河北省石家庄市桥西区2024-2025学年高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷含解析

这是一份河北省石家庄市桥西区2024-2025学年高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷含解析，共7页。试卷主要包含了在复平面内，复数，已知复数，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．若，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．B．C．13D．
3．已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为( )
A．2020B．20l9C．2018D．2017
4．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）
A．20B．27C．54D．64
7．若（是虚数单位），则的值为（ ）
A．3B．5C．D．
8．在复平面内，复数（，）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（ ）
A．B．4C．D．16
9．已知不同直线、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
11．设i为数单位，为z的共轭复数，若，则（ ）
A．B．C．D．
12．设实数满足条件则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知全集，，则________.
14．若，且，则的最小值是______.
15．设实数，若函数的最大值为，则实数的最大值为______.
16．下图是一个算法的流程图，则输出的x的值为_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线交椭圆于两点，线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点.
18．（12分）若函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”.
（1）设函数（）.
①当时，求函数的极值；
②若函数存在“F点”，求k的值；
（2）已知函数（a，b，，）存在两个不相等的“F点”，，且，求a的取值范围.
19．（12分）已知圆外有一点，过点作直线．
(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；
(2)当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长．
20．（12分）在多面体中，四边形是正方形，平面，，，为的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的正弦值.
21．（12分）设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意都有，求实数的取值范围．
22．（10分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.
表中，.
（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；
（3）若单位时间内煤气输出量与旋转的弧度数成正比，那么，利用第（2）问求得的回归方程知为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为，
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
根据对数性质可知，再根据集合的交集运算即可求解.
【详解】
∵，
集合，
∴由交集运算可得.
故选：A.
本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.
2．C
【解析】
由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．
【详解】
解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即
点到坐标原点的距离最大，即．
故选：．
本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．
3．B
【解析】
根据题意计算，，，计算，，，得到答案.
【详解】
是等差数列的前项和，若，
故，，，，故，
当时，，，，
，
当时，，故前项和最大.
故选：.
本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
4．D
【解析】
根据四个列联表中的等高条形图可知，
图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，
它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D．
5．B
【解析】
根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知为的一个零点；对于当时，由代入解析式解方程可求得零点，结合即可求得的范围；对于当时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断的范围.综合后可得的范围.
【详解】
根据题意，画出函数图像如下图所示：
函数的零点，即.
由图像可知，，
所以是的一个零点，
当时，，若，
则，即，所以，解得；
当时，，
则，且
若在时有一个零点，则，
综上可得，
故选：B.
本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题.
6．B
【解析】
设大正方体的边长为，从而求得小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，利用概率模拟列方程即可求解。
【详解】
设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，
设落在小正方形内的米粒数大约为，
则，解得：
故选：B
本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。
7．D
【解析】
直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.
【详解】
（是虚数单位）
可得
解得
本题正确选项：
本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.
8．D
【解析】
根据复数乘方公式：，直接求解即可.
【详解】
，
.
故选：D
本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.
9．C
【解析】
根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.
【详解】
对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；
对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；
对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；
对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误.
故选：.
本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.
10．B
【解析】
利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得
【详解】
，故.
故选：B
本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.
11．A
【解析】
由复数的除法求出，然后计算．
【详解】
，
∴．
故选：A.
本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键．
12．C
【解析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即，表示直线在轴的截距加上1，
根据图像知，当时，且时，有最大值为.
故选：.
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
利用集合的补集运算即可求解.
【详解】
由全集，，
所以.
故答案为：
本题考查了集合的补集运算，需理解补集的概念，属于基础题.
14．8
【解析】
利用的代换，将写成，然后根据基本不等式求解最小值.
【详解】
因为（即 取等号），
所以最小值为.
已知，求解（ ）的最小值的处理方法：利用
，得到，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.
15．
【解析】
根据，则当时，，即.当时，显然成立；当时，由，转化为，令，用导数法求其最大值即可.
【详解】
因为，又当时，，即.
当时，显然成立；
当时，由等价于，
令，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，则，
又，得，
因此的最大值为.
故答案为：
本题主要考查导数在函数中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
16．1
【解析】
利用流程图，逐次进行运算，直到退出循环，得到输出值.
【详解】
第一次：x＝4，y＝11，
第二次：x＝5，y＝32，
第三次：x＝1，y＝14，此时14＞10×1＋3，输出x，故输出x的值为1．
故答案为：.
本题主要考查程序框图的识别，“还原现场”是求解这类问题的良方，侧重考查逻辑推理的核心素养.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）把点代入椭圆方程，结合离心率得到关于的方程，解方程即可；
（Ⅱ）联立直线与椭圆方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理和中垂线的定义求出线段的中垂线方程即可证明.
