2026届邯郸市重点中学高考冲刺数学模拟试题含解析

这是一份2026届邯郸市重点中学高考冲刺数学模拟试题含解析，共28页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，在等差数列中，若，则，已知.给出下列判断等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设为非零向量，则“”是“与共线”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．中，角的对边分别为，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．在等差数列中，若，则（ ）
A．8B．12C．14D．10
5．已知.给出下列判断：
①若，且，则；
②存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；
③若在上恰有7个零点，则的取值范围为；
④若在上单调递增，则的取值范围为.
其中，判断正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，B＝{3，4}，则＝（ ）
A．{3，5，6}B．{1，5，6}C．{2，3，4}D．{1，2，3，5，6}
7．已知的部分图象如图所示，则的表达式是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，是圆的一条直径，为半圆弧的两个三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
9．如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点F，M分别在线段AC，BD1（不包含端点）上运动，则（ ）
A．在点F的运动过程中，存在EF//BC1
B．在点M的运动过程中，不存在B1M⊥AE
C．四面体EMAC的体积为定值
D．四面体FA1C1B的体积不为定值
10．某个命题与自然数有关，且已证得“假设时该命题成立，则时该命题也成立”．现已知当时，该命题不成立，那么（ ）
A．当时，该命题不成立B．当时，该命题成立
C．当时，该命题不成立D．当时，该命题成立
11．函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
12．直三棱柱中，，，则直线与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____________.
14．已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，，…，，则______．
15．已知是抛物线上一点，是圆关于直线对称的曲线上任意一点，则的最小值为________．
16．已知，则__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数，直线与函数图象相邻两交点的距离为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在中，角所对的边分别是，若点是函数图象的一个对称中心，且，求面积的最大值.
18．（12分）为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分别从、、三块试验田中各随机抽取株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：
假设所有植株的生长情况相互独立．从、、三组各随机选株，组选出的植株记为甲，组选出的植株记为乙，组选出的植株记为丙．
（1）求丙的高度小于厘米的概率；
（2）求甲的高度大于乙的高度的概率；
（3）表格中所有数据的平均数记为．从、、三块试验田中分别再随机抽取株该种植物，它们的高度依次是、、（单位：厘米）．这个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为，试比较和的大小．（结论不要求证明）
19．（12分）已知，（其中）
.
(1)求；
(2)求证：当时，．
20．（12分）如图，在直三棱柱中，，点分别为和的中点.
（Ⅰ）棱上是否存在点使得平面平面？若存在，写出的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
21．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性并指出相应单调区间；
（2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围．
22．（10分）已知非零实数满足．
（1）求证：；
（2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出实数的取值范围； 若不存在，请说明理由
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.
【详解】
若，则与共线，且方向相同，充分性；
当与共线，方向相反时，，故不必要.
故选：.
【点睛】
本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
2、A
【解析】
先求出，由正弦定理求得，然后由面积公式计算．
【详解】
由题意，
．
由得，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查求三角形面积，考查正弦定理，同角间的三角函数关系，两角和的正弦公式与诱导公式，解题时要根据已知求值要求确定解题思路，确定选用公式顺序，以便正确快速求解．
3、D
【解析】
首先由题意得，当梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，的中点即为梯形的外接圆圆心，也即四棱锥的外接球球心，则可得到，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积.
【详解】
如图，四边形为等腰梯形，则其必有外接圆，设为梯形的外接圆圆心，
当也为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过作的垂线交于点，交于点，连接，点必在上，
、分别为、的中点，则必有，
，即为直角三角形.
对于等腰梯形，如图：
因为是等边三角形，、、分别为、、的中点，
必有，
所以点为等腰梯形的外接圆圆心，即点与点重合，如图
，，
所以四棱锥底面的高为，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.
4、C
【解析】
将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.
【详解】
设等差数列的首项为，公差为，
则由，，得解得，，
所以．故选C．
【点睛】
本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式.
5、B
【解析】
对函数化简可得，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案.
【详解】
因为，所以周期.
对于①，因为，所以，即，故①错误；
对于②，函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，解得，故对任意整数，，所以②错误；
对于③，令，可得，则，
因为，所以在上第1个零点，且，所以第7个零点，若存在第8个零点，则，
所以，即，解得，故③正确；
对于④，因为，且，所以，解得，又，所以，故④正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.
6、B
【解析】
按补集、交集定义，即可求解.
【详解】
＝{1，3，5，6}，＝{1，2，5，6}，
所以＝{1，5，6}.
故选：B.
【点睛】
本题考查集合间的运算，属于基础题.
7、D
【解析】
由图象求出以及函数的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式.
【详解】
由图象可得，函数的最小正周期为，.
将点代入函数的解析式得，得，
，，则，，
因此，.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
8、B
【解析】
连接、，即可得到，，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得；
【详解】
解：连接、，
，是半圆弧的两个三等分点， ，且，
所以四边形为棱形，
．
故选：B
【点睛】
本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.
9、C
【解析】
采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果.
【详解】
A错误
由平面，//
而与平面相交，
故可知与平面相交，所以不存在EF//BC1
B错误，如图，作
由
又平面，所以平面
又平面，所以
由//，所以
，平面
所以平面，又平面
所以，所以存在
C正确
四面体EMAC的体积为
其中为点到平面的距离，
由//，平面，平面
所以//平面，
则点到平面的距离即点到平面的距离，
所以为定值，故四面体EMAC的体积为定值
错误
由//，平面，平面
所以//平面，
则点到平面的距离即为点到平面的距离，
所以为定值
所以四面体FA1C1B的体积为定值
故选：C
【点睛】
本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.
10、C
【解析】
写出命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.
【详解】
由逆否命题可知，命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立，则当时该命题也不成立”，
由于当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立，故选：C.
【点睛】
本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.
11、A
【解析】
先判断函数的奇偶性，以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.
【详解】
函数的定义域为，，该函数为偶函数，排除B、D选项；
当时，，排除C选项.
故选：A.
【点睛】
本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12、A
【解析】
设，延长至，使得，连，可证，得到（或补角）为所求的角，分别求出，解即可.
【详解】
设，延长至，使得，
连，在直三棱柱中，，
，四边形为平行四边形，
，（或补角）为直线与所成的角，
在中，，
在中，，
在中，
，
在中，，
在中，.
故选：A.
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据渐近线得到，，计算得到离心率.
【详解】
，一条渐近线方程为：，故，，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力.
14、18
【解析】
由题意得函数f（x）与g（x）的图像都关于点对称，结合函数的对称性进行求解即可．
【详解】
函数为奇函数，函数关于点对称，，函数关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，与图像的交点为，，…，,两两关于点对称， .
故答案为：18
【点睛】
本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题.
15、
【解析】
由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值，减去半径即可得到的最小值.
【详解】
假设圆心关于直线对称的点为，
则有，解方程组可得，
所以曲线的方程为，圆心为，
设，则，
又，所以，
，即，所以，
故答案为：.
【点睛】
该题考查的是有关动点距离的最小值问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点，点与圆上点的距离的最小值为到圆心的距离减半径，属于中档题目.
16、
【解析】
解：由题意可知： .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）3；（Ⅱ）.
【解析】
(Ⅰ)函数，利用和差公式和倍角公式，化简即可求得；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数，根据点是函数图象的一个对称中心，代入可得，利用余弦定理、基本不等式的性质即可得出.
【详解】
(Ⅰ)

