平原县2024-2025学年高考考前模拟数学试题含解析

这是一份平原县2024-2025学年高考考前模拟数学试题含解析，共7页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知数列满足，已知复数满足，则的值为，已知集合，，则等于等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）

A．B．C．D．
4．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（ ）
A．7B．14C．28D．84
5．已知数列满足：)若正整数使得成立，则（ ）
A．16B．17C．18D．19
6．函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知复数满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
8．已知集合，，则等于( )
A．B．C．D．
9．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）
A．CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住
B．CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%
C．猪肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%
D．猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%
10．为双曲线的左焦点，过点的直线与圆交于、两点，（在、之间）与双曲线在第一象限的交点为，为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．直线与抛物线C：交于A，B两点，直线，且l与C相切，切点为P，记的面积为S，则的最小值为
A．B．C．D．
12．在等差数列中，，，若（），则数列的最大值是（ ）
A．B．
C．1D．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，的夹角等于，且（）•（）＝0，则||的取值范围是_____．
14．已知点是直线上的动点，点是抛物线上的动点.设点为线段的中点，为原点，则的最小值为________.
15．在中，已知，则的最小值是________．
16．已知正方体棱长为2，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点构成的图形面积为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）的内角，，的对边分别为，，，其面积记为，满足.
（1）求；
（2）若，求的值.
18．（12分）已知圆上有一动点，点的坐标为，四边形为平行四边形，线段的垂直平分线交于点.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，点的坐标为，直线与轴分别交于两点，求证：线段的中点为定点，并求出面积的最大值.
19．（12分）某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M ），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1 （百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．
（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；
（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．
20．（12分） [选修4-5：不等式选讲]:已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设，，且的最小值为.若，求的最小值.
21．（12分）数列的前项和为，且.数列满足，其前项和为.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
22．（10分）已知，均为正数，且.证明：
（1）；
（2）.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.
【详解】
当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.
此时椭圆长轴长为，短轴长为6，
所以椭圆离心率，
所以.
故选：C
本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.
2．D
【解析】
先化简得再求得解.
【详解】
所以.
故选：D
本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．C
【解析】
先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.
【详解】
所有的情况数有：种，
3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：
，共种，
所以目标事件的概率.
故选：C.
本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.
4．D
【解析】
利用等差数列的通项公式，可求解得到，利用求和公式和等差中项的性质，即得解
【详解】
，
解得．
．
故选：D
本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
5．B
【解析】
计算，故，解得答案.
【详解】
当时，，即，且.
故，
，故.
故选：.
本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.
6．C
【解析】
由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，可得有解，令，则，对分类讨论，得出时，取得极大值，也即为最大值，进而得出结论.
【详解】
解：由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，
即有解，令，则，
则当时，；当时，，
故时，取得极大值，也即为最大值，
当趋近于时，趋近于，所以满足条件．
故选：C.
本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题．
7．C
【解析】
由复数的除法运算整理已知求得复数z，进而求得其模.
【详解】
因为，所以
故选：C
本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.
8．B
【解析】
解不等式确定集合，然后由补集、并集定义求解．
【详解】
由题意或，
∴，
．
故选：B.
本题考查集合的综合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题型．
9．D
【解析】
A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可. B. CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判断.C.食品占19.9%，再看第二个图，分清2.5%是在CPI一篮子商品中，还是在食品中即可.D. 易知猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.
【详解】
A. CPI一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.
B. CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.
C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.
D. 猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%，故错误.
故选：D
本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
10．D
【解析】
过点作，可得出点为的中点，由可求得的值，可计算出的值，进而可得出，结合可知点为的中点，可得出，利用勾股定理求得（为双曲线的右焦点），再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.
【详解】
如下图所示，过点作，设该双曲线的右焦点为，连接.
，.
， ，
，为的中点，，，，
，
由双曲线的定义得，即，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：D.
本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分分析图形的形状，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
11．D
【解析】
设出坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求得到的距离，得到的面积为，作差后利用导数求最值．
【详解】
设，，联立，得
则，
则
由，得
设，则 ，
则点到直线的距离
从而
．
令
当时，；当时，
故，即的最小值为
本题正确选项：
本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.
12．D
【解析】
在等差数列中,利用已知可求得通项公式,进而,借助函数的的单调性可知,当时, 取最大即可求得结果.
【详解】
因为，所以，即，又，所以公差，所以，即，因为函数，在时，单调递减，且；在时，单调递减，且.所以数列的最大值是，且，所以数列的最大值是3.
故选:D.
本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
计算得到||，||csα﹣1，解得csα，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.
【详解】
由（）•（）＝0 可得 （）•||•||csα﹣1×2cs||•||csα﹣1，α为与的夹角．
再由 2•1+4+2×1×2cs7 可得||，
∴||csα﹣1，解得csα．
∵0≤α≤π，∴﹣1≤csα≤1，∴1，即||+1≤0，解得 ||，
故答案为．
本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.
14．
【解析】
过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案.
【详解】
如图所示：过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，
，则，，故抛物线的与直线平行的切线为.
点为线段的中点，故在直线时距离最小，故.