【详解】
（Ⅰ）由已知椭圆过点得，，
又，得，
所以，即椭圆方程为.
（Ⅱ）证明： 由，得，
由，得，
由韦达定理可得，，
设的中点为，得，即，
，
的中垂线方程为，即，
故得中垂线恒过点.
本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；正确求出椭圆方程和利用中垂线的定义正确表示出中垂线方程是求解本题的关键;属于中档题.
18．（1）①极小值为1，无极大值.②实数k的值为1.（2）
【解析】
（1）①将代入可得，求导讨论函数单调性，即得极值；②设是函数的一个“F点”（），即是的零点，那么由导数可知，且，可得，根据可得，设，由的单调性可得，即得.（2）方法一：先求的导数，存在两个不相等的“F点”，，可以由和韦达定理表示出，的关系，再由，可得的关系式，根据已知解即得.方法二：由函数存在不相等的两个“F点”和，可知，是关于x的方程组的两个相异实数根，由得，分两种情况：是函数一个“F点”，不是函数一个“F点”，进行讨论即得.
【详解】
解：（1）①当时， （），
则有（），令得，
列表如下：
故函数在处取得极小值，极小值为1，无极大值.
②设是函数的一个“F点”（）.
（），是函数的零点.
，由，得，，
由，得，即.
设，则，
所以函数在上单调增，注意到，
所以方程存在唯一实根1，所以，得，
根据①知，时，是函数的极小值点，
所以1是函数的“F点”.
综上，得实数k的值为1.
（2）由（a，b，，），
可得（）.
又函数存在不相等的两个“F点”和，
，是关于x的方程（）的两个相异实数根.
又，，
，即，
从而
，，
即..
，
，
解得.所以，实数a的取值范围为.
（2）（解法2）因为（ a，b，，）
所以（）.
又因为函数存在不相等的两个“F点”和，
所以，是关于x的方程组的两个相异实数根.
由得，.
（2.1）当是函数一个“F点”时，且.
所以，即.
又，
所以，所以.又，所以.
（2.2）当不是函数一个“F点”时，
则，是关于x的方程的两个相异实数根.
又，所以得所以，得.
所以，得.
综合（2.1）（2.2），实数a的取值范围为.
本题考查利用导数求函数极值，以及由函数的极值求参数值等，是一道关于函数导数的综合性题目，考查学生的分析和数学运算能力，有一定难度.
19．（1）或（2）．
【解析】
(1)根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果;
(2)先求出直线方程，然后求得圆心与直线的距离,由弦长公式即可得出答案.
【详解】
解: (1)由题意可得,直线与圆相切
当斜率不存在时，直线的方程为,满足题意
当斜率存在时，设直线的方程为,即
∴,解得
∴直线的方程为
∴直线的方程为或
(2)当直线的倾斜角为时，直线的方程为
圆心到直线的距离为
∴弦长为
本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，培养了学生分析问题与解决问题的能力.
20．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）首先证明，，，∴平面.即可得到平面，.
（2）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，带入公式求解即可.
【详解】
（1）∵平面，平面，∴.
又∵四边形是正方形，∴.
∵，∴平面.
∵平面，∴.
又∵，为的中点，∴.
∵，∴平面.
∵平面，∴.
（2）∵平面，，∴平面.
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
如图所示：
则，，，.
∴，，.
设为平面的法向量，
则，得，
令，则.
由题意知为平面的一个法向量，
∴，
∴平面与平面所成角的正弦值为.
本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直角坐标系是解题关键，属于中档题.
21．（1）（2）
【解析】
利用零点分区间法，去掉绝对值符号分组讨论求并集，
对恒成立，则，
由三角不等式，得求解
【详解】
解：当时，不等式即为，
可得或或，
解得或或，
则原不等式的解集为
若对任意、都有，
即为，
由，当取得等号，
则，由，可得，
则的取值范围是
本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.
22．（1）选取更合适；（2）；（3）时，煤气用量最小.
【解析】
（1）根据散点图的特点，可得更适合；
（2）先建立关于的回归方程，再得出关于的回归方程；
（3）写出函数关系，利用基本不等式得出最小值及其成立的条件.
【详解】
（1）选取更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型；
（2）
由公式可得：，
，
所以所求回归直线方程为：；
（3）根据题意，设，
则煤气用量，
当且仅当时，等号成立，
即时，煤气用量最小.
此题考查根据题意求回归方程，利用线性回归方程的求法得解，结合基本不等式求最值.
x
1
0
极小值