2026届贵州省凯里一中等重点中学高三第一次调研测试数学试卷含解析

这是一份2026届贵州省凯里一中等重点中学高三第一次调研测试数学试卷含解析，共19页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，复数在复平面内对应的点为则，关于函数有下述四个结论等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点，若点在曲线上运动，则面积的最小值为（ ）
A．6B．3C．D．
2．已知曲线，动点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线截圆所得弦长为（ ）
A．B．2C．4D．
3．已知、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知实数，满足，则的最大值等于( )
A．2B．C．4D．8
5．双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
6．复数在复平面内对应的点为则（ ）
A．B．C．D．
7．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了年至年国家财政性教育经费投入情况及其在中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）
A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长
B．年以来，国家财政性教育经费的支出占比例持续年保持在以上
C．从年至年，中国的总值最少增加万亿
D．从年到年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是年
8．关于函数有下述四个结论：（ ）
①是偶函数； ②在区间上是单调递增函数；
③在上的最大值为2； ④在区间上有4个零点.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④B．①③C．①④D．②④
9．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，正四面体的体积为，底面积为，是高的中点，过的平面与棱、、分别交于、、，设三棱锥的体积为，截面三角形的面积为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
11．设且，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_________.
14．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是____．
15．设函数，若在上的最大值为，则________.
16．平行四边形中，，为边上一点（不与重合），将平行四边形沿折起，使五点均在一个球面上，当四棱锥体积最大时，球的表面积为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在本题中，我们把具体如下性质的函数叫做区间上的闭函数：①的定义域和值域都是；②在上是增函数或者减函数.
（1）若在区间上是闭函数，求常数的值；
（2）找出所有形如的函数（都是常数），使其在区间上是闭函数.
18．（12分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①，②，其中均为常数，为自然对数的底数．
现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令，经计算得如下数据：
（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？
附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
② 参考数据：，，．
19．（12分）我国在2018年社保又出新的好消息，之前流动就业人员跨地区就业后，社保转移接续的手续往往比较繁琐，费时费力.社保改革后将简化手续，深得流动就业人员的赞誉.某市社保局从2018年办理社保的人员中抽取300人，得到其办理手续所需时间（天）与人数的频数分布表：
（1）若300名办理社保的人员中流动人员210人，非流动人员90人，若办理时间超过4天的人员里非流动人员有60人，请完成办理社保手续所需时间与是否流动人员的列联表，并判断是否有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.
列联表如下
（2）为了改进工作作风，提高效率，从抽取的300人中办理时间为流动人员中利用分层抽样，抽取12名流动人员召开座谈会，其中3人要求交书面材料，3人中办理的时间为的人数为，求出分布列及期望值.
附：
20．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足l小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为，，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为，，且两人健身时间都不会超过3小时.
（1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望；
（2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.
21．（12分）如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，分别为，的中点，为棱上一点，若平面.
（1）求线段的长；
（2）求二面角的余弦值.
22．（10分）椭圆的右焦点，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点.为坐标原点，为椭圆的右顶点，求四边形面积的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
求得直线的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得位于，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.
【详解】
解：曲线表示以原点为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，
直线的方程为，
可得，由圆与直线的位置关系知在时，到直线距离最短，即为，
则的面积的最小值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．
2、C
【解析】
设，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将点坐标代入切线方程，抽象出直线方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解.
【详解】
圆可化为.
设，
则的斜率分别为，
所以的方程为，即，
，即，
由于都过点，所以，
即都在直线上，
所以直线的方程为，恒过定点，
即直线过圆心，
则直线截圆所得弦长为4.
故选:C.
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.
3、A
【解析】
双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，
不妨设过点F1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），
与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），
∵点M在以线段F1F1为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，
∴＞3，即b1＞3a1，
∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．
则e=＞1．
∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）．
故选：A．
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
4、D
【解析】
画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得的最大值.
【详解】
画出可行域如下图所示，其中，由于,，所以，
所以原点到可行域上的点的最大距离为.
所以的最大值为.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
5、C
【解析】
根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程.
【详解】
由题意可知，双曲线的渐近线方程是.
故选：C.
【点睛】
本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．
6、B
【解析】
求得复数，结合复数除法运算，求得的值.
【详解】
易知，则.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.
7、C
【解析】
观察图表，判断四个选项是否正确．
【详解】
由表易知、、项均正确，年中国为万亿元，年中国为万亿元，则从年至年，中国的总值大约增加万亿，故C项错误．
【点睛】
本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．
8、C
【解析】
根据函数的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号.
【详解】
的定义域为.
由于，所以为偶函数，故①正确.
由于，，所以在区间上不是单调递增函数，所以②错误.
当时，，
且存在，使.
所以当时，；
由于为偶函数，所以时，
所以的最大值为，所以③错误.
依题意，，当时，
，
所以令，解得，令，解得.所以在区间，有两个零点.由于为偶函数，所以在区间有两个零点.故在区间上有4个零点.所以④正确.
综上所述，正确的结论序号为①④.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
9、C
【解析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，
【详解】
由题意可知几何体的直观图如图：
上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥,
几何体的表面积为：，
故选：C
【点睛】
本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.
10、A
【解析】
设，取与重合时的情况，计算出以及的值，利用排除法可得出正确选项.
【详解】
如图所示，利用排除法，取与重合时的情况.
不妨设，延长到，使得．
，，，，则，
由余弦定理得，
，，
又，，
当平面平面时，，，排除B、D选项；
因为，，此时，，
当平面平面时，，，排除C选项.
