2026合肥六中高三下学期4月月考数学试题含解析

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1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 已知随机事件 A，B 相互独立，若 ， ，则 （ ）．
A. 0.6 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.15
2. 已知集合 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
3. 已知双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）．
A. B. C. D.
4. 的展开式中， 的系数为（ ）．
A. B. C. 6 D.
5. 在 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D. 1
6. 已知正数 x，y 满足 ，则 的最小值为（ ）．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
7. 函数 在区间 上的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
8. 已知椭圆 的下顶点为 ，右焦点为 ，直线 与 的另一个交点为 ，
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关于 轴的对称点为 ，若 ，则 的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知复数 （ 且 ），若 ，则（ ）．
A. 是纯虚数 B. 是实数
C. D. 的最大值为 2
10. 已知函数 ， ，且 在 处取得极小值，则（ ）．
A. B. 仅有一个极值点
C. 当 时， D. 当 时，
11. 某款公交车的车门打开和关闭时，车门在地板上扫过的痕迹边缘（如图 1）是一种被称为“星形线”的曲
线．图 2 中的曲线 E 就是一条星形线，其方程为 ，则下列说法正确的是（ ）．
A. 在 E 上任取一点 P，则 的最小值为
B. 在 E 上任取一点 A，点 B 与点 A 关于直线 对称，点 C 与点 B 关于 y 轴对称，则 是等腰直
角三角形
C. 若函数 的最大值为 b，则点 在该星形线上
D. 若 E 上三点 满足 ，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
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12. 若向量 ， 满足 ， ，且 与 相互垂直，则 ______．
13. 已知数列 满足 ，记 的前 项和为 ，则满足 的
的最小值为______．
14. 在四面体 中， ， ，异面直线 与 所成的角为 ，异面直线 与
所成的角为 ，若 ，且 ，则四面体 的外接球表面积的最小值为______
．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 下表是一个 6×6 的数表，其一条对角线上均为 1，其余位置均为 0．
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
（1）设事件“从数表中任选两格，至少选中一个 1”为 ，求 ；
（2）用一个 3×3 的正方形任意框选数表中的 9 个格子，记这 9 个格子中的数字之和为 ，求 的分布列
与数学期望．
16. 已知函数 ．
（1）当 时，求 的最小值；
（2）若 在区间 上存在唯一的极值点 和唯一的零点 ，且 ，求 t 的取值范围．
17. 记 是数列 的前 n 项和，已知 ．
（1）求 ；
（2）设 （k 为常数），数列 的前 n 项和为 ，若 为等比数列，求 k 的值．
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18. 如图，在三棱锥 中， 是 的中点， ， 都是正三角形，且 ．
（1）若 ，
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）求三棱锥 的体积．
（2）设二面角 为 ，二面角 为 ，若 ，求 ．
19. 已知抛物线 的焦点为 F，过点 F 作一条直线与 C 交于 A，B 两点，其中 A 在第一
象限，点 ，且 的最小值为 ．
（1）求 C 的方程；
（2）若 ，求 的所有可能取值；
（3）若 M，N 两点在 C 上（M，N 与 A，B 均不重合），且 MF，NF 分别是 ， 的平分线，
的外心为 G，证明： 为定值．
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