北京市平谷中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份北京市平谷中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题，文件包含河南郑州外国语学校2026届高三下学期适应性训练一化学答案pdf、河南郑州外国语学校2026届高三下学期适应性训练一化学试卷pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
1.已知，那么函数在x＝π处的瞬时变化率为（ ）
A. B. 0C. D.
2.若，则（ ）
A. 90B. 270C. 496D. 1024
3.一袋子内装有除颜色不同外其余完全相同的4个白球和2个黑球，从中不放回地任取两次，每次取一球，在第一次取到的是白球的条件下，第二次也取到白球的概率是（）
A. B. C. D.
4.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.曲线在点处的切线斜率为（ ）
A. 1B. C. 2D.
6.展开式中含的系数（ ）
A. 120B. 27C. 126D.
7.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
、、分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
A. B. C. D.
8.的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（ ）
A. 84 B.
C. 15 D.
9.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数f（x）=ax-lnx，若对于任意x1＞x2＞0都有f（x1）＜f（x2），则实数a的范围是（ ）
A. [0，+∞）B. （-∞，0]C. （-∞，0）D. （-∞，1]
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知随机变量X的分布列为
则 ， .
12.展开式中只有第5项的二项式系数最大，则各项系数之和为 .
13.六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻.不同排法种数为 （用数字作答）
14.若，则的值为 ．
15.已知函数的定义域为，其部分自变量与函数值的对应情况如表：
的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：
①在区间上单调递增；
②有2个极大值点；
③的值域为；
④如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
跳长绳是中国历史悠久的运动，某中学高三年级举行跳长绳比赛（该校高三年级共4个班），规定每班22人参加，其中2人摇绳，20人跳绳，在2分钟内跳绳个数超过120个的班级可获得优胜奖，跳绳个数最多的班级将获得冠军．为预测获得优胜奖的班级个数及冠军得主，收集了高三年级各班训练时在2分钟内的跳绳个数，并整理得到如下数据（单位：个）：
高三（1）班：142，131，129，126，121，109，103，98，96，94；
高三（2）班：137，126，116，108；
高三（3）班：163，134，112，103；
高三（4）班：158，132，130，127，110，106．
假设用频率估计概率，且高三年级各班在2分钟内的跳绳个数相互独立．
（Ⅰ）估计高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率；
（Ⅱ）用X表示此次跳长绳比赛中获得优胜奖的班级个数，估计X的数学期望EX；
（Ⅲ）在此次跳长绳比赛中，哪个班获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
17.(本小题12分)
近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）：
（Ⅰ）从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月MPV零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率；
（Ⅱ）从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望EX；
（Ⅲ）记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的MPV月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，，M，N分别是BC，PD的中点.
（1）求证：平面PAB；
（2）再从条件①，条件②两个中选择一个作为已知，求平面AMN与平面ABCD夹角的余弦值.
条件①：；
条件②：
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
19.(本小题12分)
已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)判断极值点的个数，并说明理由．
20.(本小题14分)
已知函数．
(1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；
(2)求函数的单调区间．
21.(本小题15分)
已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．若以为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积是定值．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】1.32 ； 7.64
12.【答案】1
13.【答案】240
14.【答案】80
15.【答案】③④
16.【答案】解：（Ⅰ）记事件A1为“高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”，
由题中数据可知，高三（1）班共训练10次，跳绳个数超过120个的共5次，
用频率估计概率，则P（A1）==，
故估计高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率为．
（Ⅱ）记事件Ak为“高三（k）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”，其中k=1，2，3，4，
用频率估计概率，可得P（A2）==，P（A3）==，P（A4）==，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
P（X=0）=（1-）×（1-）×（1-）×（1-）=，
P（X=1）=×（1-）（1-）×（1-）+（1-）××（1-）×（1-）+（1-）×（1-）××（1-）+（1-）×（1-）（1-）×=，
P（X=3）=（1-）×××+×（1-）××+××（1-）×+×××（1-）=，
P（X=4）=×××=，
P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）-P（X=4）=，
所以估计X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×=．
（Ⅲ）高三年级四个班跳绳个数的平均数分别为
=（142+131+129+126+121+109+103+98+96+94）=114.9，
=（137+126+116+108）=121.75，
=（163+134+112+103）=128，
=（158+132+130+127+110+106）=127.17，
所以最大，即在2分钟内，高三（3）班的跳绳个数最多，
故在此次跳长绳比赛中，高三（3）班获得冠军的概率估计值最大．
17.【答案】解：（Ⅰ）由表格得这6个月MPV车型月度零销售量平均值为
=×（0.8+0.2+0.2+0.3+0.4+0.4）≈0.38，
则MPV零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的月份有12月，4月，5月，
∴该月MPV零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率为P==；
（Ⅱ）从2022年1月至2022年5月中，0.2=0.2＜0.3＜0.4=0.4，SUV的月度零销售量相比上个月份增加的月份有2个：3月和4月，
∴随机变量X的可能取值为0，1，2，
则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，
故随机变量X的分布列为
∴X的数学期望E（X）=0×+1×+2×=；
（Ⅲ）由题意得2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量分别为28.4，21.3，15.4，26.0，16.7，21.0，
则这6个月轿车月度零销售量平均值为×（28.4+21.3+15.4+26.0+16.7+21.0）≈21.467，
∴=×[（28.4-21.467）2+（21.3-21.467）2+（15.4-21.467）2+（26.0-21.467）2+（16.7-21.467）2+（21.0-21.467）2]≈21.399，
又同期各月轿车与对应的MPV月度零售销量分别相加得到6个数据为29.2，21.5，15.6，26.3，17.1，21.4，
∴这6个数据的平均值为×（29.2+21.5+15.6+26.3+17.1+21.4）=21.85，
∴=×[（29.2-21.85）2+（21.5-21.85）2+（15.6-21.85）2+（26.3-21.85）2+（17.3-21.85）2+（21.4-21.85）2]≈22.629，
∵21.399＜22.629，
∴＜．
18.【答案】解：（1）取 中点 ，连接 ， ,
因为 为 中点，所以有 且 ,
因为 ， ，所以 且 ,
所以四边形 为平行四边形,
所以 ,
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）选择条件①：
因为平面 平面 ， 为矩形, ,
平面 平面 平面 ,
所以 平面 , 平面 ,
所以 ,
又因为 ，由（1）可知 ， 平面 ，
所以 ，又因为 ， 平面 ，
所以 平面 , 平面 ,所以 ,
平面 ,故 平面 ,
以A为原点，以 ， ， 分别为 轴、 轴、 轴建立坐标系，
则 ， ， ， ,
则 ， ，设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ，
因为 平面 ，故 可作为平面 的法向量，
则平面 与平面 夹角的余弦值 .
选择条件②： .
因为平面 平面 ， 为矩形,
平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,而PA在平面PAD中，所以 ,
又因为 ，
取 中点为 ，连接 ， ，
则有 ， ,
所以 ,
所以 ,则 ,所以 ,
平面 ,故 平面 ,
以A为原点，以 ， ， 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ,
则 ， ，设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ，
因为 平面 ，故 可作为平面 的法向量，
则平面 与平面 夹角的余弦值 .