故选：A.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．
11、A
【解析】
项，由得到，则，故项正确；
项，当时，该不等式不成立，故项错误；
项，当，时，，即不等式不成立，故项错误；
项，当，时，，即不等式不成立，故项错误．
综上所述，故选．
12、D
【解析】
根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点；利用导数研究的单调性从而得到的图象；由直线恒过定点，通过数形结合的方式可确定；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和，进而得到结果.
【详解】
关于直线对称的直线方程为：
原题等价于与有且仅有四个不同的交点
由可知，直线恒过点
当时，
在上单调递减；在上单调递增
由此可得图象如下图所示：
其中、为过点的曲线的两条切线，切点分别为
由图象可知，当时，与有且仅有四个不同的交点
设，，则，解得：
设，，则，解得：
，则
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则，所以切线方程为，即．
【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义
【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．
14、（-4，2）
【解析】
试题分析：因为当且仅当时取等号，所以
考点：基本不等式求最值
15、
【解析】
求出函数的导数，由在上，可得在上单调递增，则函数最大值为，即可求出参数的值.
【详解】
解：定义域为
，
在上单调递增，
故在上的最大值为
故答案为：
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于基础题.
16、
【解析】
依题意可得、、、四点共圆，即可得到，从而得到三角形为正三角形，利用余弦定理可得，且，要使四棱锥体积最大，当且仅当面面时体积取得最大值，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再又可证面，则外接球的半径，即可求出球的表面积；
【详解】
解：依题意可得、、、四点共圆，
所以
因为，
所以，，
所以三角形为正三角形，则，，
利用余弦定理得
即，解得，则
所以，
当面面时，取得最大，
所以的外接圆的半径，
又面面，，且面面， 面
所以面，
所以外接球的半径
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查多面体的外接球的相关计算，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）依据新定义，的定义域和值域都是，且在上单调，建立方程求解；（2）依据新定义，讨论的单调性，列出方程求解即可。
【详解】
（1）当时，由复合函数单调性知，在区间上是增函数，即有 ，解得 ；
同理，当时，有，解得，综上，。
（2）若在上是闭函数，则在上是单调函数，
①当在上是单调增函数，则 ，解得，检验符合；
②当在上是单调减函数，则，解得，
在上不是单调函数，不符合题意。
故满足在区间上是闭函数只有。
【点睛】
本题主要考查学生的应用意识，利用所学知识分析解决新定义问题。
18、（1）模型的拟合程度更好；（2）（i）；（ii）亿元.
【解析】
（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；
（2）（i）先建立关于的线性回归方程，从而得出关于的回归方程；
（ii）把代入（i）中的回归方程可得值．
【详解】
本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性．
解：（1），
，
则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好
（2）（i）先建立关于的线性回归方程.
由，得，即．
由于，
所以关于的线性回归方程为，
所以，则
（ii）下一年销售额需达到90亿元，即，
代入得，，
又，所以，
所以，
所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性
19、（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，.
【解析】
（1）根据题意，结合已知数据即可填写列联表，计算出的观测值，即可进行判断；
（2）先计算出时间在和选取的人数，再求出的可取值，根据古典概型的概率计算公式求得分布列，结合分布列即可求得数学期望.
【详解】
（1）因为样本数据中有流动人员210人，非流动人员90人，所以办理社保手续
所需时间与是否流动人员列联表如下：
办理社保手续所需时间与是否流动人员列联表
结合列联表可算得.
有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.
（2）根据分层抽样可知时间在可选9人，时间在可以选3名，
故，
则，，
，，
可知分布列为
可知.
【点睛】
本题考查独立性检验中的计算，以及离散型随机变量的分布列以及数学期望，涉及分层抽样，属综合性中档题.
20、（1）见解析，40元（2）6000元
【解析】
（1）甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、40元三种情况，因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情况，分情况计算即可
（2）根据（1）结果求均值.
【详解】
解：（1）由题设知可能取值为0，20，40，60，80，则
；
；
；
；
.
故的分布列为：
所以数学期望（元）
（2）此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为：（元）
【点睛】
考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法，中档题.
21、（1）（2）
【解析】
（1）先证得，设与交于点，在中解直角三角形求得，由此求得的值.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.
【详解】
（1）由题意，，
设与交于点，在中，可求得，则，
可求得，则
（2）以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，
建立空间直角坐标系.
，，，
，，易得平面的法向量为.
，，易得平面的法向量为.
设二面角为，由图可知为锐角，所以
.
即二面角的余弦值为.
【点睛】
本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
22、（1）（2）最大值.
【解析】
（1）根据通径和即可求
（2）设直线方程为，联立椭圆，利用，用含的式子表示出，用换元，
可得，最后用均值不等式求解.
【详解】
解：（1）依题意有，，，所以椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，联立，得.
所以，.
所以
.
令，则，
所以，因，则，所以，当且仅当，即时取得等号，
即四边形面积的最大值.
【点睛】
考查椭圆方程的求法和椭圆中四边形面积最大值的求法，是难题.
时间
人数
15
60
90
75
45
15
流动人员
非流动人员
总计
办理社保手续所需
时间不超过4天
办理社保手续所需
时间超过4天
60
总计
210
90
300
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
流动人员
非流动人员
总计
办理社保手续所需
时间不超过4天
45
30
75
办理社保手续所需
时间超过4天
165
60
225
总计
210
90
300
0
1
2
3
0
20
40
60
80