黑龙江省哈尔滨市2026届高三下学期第一次模拟考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市2026届高三下学期第一次模拟考试数学试卷（Word版附解析），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知平面向量，，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．4
2．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．若双曲线的渐近线方程为，且双曲线经过点，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．13B．15C．17D．19
5．某科技公司要组建一个3人的科研团队，现有2名工程师和4名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
6．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
7．“的展开式中的系数为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，函数在上的值域为，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数，则下列结论正确的有（ ）
A．在复平面对应的点位于第二象限B．的虚部是
C．D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线在处的切线方程为
B．函数的值域是
C．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为
D．若过点至少可以作曲线的两条切线，则
11．已知正方体的棱长为2，E为边CD的中点，P为空间内一动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．当P在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．当P在正方体表面上运动时，若，则P的轨迹长度为
C．当P在线段AE上运动时，直线与AD成角最小值为
D．当P在线段上运动时，四面体的外接球半径的取值范围为
三、填空题
12．在中，已知．则______．
13．已知函数为奇函数，则___________.
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，.为椭圆上一点，.圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，且，，则椭圆离心率的取值范围是________.
四、解答题
15．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如表所示.
经计算得.
(1)建立加工时间y关于零件数x的一元线性回归方程；
(2)关于加工零件的个数与加工时间，由（1）问你能得出什么结论？
参考公式：经验回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
16．在数列中，已知，.
(1)求证数列是等比数列；
(2)设，，记数列的前项和为，若对于恒成立，求的取值范围.
17．如图，三棱柱的所有棱长均为2，且．
(1)证明：；
(2)若三棱柱的体积为3，求平面与平面所成角的余弦值．
18．已知抛物线，焦点为，为抛物线上一动点.当的纵坐标为时，.
(1)求的方程；
(2)设为坐标原点，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线交于另一点，证明：、、三点共线；
(3)若点，在上，且线段的中点在直线上，点，求面积的最大值.
19．由于人类对某种小型濒危动物的长期保护，使得其种群数量偏离平衡值的波动量（单位：千只）与时间x（单位：月）满足函数，其函数图象呈现“往复波动，渐趋平衡”的特征．
定义：若函数在上满足：
1．振荡性：在内无限次正负交替；
2．衰减性：任意给定正实数m，存在实数n，使得当时，．则称为疲劳衰减函数．
(1)求在内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是否为0（不必证明）？
(2)根据定义判断函数在上是否为疲劳衰减函数．如果是，给出证明；如果不是，说明理由．
(3)设．求证：无最大值．
零件数x/个
60
70
80
90
100
加工时间y/
95
104
108
116
122
参考答案及解析
1．A
解析：因为平面向量，，且，所以 ，
整理得，解得.
2．D
解析：解一元二次不等式，得 或 ，即： .
因为全集 ，因此： .
3．B
解析：因为双曲线的渐近线为，所以设双曲线方程为，
又双曲线经过点，所以，解得，
所以双曲线方程为，化为标准方程为.
4．C
解析：设等差数列的公差为，则，解得，
故.
故选：C.
5．C
解析：解法一：总共有名候选人，任选人的总选法为组合数种；
不符合“至少有一名工程师”的情况是“全选专家”，从名专家中选人的选法为种.
因此至少有一名工程师的选法为 种。
解法二：直接分两类计算：
第一类：选出的人为名工程师和名专家的选法为种；
第二类：选出的人为名工程师和名专家的选法为种，
根据分类加法计数原理得共有种选法.
6．A
解析：因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
又，所以，所以，
所以.
7．B
解析：的展开式中的系数为，
若的系数为，则，故，
所以“的展开式中的系数为”推不出“”，
反之，若，则展开式中的系数为，
故“”能推出“的展开式中的系数为”，
故“的展开式中的系数为”是“”的必要不充分条件.
8．C
解析：因为函数图象经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，
所以，，，
所以，，解得，（）
所以故，
因为，令，则，解得；当时，；
所以，根据对称性可知，当时，，
因为函数在上的值域为，
所以，，即m的取值范围为.
9．AC
解析：解：，
则在复平面对应的点为，位于第二象限，所以A正确，
的虚部为1，所以B错误，
，所以C正确，
，所以D错误，
故选：AC
10．BCD
解析：求导，得，令，得，又，
故曲线在处的切线方程为，即，故A错误.
令，则；令，则，
当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，取得最大值，又时，；时，，
所以函数的图象大致如图：
故函数的值域是，故B正确；
当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，
设点，则，解得，此时，点到直线的距离为，故C正确；
设过点的切线切点为，则，整理得，
若过点至少可以作曲线的两条条切线，则函数与函数至少有两个交点，
对函数，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
又时，；当时，；时，；时，，
所以函数的图象大致如下：
则当时，函数与函数至少有两个交点，
此时过点至少可以作曲线的两条切线，故D正确.
