2024-2025学年重庆市南开中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年重庆市南开中学高一（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x− 3y+1=0的一个方向向量是( )
A. (1, 33)B. (1, 3)C. (1,− 33)D. (1,− 3)
2.设a∈R，若复数(1+ai)2是纯虚数，则a=( )
A. ±12B. ±1C. ±2D. ±3
3.下列方程一定表示圆的是( )
A. x2+y2=0B. x2+y2−2x+4y−6=0
C. x2+y2+2ax−b2=0(a,b∈R)D. x2+2xy+y2−9=0
4.若平面内的两个单位向量a，b的夹角为θ，csθ= 22，则| 2a+b|=( )
A. 5B. 2C. 4D. 5
5.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a= 2，csA=13，则b+c的最大值为( )
A. 1B. 3C. 2D. 6
6.已知m，n∈R，若两圆x2+y2−4mx+4m2−1=0和x2+y2−2ny−4+n2=0恰有一条公切线，则2m+n的最大值为( )
A. 22B. 2C. 2D. 5
7.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为棱A1A的中点，点Q在底面正方形ABCD内运动，满足QC1⋅QM=1，则点Q的轨迹长度为( )
A. π2 B. π
C. 2π D. 3π
8.如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，AD= 2，∠ADB=45°，现将△ABD沿直线BD翻折至△PBD，使得点A到达点P的位置，且二面角P−BD−C的平面角等于45°，则直线PD与平面BCD所成的角为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是( )
A. 若m⊥α，m⊥n，则n//α
B. 若m//n，n⊥α，m⊥β，则α//β
C. 若m⊥α，n//α，则m⊥n
D. 若m⊥n，m⊥α，n//β，则α⊥β
10.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G为△ABC的重心，csA=13，AG=2，则下列说法正确的是( )
A. AG=13AB+13ACB. AB⋅AC≤4
C. △ABC的面积最大值为9 22D. a的最小值为3 2
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=r2上恰有3个点到直线 3x+y+3=0的距离为32.设点A(−2,0)，B(2,0)，N(0,4)，点Q是圆O上的任意一点，过点B作BM⊥AQ于M，则下列说法正确的是( )
A. r=3
B. 点M的轨迹方程为x2+y2=4
C. 2|QM|+|QA|的最小值为2 10
D. 圆O上存在唯一点Q，使得32|QA|+|QN|取到最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线l1：2x+(m+1)y+2=0与直线l2：mx+3y−4=0平行，则实数m=______．
13.已知圆C：(x−1)2+y2=1，过直线l：x+y−3=0上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则PA⋅PC的最小值为______．
14.已知四面体ABCD的外接球半径为2，且AB=2，∠ACB=π2，∠ADB=π4，则平面ADB与平面ACB所成角的正弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=2，AC=6，M为BC中点，BB1=6．
(1)证明：A1B//平面AC1M；
(2)求四面体AMC1A1的体积．
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足c−ba−b=sinA+sinBsinC．
(1)求角A；
(2)若a= 13，△ABC的面积为3 3，求△ABC的周长．
17.(本小题15分)
已知圆C：x2+y2−8x−6y+21=0．
(1)求圆C关于直线3x−2y+7=0的对称圆C1的标准方程；
(2)若经过点P(5,6)的直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为1：2，求直线l的方程．
18.(本小题17分)
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD=2 2，AD//BC，AB=DC=2 5，AC与BD交于点O，AC⊥BD，PA=PD，PO=6，BD⊥PO．
(1)证明：PO⊥平面ABCD；
(2)求平面PAB与平面ABCD所成角的余弦值；
(3)设BC的中点为M，在棱PM上是否存在点Q，使得直线AQ与平面PAB所成角的正弦值为187 38.若存在，求出λ=MQMP的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