故答案为：.
本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键.
15．
【解析】
分析：可先用向量的数量积公式将原式变形为：，然后再结合余弦定理整理为，再由csC的余弦定理得到a，b的关系式，最后利用基本不等式求解即可.
详解：已知，可得，将角A,B,C的余弦定理代入得，由，当a=b时取到等号，故csC的最小值为.
点睛：考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能正确转化是解题关键.属于中档题.
16．.
【解析】
设三棱锥的外接球为球，分别取、的中点、，先确定球心在线段和中点的连线上，先求出球的半径的值，然后利用勾股定理求出的值，于是得出，再利用勾股定理求出点在上底面轨迹圆的半径长，最后利用圆的面积公式可求出答案．
【详解】
如图所示，设三棱锥的外接球为球，
分别取、的中点、，则点在线段上，
由于正方体的棱长为2，
则的外接圆的半径为，
设球的半径为，则，解得.
所以，，
则
而点在上底面所形成的轨迹是以为圆心的圆，
由于，所以，
因此，点所构成的图形的面积为.
本题考查三棱锥的外接球的相关问题，根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）
【解析】
（1）根据三角形面积公式及平面向量数量积定义代入公式，即可求得，进而求得的值；
（2）根据正弦定理将边化为角，结合（1）中的值，即可将表达式化为的三角函数式；结合正弦和角公式与辅助角公式化简，即可求得和，进而由正弦定理确定，代入整式即可求解.
【详解】
（1）因为，
所以由三角形面积公式及平面向量数量积运算可得
，
所以.
因为，
所以.
（2）因为，
所以由正弦定理代入化简可得，
由（1），代入可得，
展开化简可得，
根据辅助角公式化简可得.
因为，所以，所以，
所以为等腰三角形，且，
所以.
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，平面向量数量积的运算，正弦和角公式及辅助角公式的简单应用，属于基础题.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）4.
【解析】
（Ⅰ）先画出图形，结合垂直平分线和平行四边形性质可得为一定值，，故可确定点轨迹为椭圆（），进而求解；
（Ⅱ）设直线方程为，点坐标分别为，联立直线与椭圆方程得，，分别由点斜式求得直线KA的方程为，令得，同理得，由结合韦达定理即可求解，而，当重合交于点时，可求最值；
【详解】
（Ⅰ），
所以点的轨迹是一个椭圆，且长轴长，半焦距，
所以，轨迹的方程为.
（Ⅱ）当直线的斜率为0时，与曲线无交点.
当直线的斜率不为0时，设过点的直线方程为，点坐标分别为.
直线与椭圆方程联立得消去，得.
则，.
直线KA的方程为.
令得.
同理可得.
所以
.
所以的中点为.
不妨设点在点的上方，
则.
本题考查根据椭圆的定义求椭圆的方程，椭圆中的定点定值问题，属于中档题
19．（1）见解析，，x[0，1]；（2）P(，)时，视角∠EPF最大．
【解析】
（1）以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系，设出方程，通过点的坐标可求方程；
（2）设出的坐标，表示出，利用基本不等式求解的最大值，从而可得观测点P的坐标．
【详解】
（1）以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系
由题意知：B(1，0.5)，设抛物线方程为
代入点B得：p＝1，故方程为，x[0，1]；
（2）设P(，)，t[0，]，作PQ⊥l3于Q，记∠EPQ＝，∠FPQ＝
，，
令，，则：
，
当且仅当即，即，即时取等号；
故P(，)时视角∠EPF最大，
答：P(，)时，视角∠EPF最大．
本题主要考查圆锥曲线的实际应用，理解题意，构建合适的模型是求解的关键，涉及最值问题一般利用基本不等式或者导数来进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.
20．（1） （2）
【解析】
（1）当时，，原不等式可化为，分类讨论即可求得不等式的解集；
（2）由题意得，的最小值为，所以，由，得，利用基本不等式即可求解其最小值．
【详解】
（1）当时，，原不等式可化为，①
当时，不等式①可化为，解得，此时；
当时，不等式①可化为，解得，此时；
当时，不等式①可化为，解得，此时，
综上，原不等式的解集为.
（2）由题意得， ，
因为的最小值为，所以，由，得，
所以 ，
当且仅当，即，时，的最小值为.
本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
21．（1），；（2）.
【解析】
（1）令可求得的值，令，由得出，两式相减可推导出数列为等比数列，确定该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式，再利用对数的运算性质可得出数列的通项公式；
（2）运用等差数列的求和公式，运用数列的分组求和和裂项相消求和，化简可得.
【详解】
（1）当时，，所以；
当时，，得，即，
所以，数列是首项为，公比为 的等比数列，.
；
（2）由（1）知数列是首项为，公差为的等差数列，
.
，
.
所以.
本题考查数列的递推式的运用，注意结合等比数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：分组求和法和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．
22．（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）由进行变换，得到，两边开方并化简，证得不等式成立.
（2）将化为，然后利用基本不等式，证得不等式成立.
【详解】
（1），两边加上得，即，当且仅当时取等号，
∴.
（2）.
当且仅当时取等号.
本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.