判断两命题的关系.
【详解】
若成立,则,则向量与的方向相同,且,从而,所以；
若,则向量与的方向相同,且,从而,所以.
所以“”为“”的充分必要条件.
故选:B
【点睛】
本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用.
11、B
【解析】
解：当直线过点时，最大，故选B
12、B
【解析】
由可得；由过点所作的圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解.
【详解】
,所以离心率,
又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有,
而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即,
所以,所以双曲线的离心率的取值范围是.
故选:B
【点睛】
本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出的值．
【详解】
解：若，则，
即，所以．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
14、－3
【解析】
依题意可得二项式展开式的常数项为即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：∵二项式的展开式中的常数项为，
∴解得.
故答案为：
【点睛】
本题考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.
15、30
【解析】
根据频率直方图中数据先计算样本容量，再计算成绩在80～100分的频率，继而得解.
【详解】
根据直方图知第二组的频率是，则样本容量是，
又成绩在80～100分的频率是，
则成绩在区间的学生人数是．
故答案为：30
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生综合分析，数据处理，数形运算的能力，属于基础题.
16、
【解析】
根据弦的垂直平分线经过圆心,结合圆心所在直线方程,即可求得圆心坐标.由两点间距离公式,即可得半径.
【详解】
因为圆经过点
则直线的斜率为
所以与直线垂直的方程斜率为
点的中点坐标为
所以由点斜式可得直线垂直平分线的方程为,化简可得
而弦的垂直平分线经过圆心,且圆心在直线上,设圆心
所以圆心满足解得
所以圆心坐标为
则圆的半径为
故答案为:
【点睛】
本题考查了直线垂直时的斜率关系,直线与直线交点的求法,直线与圆的位置关系,圆的半径的求法,属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）根据题目所给递推关系式得到，由此证得数列为等比数列，并求得其通项公式.然后利用累加法求得数列的通项公式.
（2）利用错位相减求和法求得数列的前项和
【详解】
（1）已知，
则，
且，则为以3为首相，3为公比的等比数列，
所以，.
（2）由（1）得：，
，①
，②
①－②可得，
则
即.
【点睛】
本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查累加法求数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.
18、特征值为1，特征向量为．
【解析】
设出矩阵M结合矩阵运算和矩阵相等的条件可求矩阵M，然后利用可求特征值的另一个特征向量.
【详解】
设矩阵M＝，则AM＝，
所以，解得，所以M＝，
则矩阵M的特征方程为，解得，即特征值为1，
设特征值的特征向量为，则，
即，解得x＝0，所以属于特征值的的一个特征向量为．
【点睛】
本题主要考查矩阵的运算及特征量的求解，矩阵运算的关键是明确其运算规则，侧重考查数学运算的核心素养.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）由,可求出的值,进而可求得的解析式;
（2）分别求得和的值域,再结合两个函数的值域间的关系可求出的取值范围.
【详解】
（1）因为,所以,
解得,
故.
（2）因为,所以,所以，则,
图象的对称轴是.
因为,所以,
则,解得,故的取值范围是.
【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变换,考查了二次函数及三角函数值域的求法,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.
20、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）联立直线的方程和抛物线的方程，化简写出根与系数关系，由于直线平分，所以，代入点的坐标化简得，结合跟鱼系数关系，可求得；（2）设，，，由三点共线得，再次代入点的坐标并化简得，同理由三点共线，可得，化简得，故.
试题解析：
（1）由，整理得，
设，，则，
因为直线平分，∴，
所以，即，
所以，得，满足，所以.
（2）由（1）知抛物线方程为，且，，，
设，，，由三点共线得，
所以，即，
整理得：，①
由三点共线，可得，②
②式两边同乘得：，
即：，③
由①得：，代入③得：，
即：，所以.
所以.
考点：直线与圆锥曲线的位置关系.
【方法点晴】本题考查直线与抛物线的位置关系.阅读题目后明显发现，所有的点都是由直线和抛物线相交或者直线与直线相交所得.故第一步先联立，相当于得到的坐标，但是设而不求.根据直线平分，有，这样我们根据斜率的计算公式，代入点的坐标，就可以计算出的值.第二问主要利用三点共线来求解.
21、（1）；（2）；（2）见解析．
【解析】
（1）由圆的方程求出点坐标，得双曲线的，再计算出后可得渐近线方程；
（2）设，由圆方程与双曲线方程联立，消去后整理，可得，
，由先求出，回代后求得坐标，计算；
（3）由已知得，设，由圆方程与双曲线方程联立，消去后整理，可解得，，求出，从而可得，由，可知满足要求的点不存在．
【详解】
（1）由题意圆方程为，令得，∴，即，∴，，∴渐近线方程为．
（2）由（1）圆方程为，，
设，由得，(*)，
，，
，
所以，即，解得，
方程(*)为，即，，代入双曲线方程得，∵在第一、四象限，∴，，
∴．
（3）由题意，，，，，
设
由得：，，
由得，解得，，
，
所以，
，
，当且仅当三点共线时，等号成立，
∴轴上不存在点，使得．
【点睛】
本题考查求渐近线方程，考查圆与双曲线相交问题．考查向量的加法运算，本题对学生的运算求解能力要求较高，解题时都是直接求出交点坐标．难度较大，属于困难题．
22、 (Ⅰ)见解析；(Ⅱ)当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值是
【解析】
（1）求出导函数，并且解出它的零点x=，再分区间讨论导数的正负，即可得到函数f（x）的单调区间；
（2）分三种情况加以讨论，结合函数的单调性与函数值的大小比较，即可得到当0＜a＜ln 2时，函数f（x）的最小值是-a；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是ln2-2a．
【详解】
函数的定义域 为．
因为，令，可得；
当时，；当时，，
综上所述：可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为
当，即时，函数在区间上是减函数，
的最小值是
当，即时，函数在区间上是增函数，
的最小值是
当，即时，函数在上是增函数，在上是减函数．
又，
当时，的最小值是；
当时，的最小值为
综上所述，结论为当时，函数的最小值是；
当时，函数的最小值是.
【点睛】
求函数极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小