2026届贵州省遵义市求是高级中学高考数学三模试卷含解析

这是一份2026届贵州省遵义市求是高级中学高考数学三模试卷含解析，共10页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，函数的图像大致为.，函数的图象的大致形状是，设、，数列满足，，，则，圆心为且和轴相切的圆的方程是等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ）．
A．B．C．D．
4． 的内角的对边分别为，已知，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图像大致为（ ）.
A．B．
C．D．
6．函数的图象的大致形状是（ ）
A．B．C．D．
7．已知平面向量满足，且，则所夹的锐角为（ ）
A．B．C．D．0
8．设、，数列满足，，，则（ ）
A．对于任意，都存在实数，使得恒成立
B．对于任意，都存在实数，使得恒成立
C．对于任意，都存在实数，使得恒成立
D．对于任意，都存在实数，使得恒成立
9．已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
10．圆心为且和轴相切的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
11．棱长为2的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）
A．B．C．D．1
12．已知等差数列的公差为-2，前项和为，若，，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，则的最大值为（ ）
A．5B．11C．20D．25
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知在等差数列中，，，前n项和为，则________.
14．已知数列的前项和为，且满足，则______
15．已知向量，，则______.
16．已知内角，，的对边分别为，，．，，则_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥的底面中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，，平面平面，为中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值大小.
18．（12分）在平面直角坐标系xy中，曲线C的方程为.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出直线l与曲线C的交点M，N的极坐标；
（2）设P是椭圆上的动点，求面积的最大值.
19．（12分）某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：
（1）求 a，d 的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望.
附：
20．（12分）如图，是矩形，的顶点在边上，点，分别是，上的动点（的长度满足需求）.设，，，且满足.
（1）求；
（2）若，，求的最大值.
21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcsA﹣asinB＝1．
（1）求A；
（2）已知a＝2，B＝，求△ABC的面积．
22．（10分）已知函数
（1）已知直线：，：.若直线与关于对称，又函数在处的切线与垂直，求实数的值；
（2）若函数，则当，时，求证：
①；
②.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由题意可得，且，故有①，再根据，求得②，由①②可得的最大值，检验的这个值满足条件．
【详解】
解：函数，，
为的零点，为图象的对称轴，
，且，、，，即为奇数①．
在，单调，，②．
由①②可得的最大值为1．
当时，由为图象的对称轴，可得，，
故有，，满足为的零点，
同时也满足满足在上单调，
故为的最大值，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题．
2、A
【解析】
根据图像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊点求出，化简即得所求.
【详解】
由图像知，，，解得，
因为函数过点，所以，
，即，
解得，因为，所以，
.
故选：A
【点睛】
本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.
3、B
【解析】
根据角终边上的点坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值.
【详解】
因为终边上有一点，所以，
故选：B
【点睛】
此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.
4、A
【解析】
先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解B.
【详解】
由正弦定理可得，即，即有，因为，则，而，所以.
故选：A
【点睛】
此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题.
5、A
【解析】
本题采用排除法:
由排除选项D；
根据特殊值排除选项C;
由,且无限接近于0时, 排除选项B；
【详解】
对于选项D:由题意可得, 令函数 ,
则,;
即.故选项D排除;
对于选项C：因为,故选项C排除;
对于选项B:当,且无限接近于0时,接近于,，此时.故选项B排除;
故选项:A
【点睛】
本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
6、B
【解析】
根据函数奇偶性，可排除D；求得及，由导函数符号可判断在上单调递增，即可排除AC选项.
【详解】
函数
易知为奇函数，故排除D.
又，易知当时，；
又当时，，
故在上单调递增，所以，
综上，时，，即单调递增.
又为奇函数，所以在上单调递增，故排除A，C.
故选：B
【点睛】
本题考查了根据函数解析式判断函数图象，导函数性质与函数图象关系，属于中档题.
7、B
【解析】
根据题意可得，利用向量的数量积即可求解夹角.
【详解】
因为
即
而
所以夹角为
故选：B
【点睛】
本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.
8、D
【解析】
取，可排除AB；由蛛网图可得数列的单调情况，进而得到要使，只需，由此可得到答案.
【详解】
取，，数列恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；
由蛛网图可知，存在两个不动点，且，，
因为当时，数列单调递增，则；
当时，数列单调递减，则；
所以要使，只需要，故，化简得且.
故选：D．
【点睛】
本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．
9、B
【解析】
先利用对称得，根据可得，由几何性质可得，即，从而解得渐近线方程.
【详解】
如图所示：
由对称性可得：为的中点，且，
所以，
因为，所以，
故而由几何性质可得，即，
故渐近线方程为，
故选B.
【点睛】
本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出是解题的关键，属于中档题.
10、A
【解析】
求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.
【详解】
圆心为且和轴相切的圆的半径为，因此，所求圆的方程为.
故选：A.
【点睛】
本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.
11、C
【解析】
连结并延长PO，交对棱C1D1于R，则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，推导出OH∥RQ，且OH＝RQ＝，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长．
【详解】
如图，
MN为该直线被球面截在球内的线段
连结并延长PO，交对棱C1D1于R，
则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，
∴OH∥RQ，且OH＝RQ＝，
∴MH＝＝＝，
∴MN＝．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12、D
【解析】
由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n项和，从而得到最值.
