北京市平谷中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份北京市平谷中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题，共3页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在复平面内,下列复数中对应的点在第四象限的是( )
A. B. C. D.
2.是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D. 1
4.已知m,n为异面直线,m平面,n平面,=l,则l( )
A. 与m,n都相交B. 与m,n中至少一条相交
C. 与m,n都不相交D. 至多与m,n中的一条相交
5.在△中,,,,则( )
A. B. C. D.
6.已知向量=（2，4），=（-1，m），则“m=3”是“（-）⊥”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若E为AD的中点，则=（ ）
A. B. C. D.
8.在中，角A，B，C的对边分别为，若，则的形状为（）
A. 正三角形B. 等腰三角形或直角三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
9.设为非零向量，则与的夹角的最大值为（ ）
A. B. C. D.
10.在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yng Jun KL Speedcubing比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了之后,表面积增加了（ ）
A. 54B. ​​​​​​​
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知复数( i为虚数单位)，则 ．
12.某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径1的半球.已知该胶囊的体积为，则它的表面积为 .
13.已知为等腰三角形，且，则 .
14.如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点.若四面体各棱长均为，则该四面体的表面积为 ，体积为 .
15.如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，且，．如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有个不同的点使得成立．那么的取值范围是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知，，与的夹角为.
(1)求与；
(2)当为何值时，？
17.(本小题12分)
在中，角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若，，求的面积.
18.(本小题12分)
如图，正方体的棱长为4，为中点，
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：平面.
19.(本小题12分)
在中，，．
(1)求；
(2)再在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上的中线的长．
条件①；
条件②的周长为；
条件③的面积为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.(本小题14分)
如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260，经测量，．
（1）求索道的长；
（2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的 时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？
21.(本小题15分)
对任意正整数，定义集合.设，定义：，.
(1)__________（填“”或“”）；__________（填“”或“”）；
(2)设，，，，求；
(3)证明：对任意，存在，满足：，且.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】 /
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】 ； ； ； ； ； ；
15.【答案】
16.【答案】解：（1）已知，，夹角，
所以，
因为，
所以.
（2）当时，，
即，
因为，，，
所以
解得：.

17.【答案】解：（1）由余弦定理：
已知，即，代入，
得：
又，故.
（2）已知，且，则：，
由，得：，
由正弦定理，，
所以

18.【答案】解：（1）正方体中，平面平面，
所以棱长即为点到平面的距离.
所以.
（2）证明：正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，所以.
又平面，平面，所以平面.

19.【答案】（1），由正弦定理可得，即，，
当时，，即，不符合题意，舍去，，，即．
（2）选①，由正弦定理可得，与已知条件矛盾，故不存在，
选②周长为，，，，
由正弦定理可得，即，
，，
，即，，，
所以存在且唯一确定，
设的中点为，，
在中，运用余弦定理，，
即，，
边上的中线的长度．
选③面积为，，，
，解得，余弦定理可得
，．

20.【答案】解：（1）在 中，因为 ， ，
所以 ， ，
从而 ．
由正弦定理 ，得 （ ）．
（2）假设乙出发 后，甲、乙两游客距离为 ，此时，甲行走了 ，乙距离 处 ，
所以由余弦定理得 ，
由于 ，即 ，
故当 时，甲、乙两游客距离最短．
（3）由正弦定理 ，
得 （ ）．
乙从 出发时，甲已走了 （ ），还需走710 才能到达 ．
设乙步行的速度为 ，由题意得 ，解得 ，
所以为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 ，乙步行的速度应控制在 （单位： ）范围内．

21.【答案】【详解】（1）显然，故，
，
，
由于是的真子集，故，
（2）设，则
∴必为偶数，因此.
当时，，与矛盾；
当时，，与矛盾；
所以.
又因为，所以同理得.
所以.
（3）设，，
则，
任取，令，
则，，
所以，
同理，
而中有个元素，，
所以必存在中的两个不同的元素，使得，
令，则，且且.