19.【答案】解：（1）由题意知，定义域为，
所以，
所以直线的斜率，，
所以切线方程为，即.
（2）由（1）知，
所以，
令，即，解得或，
当，，
当，，
当，，
所以在，单调递增，在单调递减.
（3）个极值点，理由如下：
由（2）知当时，在区间上单调递增，
，，
所以存在唯一，使；
当时，在区间上单调递减，
，，
所以存在唯一，使；
当时，，，所以
所以在区间无零点；
综上，当，，
当，，
当，，
所以当时，取到极小值；当时，取到极大值；
故有个极值点.

20.【答案】解：（1）由题可得，
因为在点处的切线平行于轴，所以，
即，解得，经检验符合题意．
（2）因为，
令，得或．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，因为，当且仅当时，，
所以在区间上单调递增．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．

21.【答案】解：（1）因为椭圆C过点(1,)代入椭圆方程，可得，①
又因为离心率为，
所以，从而a2=2b2，②
联立①②，解得a2=2，b2=1，
所以椭圆方程为；
（2）证明：把y=kx+t代入椭圆方程，
​​​​​​​得（2k2+1）x2+4ktx+2t2-2=0，
所以=（4kt）2-4（2k2+1）（2t2-2）＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=，x1x2=，
所以y1+y2=k（x1+x2）+2t=，
因为四边形OAPB是平行四边形，
所以=（x1+x2，y1+y2）=（），
所以P点坐标为（），
又因为点P在椭圆上，
所以，
整理得，，所以，
因为|AB|=|x1-x2|，
又点O到直线l的距离d=，
所以平行四边形OAPB的面积为：
S□OAPB=2S△OAB=|AB|·d=-|=-||t|=|t|=|t|=|t|
=2|t|=，
即平行四边形OAPB的面积为定值. 甲的成绩
乙的成绩
丙的成绩
环数
7
8
9
10
环数
7
8
9
10
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
频数
6
4
4
6
频数
4
6
6
4
X
1
3
P
0.16
0.44
0.40
x
0
2
4
5
3
1
2.5
1
3
12月
1月
2月
3月
4月
5月
轿车
28.4
21.3
15.4
26.0
16.7
21.0
MPV
0.8
0.2
0.2
0.3
0.4
0.4
SUV
18.1
13.7
11.7
18.1
11.3
14.5
X
0
1
2
P
单调递增
单调递减
单调递增
单调递增
单调递减
单调递增