【详解】
等差数列的公差为-2，可知数列单调递减，则，，中最大，最小，
又，，为三角形的三边长，且最大内角为，
由余弦定理得，设首项为，
即得，
所以或，又即,舍去，，d=-2
前项和.
故的最大值为.
故选：D
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查求前n项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、39
【解析】
设等差数列公差为d,首项为,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得即可.
【详解】
设等差数列公差为d,首项为,根据题意可得,解得,所以.
故答案为：39
【点睛】
本题考查等差数列的基本量计算以及前n项和的公式,属于基础题.
14、
【解析】
对题目所给等式进行赋值，由此求得的表达式，判断出数列是等比数列，由此求得的值.
【详解】
解：，可得时，，
时，，又，
两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得．
【点睛】
本小题主要考查已知求，考查等比数列前项和公式，属于中档题.
15、
【解析】
求出，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算．
【详解】
由题意得，.，.
，，
.
故答案为：．
【点睛】
本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础．本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算．
16、
【解析】
利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.
【详解】
由正弦定理得，
，．
故答案为：.
【点睛】
本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）设中点为，连接、，首先通过条件得出，加，可得，进而可得平面，再加上平面，可得平面平面，则平面；
（2）设中点为，连接、，可得平面，加上平面，则可如图建立直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：设中点为，连接、，
为等边三角形，
，
，，
，
，即，
，
，
平面，平面，
平面，
为的中位线，
，
平面，平面，
平面，
、为平面内二相交直线，
平面平面，
平面DMN，
平面；
（2）设中点为，连接、
为等边三角形，是等腰三角形，且顶角
，，
、、共线，
，，，，平面
平面.
平面
平面平面，交线为，平面
平面.
设，则
在中，由余弦定理，得：
又，
，
，，
，为中点，
，
建立直角坐标系（如图），则
，，，.
，，
设平面的法向量为，则，
，
取，则，
，
平面的法向量为，
，
二面角为锐角，
二面角的余弦值大小为.
【点睛】
本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.
18、（1），，；（2）.
【解析】
（1）利用公式即可求得曲线的极坐标方程；联立直线和曲线的极坐标方程，即可求得交点坐标；
（2）设出点坐标的参数形式，将问题转化为求三角函数最值的问题即可求得.
【详解】
（1）曲线的极坐标方程：
联立，得，又因为都满足两方程，
故两曲线的交点为，.
（2）易知，直线.
设点，则点到直线的距离
（其中）.
面积的最大值为.
【点睛】
本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用椭圆的参数方程求面积的最值问题，属综合中档题.
19、（1）, 有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；（2）详见解析.
【解析】
（1）根据表格及同意父母生“二孩”占60%可求出, ,根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）由题意可知X服从二项分布，利用公式计算概率及期望即可.
【详解】
（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%，
所以，
文（2）由列联表可得
而
所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关
（2）①由题知持“同意”态度的学生的频率为，
即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大，
故X服从二项分布，
即从而X的分布列为
X的数学期望为
【点睛】
本题主要考查了相关性检验、二项分布，属于中档题.
20、（1）（2）
【解析】
（1）利用正弦定理和余弦定理化简，根据勾股定理逆定理求得.
（2）设，由此求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.
【详解】
（1）设，，，由，
根据正弦定理和余弦定理得.
化简整理得.由勾股定理逆定理得.
（2）设，，由（1）的结论知.
在中，，由，所以.
在中，，由，所以.
所以，
由，
所以当，即时，取得最大值，且最大值为.
【点睛】
本小题考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，解三角形，三角函数性质及其三角恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转换思想，应用意识.
21、（1） ； （2）.
【解析】
（1）由正弦定理化简已知等式可得sinBcsA﹣sinAsinB＝1，结合sinB＞1，可求tanA＝，结合范围A∈（1，π），可得A的值；（2）由已知可求C＝，可求b的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】
（1）∵bcsA﹣asinB＝1．
∴由正弦定理可得：sinBcsA﹣sinAsinB＝1，
∵sinB＞1，
∴csA＝sinA，
∴tanA＝，
∵A∈（1，π），
∴A＝；
（2）∵a＝2，B＝，A＝，
∴C＝，根据正弦定理得到
∴b＝6，
∴S△ABC＝ab＝＝6．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
22、（1）（2）①证明见解析②证明见解析
【解析】
（1）首先根据直线关于直线对称的直线的求法，求得的方程及其斜率.根据函数在处的切线与垂直列方程，解方程求得的值.
（2）
①构造函数，利用的导函数证得当时，，由此证得.
②由①知成立，整理得成立.利用构造函数法证得，由此得到，即，化简后得到.
【详解】
（1）由解得
必过与的交点.
在上取点，易得点关于对称的点为，
即为直线，所以的方程为，即，其斜率为.
又因为，所以，，
由题意，解得.
（2）因为，所以.
①令，则，
则，
且，，
时，，单调递减；
时，，单调递增.
因为，所以，因为，
所以存在，使时，，单调递增；
时，，单调递减；时，，单调递增.
又，所以时，，即，
所以，即成立.
②由①知成立，即有成立.
令，即.所以时，，
单调递增；
时，，单调递减，所以，即，
因为，所以，所以时，，
即时，.
【点睛】
本小题考查函数图象的对称性，利用导数求切线的斜率，利用导数证明不等式等基础知识；考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想，数形结合思想和应用意识.
同意
不同意
合计
男生
a
5
女生
40
d
合计
100
0.15
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
X
0
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4