在空间直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点分别为A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(1,1,0)、D(0,1,0)，将正方形ABCD绕直线AD旋转角度α(α∈(0,π2))到AB1C1D，使得B1的z坐标为正.再将正方形AB1C1D绕直线AB1旋转角度β(β∈(0,π))到AB1C2D1，使得D1的z坐标为正．
(1)若α=π3，求异面直线AC1与BD所成的角的余弦值；
(2)判断是否存在α，β使得B，C，B1，C2四点共面，若存在，写出一组(α,β)的值；若不存在，请说明理由；
(3)若β=π3，求三个四面体C2ADD1、四面体B1ADD1、四面体C1ADD1公共部分的体积．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意可得该直线的斜率k= 33，
则该直线的一个方向向量是(1,k)=(1, 33)，
而选项BCD中对应向量与(1, 33)不共线，
所以只有A选项正确．
故选：A．
根据给定条件，求出直线的斜率即可得解．
本题考查直线的方向向量的坐标的求法，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为(1+ai)2=1+2ai+a2i2=1−a2+2ai是纯虚数，所以1−a2=02a≠0，解得a=±1．
故选：B．
利用复数的乘法运算展开代数式，再利用纯虚数的定义列方程求解即可．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：对于A，方程x2+y2=0表示点(0,0)，所以A不是圆；
对于B，方程x2+y2−2x+4y−6=0化为(x−1)2+(y+2)2=11，此方程表示圆，且圆心坐标为(1,−2)，半径为 11，所以B是圆；
对于C，当a=b=0时，方程x2+y2=0表示点(0,0)，所以C不是圆；
对于D，方程x2+2xy+y2−9=0化为x+y=±3表示两条平行直线，所以D不是圆．
故选：B．
利用二元二次方程表示圆的充要条件逐项判断．
本题考查圆的方程的判断方法，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由题意，|a|=|b|=1，csθ= 22，
则| 2a+b|2=( 2a+b)⋅( 2a+b)
=2|a|2+2 2|a||b|csθ+|b|2
=2×1+2 2×1×1× 22+1=5，
则| 2a+b|= 5．
故选：A．
将| 2a+b|平方，再根据向量数量积的运算律展开并结合已知条件进行计算即可．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为a= 2，csA=13，
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，得2=b2+c2−23bc，
2=(b+c)2−2bc−23bc=(b+c)2−83bc，
因为bc≤(b+c2)2，当且仅当b=c时取等号，所以−83bc≥−83×(b+c2)2，
代入2=(b+c)2−83bc≥(b+c)2−83(b+c2)2，
设t=b+c(t>0)，则2≥t2−83×t24=13t2，
即13t2≤2，两边同时乘以3得到t2≤6，
因为t>0，所以00，sinβ>0，
设z=tcsα(t>0)，
则x=−tsinα，t2=1−y2=1−cs2β=sin2β，所以t=sinβ．
所以AD1=(−sinαsinβ,csβ,csαsinβ)，
因为B，C，B1，C2四点共面的充分必要条件是向量BC,BB1,B1C2共面，亦即向量BC,BB1,AD1共面，
因为BB1=(csα−1,0,sinα),BC=(0,1,0)，
所以存在实数对(m,n)使得AD1=mBC+nAD1，
即AD1=(−sinαsinβ,csβ,csαsinβ)=m(0,1,0)+n(csα−1,0,sinα)，
即(−sinαsinβ,csβ,csαsinβ)=(ncsα−n,m,nsinα)
则csβ=m，n=csαsinβsinα=−sinαsinβcsα−1，
所以csαsinα=sinα1−csα，
即csα−cs2α=sin2α，csα=1，这与已知中α∈(0,π2)矛盾，
所以不存在α，β使得B，C，B1，C2四点共面；
(3)若β=π3，则ADD1−B1C1C2为棱长都是1的正三棱柱，
截面B1DD1，C2AD的交线为OD，其中O为正方形AB1C2D1的中心，
设AD1，BC2的中点分别为M，N，连接MN，则O为线段MN的中点，
OD与C1M的交点P即为截面B1DD1，C2AD，C1AD1的公共交点，
三个四面体C2ADD1、四面体B1ADD1、四面体C1ADD1公共部分是三棱锥P−ADD1，
设PQ⊥平面ADD1，垂足为Q，PQ为三棱锥P−ADD1的高，
MPPC1=MOC1D=12，
所以PQC1D=MPMC1=13，
所以PQ=13C1D=13，
故三棱锥P−ADD1的体积为13×13×12×1×1× 32= 336，
(1)利用空间向量所成的角的余弦值的计算公式求解；
(2)利用空间向量垂直的条件，空间向量的夹角的坐标运算公式求得AD1=(−sinαsinβ,csβ,csαsinβ)，利用四点共面的向量表达式列出条件，证明满足要求的角不存在，从而证得结论；
(3)先判定ADD1−B1C1C2为棱长都是1的正三棱柱，求得截面B1DD1，C2AD，C1AD1的公共交点P，三个四面体C2ADD1、四面体B1ADD1、四面体C1ADD1公共部分三棱锥P−ADD1，然后利用比例关系求得此三棱锥的高，进而计算其体积．
本题考查向量法在立体几何中的应用，属于难题．