11．ACD
解析：对于A，，由于，且由正方体性质可知，
所以由平面、在平面外得平面，
所以点P到平面的距离d不变，所以为定值，A正确.
对于B，线段在平面射影为，连，则，
由正方体结构性质可知，又，平面，
故平面，又平面，所以，
在平面内射影为，
取BC中点M，连AM，则由正方体结构性质可知且，
又，平面，故平面，
又平面，所以，
因为，平面，所以平面，
取中点N，连接，则，
所以可唯一确定一个平面，则平面即平面，
所以点P轨迹为四边形，长度为，B错误.
对于C，过P作于H，连，易知且平面，
则由平面得，则与AD成角为且，
随着P从点A运动到E，增大，PH减小，从而增大，增大，
因此当点P位于点A时，成角最小为，C正确.
对于D，取AC中点O，过O作面的垂线，则球心在该直线上.
又由正方体结构特征可知平面平面，从而球心为外心，记为S，
球半径R为外接圆半径，由正弦定理，
因为且，
又，
所以，故，即，D正确.
12．/
解析：在中，由正弦定理，可得：
因为，由二倍角公式得，
所以代入，得：
因为，故，
所以，即.
13．
解析：因为函数为奇函数，
所以，则，
即，则，即.
14．
解析：
解法一：设，因为，所以，
由圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，所以，，
因为，且，所以，
又因为，
所以，即，所以椭圆的离心率
因为函数在上，所以
即椭圆离心率的取值范围是.
解法二：切线长定理、向量条件
由椭圆定义求焦半径
根据椭圆定义，结合，解得，
应用切线长定理设圆与延长线切于，与延长线切于，与切于.
根据切线长定理：，，
设，.
从点出发的切线长
从点出发的切线长
由，得：
又在线段上，故.
联立方程，
解得
由，可知.
代入和得
整理得.
因此，离心率为
已知，则.
代入，得
解法三：旁切圆性质公式
确定旁切圆切点位置
圆是的一个旁切圆，与边相切.
对于三角形的旁切圆，其与一边的切点到对应顶点的距离公式为
代入，，得
结合向量条件，由得.
联立，整理得
因此离心率为，
已知，则，
代入，即椭圆的离心率取值范围是.
15．(1)
(2)答案见解析
解析：（1）由题，，
所以，
，
.
所以加工时间y关于零件数x的一元线性回归方程为.
（2）由回归直线方程可知，斜率，说明加工零件个数x与加工时间y呈正线性相关，零件数每增加一个，加工时间平均增加.
16．(1)证明见解析
(2)
解析：（1）可得
故
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，
由单调递增，可知，
故，解得，
即的取值范围为.
17．(1)证明见解析
(2)
解析：（1）取中点，连接，，
又因为是等边三角形，所以，
又因为，，所以是等边三角形，所以，
又因为，平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）由三棱柱的体积为3．可知三棱锥的体积为1．
即,
解得，即，所以，又，
所以以为原点．以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以平面的一个法向量为，
又
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的角为，
.
即平面与平面所成角的余弦值为．
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
解析：（1）抛物线的焦点为，准线为.
由抛物线定义，解得，
因此，抛物线E的方程为.
（2）由（1）知，，
显然直线AF的斜率存在，设直线AF的直线方程为，
设，，则，
联立，得，
则，且，，即，
而，又，则，
所以，所以、、三点共线.

（3）解法1：由题意，设CD的中点为，，，
则，.
结合，，得，
则，
，
所以，
直线CD的方程为，即，
则点到直线CD的距离，
则的面积为.
令，则，
所以，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则.
解法2：同解法1得到，
，
当且仅当，即时取等号，则.
解法3：设直线CD的方程为，
联立，得，
则，且，，
则，
所以，，
因为线段CD的中点在直线上，
所以，即，则，
则，，
点到直线的距离，
所以的面积为，
令，则，
所以，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则.

19．(1)极值点和；在这些极值点处，波动量的增长速率为.
(2)是，证明见解析.
(3)证明见解析.
解析：（1）由于，，则，
令，得或，
当时，，当时，，当时，，
因此函数在单调递减，在单调递增，在单调递减，
则函数在处取极小值，在取极大值，
即函数的极值点是和；在这些极值点处，波动量的增长速率为.
（2）由（1）可知，而在内无限次正负交替，
因此在内无限次正负交替，即函数满足震荡性；
由于，对于给定的正实数，令，使得当时，有，
因此，即函数满足衰减性；
综上所述，函数满足疲劳衰减函数的定义，即函数是疲劳衰减函数.
（3）由题意可知，则
当时，，则，
由于，有，，，所以，
即函数在是单调递减的，并且当时，，
所以在时，有；
当时，有，
由于，，因此
而在时是单调递减函数，所以，
因此在时，有；
综上所述，在上恒成立，因此函数无最大值.