2025-2026学年北京市西城区育才学校高一（下）期中数学试卷

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1.sin390°=（ ）
A. B. C. D.
2.已知平面向量，满足，且||=2，||=1，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（-3，4），则sin2α的值为（ ）
A. B. C. D.
4.设A，B，C为△ABC的内角，则“A＜B”是“csA＞csB”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知向量=（csα，-2），=（sinα，1），且∥，则tan（α-）等于（ ）
A. 3B. -3C. D.
6.已知平面向量，满足，，，则向量在向量上投影的数量为（ ）
A. -1B. 1C. D.
7.设a=（sin17°+cs17°），b=2cs213°-1，c=，则（ ）
A. c＜a＜bB. b＜c＜aC. a＜b＜cD. b＜a＜c
8.在△ABC中，acsA=bcsB，则△ABC的形状是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形
C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
9.函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在[-，]的图象如图所示，为了得到这个函数的图象，只要将f（x）=sinωx的图象（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
10.函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间内的图象是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知在△ABC中，∠A=45°，a=6，，则∠B的大小为 .
12.《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为24米，则该扇形田的面积为______平方米．
13.已知正方形ABCD的边长为1，点P满足（λ＞0），当λ=时，= ；当λ= 时，取得最大值.
14.已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω=______．
15.健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140mmHg和60～90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒采压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值，记某人的血压满足函数式P（t）=a+bsinωt,其中P（t）为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），其函数图象如图所示，判断下列说法：
①ω=80π
②收缩压为120mmHg
③舒张压为70mmHg
④每分钟心跳80次
以上说法中正确的是 .
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知向量=，=（0，-1），=.
（Ⅰ）若⊥，求k的值；
（Ⅱ）当k=1时，-λ与共线，求λ的值；
（Ⅲ）若||=||，且与的夹角为150°，求|+2|.
17.(本小题13分)
已知角α的终边与单位圆交点的横坐标为，且.
（Ⅰ）求sinα；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）若，，求β的值.
18.(本小题15分)
已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（）的最小正周期为π，且．
（1）求ω和φ的值；
（2）函数f（x）的图象纵坐标不变的情况下向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，
①求函数g（x）的单调增区间；
②求函数g（x）在的最大值．
19.(本小题15分)
如图，在中，，，点在边上，，，为垂足．
（1）若的面积为，求的长；
（2）若，求角的大小．
20.(本小题15分)
已知函数f（x）=asinωxcsωx（a＞0，ω＞0）.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数f（x）存在且唯一确定.
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-2cs2ωx+1，若函数g（x）在区间（0，m）上恰有两个零点，求m的取值范围.
条件①：；
条件②：f（x）图像的一条对称轴是y轴；
条件③：f（x）的最大值为1；
条件④：f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
注：如果选择的一组条件不符合要求，第（Ⅱ）得0分，如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分.
21.(本小题15分)
定义向量的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcsx,函数f（x）=asinx+bcsx的“相伴向量”为，其中O为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.
（Ⅰ）设函数，求证：f（x）∈S；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到h（x）的图象.已知A（-3，3），B（3，11），问在y=h（x）的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
（Ⅲ）已知点M（a,b）满足，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值.当M运动时，求tan2x0的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】30°．
12.【答案】120
13.【答案】

14.【答案】
15.【答案】②③④．
16.【答案】解：（Ⅰ）∵，∴，∴，解得k=-1；
（Ⅱ）∵k=1，∴，又，∴=．
∵与共线，∴，解得λ=2；
（Ⅲ）∵，∴．
又与的夹角为150°，=2．
∴==-3，
===．
17.【答案】
18.【答案】解：（1）函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（）的最小正周期为π，
所以π=，
即ω=2．
又因为，
则，
所以．
（2）由（1）可知，
则g（x）=2sin2x+1，
①由，
得，函数g（x）增区间为．
②因为，
所以0≤2x≤π．
当，
即时，函数f（x）取得最大值，
最大值为．
19.【答案】解:（1）∵△BCD的面积为，，，
∴，
∴，
在中，由余弦定理可得；
（2）∵，，
在中，由正弦定理可得，
∵，
∴，
∴，，
​∴．
20.【答案】（I）f（x）=sin2x （II）和
21.【答案】证明：，
故是向量的“相伴函数”，
故f（x）∈S 存在，且P点坐标为（0，2）