的最大值为最小正周期为

(Ⅱ)由题意及（Ⅰ）知，
,
故
故的面积的最大值为.
【点睛】
本题考查三角函数的和差公式、倍角公式、三角函数的图象与性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档基础题.
18、（1）；（2）；（3）．
【解析】
设事件为“甲是组的第株植物”，事件为“乙是组的第株植物”，事件为“丙是组的第株植物”，、、、，可得出.
（1）设事件为“丙的高度小于厘米”，可得，且、互斥，利用互斥事件的概率公式可求得结果；
（2）设事件为“甲的高度大于乙的高度”，列举出符合题意的基本事件，利用互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；
（3）根据题意直接判断和的大小即可.
【详解】
设事件为“甲是组的第株植物”，事件为“乙是组的第株植物”，事件为“丙是组的第株植物”，、、、．
由题意可知，、、、．
（1）设事件为“丙的高度小于厘米”，由题意知，
又与互斥，所以事件的概率；
（2）设事件为“甲的高度大于乙的高度”．
由题意知．
所以事件的概率
；
（3）.
【点睛】
本题考查概率的求法，考查互斥事件加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．
19、（1）（2）见解析
【解析】
(1)取，则；取，则，
∴；
(2)要证，只需证，
当时，；
假设当时，结论成立，即，
两边同乘以3 得：
而
∴，即时结论也成立，
∴当时，成立.
综上原不等式获证.
20、（Ⅰ）存在点满足题意，且，证明详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）可考虑采用补形法，取的中点为，连接，可结合等腰三角形性质和线面垂直性质，先证平面，即，若能证明，则可得证，可通过我们反推出点对应位置应在处，进而得证；
（Ⅱ）采用建系法，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面对应法向量，再结合向量夹角公式即可求解；
【详解】
（Ⅰ）存在点满足题意，且.
证明如下：
取的中点为，连接.
则，所以平面.
因为是的中点，所以.
在直三棱柱中，平面平面，且交线为，
所以平面，所以.
在平面内，，，
所以，从而可得.
又因为，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（Ⅱ）如图所示，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系.
易知，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，则有
取，得.
同理可求得平面的法向量为.
则.
由图可知二面角为锐角，所以其余弦值为.
【点睛】
本题考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，属于中档题
21、（1）答案见解析（2）
【解析】
（1）先对函数进行求导得，对分成和两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；
（2）对函数求导得，从而有，，，三个方程中利用得到.将不等式的左边转化成关于的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到的取值范围.
【详解】
解：（1）由，，
则，
当时，则，故在上单调递减；
当时，令，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）∵，
,
由得，
∴，，∴
∵∴解得.
∴.
设，
则,
∴在上单调递减；
当时，.
∴，即所求的取值范围为.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.
22、（1）见解析（2）存在，
【解析】
（1）利用作差法即可证出.
（2）将不等式通分化简可得，讨论或，分离参数，利用基本不等式即可求解.
【详解】
又
即
即
①当时，即恒成立
（当且仅当时取等号），故
②当时恒成立
（当且仅当时取等号），故
综上，
【点睛】
本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想，属于基础题.
组
组
组