2026届广东省中山一中等七校联合体重点中学高三第四次模拟考试数学试卷含解析2

这是一份2026届广东省中山一中等七校联合体重点中学高三第四次模拟考试数学试卷含解析2，共18页。试卷主要包含了在复平面内，复数，甲乙丙丁四人中，甲说等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为B．复数在复平面内对应的点位于第三象限
C．的共轭复数D．
2．命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立；：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）
A．B．C．D．
3．设命题p:>1,n2>2n,则p为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5． 若x,y满足约束条件的取值范围是
A．[0,6]B．[0,4]C．[6, D．[4,
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．若，则函数在区间内单调递增的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“”是“l⊥m”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．在复平面内，复数（，）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（ ）
A．B．4C．D．16
10．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
11．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）．
A．B．C．1D．
12．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的定义域为_____________.
14．已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为，此时点，，，在同一个球面上，则该球的表面积为________.
15．观察下列式子，，，，……，根据上述规律，第个不等式应该为__________．
16．已知数列的前项和为，，则满足的正整数的值为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列，满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）分别求数列，的前项和，.
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（2）直线l与圆C交于A，B两点，点P(2,1)，求|PA|⋅|PB|的值.
19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线交曲线于两点，为中点.
（1）求曲线的直角坐标方程和点的轨迹的极坐标方程；
（2）若，求的值.
20．（12分）在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分统计结果如表所示：.
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.
附：参考数据与公式：，若，则，，
21．（12分）设等比数列的前项和为，若
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）在和之间插入个实数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：.
22．（10分）记函数的最小值为.
（1）求的值；
（2）若正数，，满足，证明：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
利用的周期性先将复数化简为即可得到答案.
【详解】
因为，，，所以的周期为4，故，
故的虚部为2，A错误；在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误；的共
轭复数为，C错误；，D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.
2、A
【解析】
分别判断命题和的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.
【详解】
对于命题，由于，所以命题为真命题.对于命题，由于，由解得，且，所以是奇函数，故为真命题.所以为真命题. 、、都是假命题.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.
3、C
【解析】
根据命题的否定，可以写出：，所以选C.
4、D
【解析】
设，，作为一个基底，表示向量，，，然后再用数量积公式求解.
【详解】
设，，
所以，，，
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5、D
【解析】
解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，
由解得C（2，1），
目标函数的最小值为：4
目标函数的范围是[4，+∞）．
故选D．
6、D
【解析】
结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.
【详解】
由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积,下半部分的正三棱柱的体积,故该几何体的体积.
故选:D.
【点睛】
本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.
7、B
【解析】函数在区间内单调递增， ，在恒成立， 在恒成立， ， 函数在区间内单调递增的概率是，故选B.
8、A
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.
【详解】
当m⊥平面α时，若l∥α”则“l⊥m”成立，即充分性成立，
若l⊥m，则l∥α或l⊂α，即必要性不成立，
则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题
9、D
【解析】
根据复数乘方公式：，直接求解即可.
【详解】
，
.
故选：D
【点睛】
本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.
10、C
【解析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.
【详解】
①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；
②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；
③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；
④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.
综上所述，年纪最大的是丙
故选：C.
【点睛】
本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.
11、B
【解析】
首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长．
【详解】
解：根据三视图还原几何体如图所示，
所以，该四棱锥体的最长的棱长为．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
12、A
【解析】
结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前项和公式和对数恒等式即可求解
【详解】
如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为，所以原数字塔中前10层所有数字之积为.
故选：A
【点睛】
本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前项和公式应用，属于中档题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由题意可得，，解不等式可求．
【详解】
解：由题意可得，，
解可得，，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础题．
14、
【解析】
分别取，的中点，，连接，由图形的对称性可知球心必在的延长线上，设球心为，半径为，，由勾股定理可得、，再根据球的面积公式计算可得；
【详解】
如图，分别取，的中点，，连接，
则易得，，，，
由图形的对称性可知球心必在的延长线上，
设球心为，半径为，，可得，解得，.
故该球的表面积为.
故答案为：
【点睛】
本题考查多面体的外接球的计算，属于中档题.
15、
【解析】
根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案．
【详解】
解：根据题意，对于第一个不等式，，则有，
对于第二个不等式，，则有，
对于第三个不等式，，则有，
依此类推：
第个不等式为：，
故答案为．
【点睛】
本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律．
16、6
【解析】
已知，利用，求出通项，然后即可求解
【详解】
∵，∴当时，，∴；当时，，∴，故数列是首项为-2，公比为2的等比数列，∴.又，∴，∴，∴.
【点睛】
本题考查通项求解问题，属于基础题
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）；
【解析】
（1），，可得为公比为2的等比数列，可得为公差为1的等差数列，再算出，的通项公式，解方程组即可；
（2）利用分组求和法解决.
【详解】
（1）依题意有
又.
可得数列为公比为2的等比数列，为公差为1的等差数列，
由，得
解得
故数列，的通项公式分别为.
（2），
.
【点睛】
本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前n项和，考查学生的计算能力，是一道中档题.
18、（1）直线的普通方程，圆的直角坐标方程：.（2）
【解析】
（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.
（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用一元二次方程根和系数关系式即可求解.
【详解】
（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y﹣3＝0.
圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcsθ＝3，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣3＝0.
（2）把直线l的参数方程为（t为参数），代入圆的直角坐标方程x2+y2﹣4x﹣3＝0，
得到，
所以|PA||PB|＝|t1t2|＝6.
【点睛】
本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.
19、（1），；（2）或
【解析】
（1）根据曲线的参数方程消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再由，，可得点的轨迹的极坐标方程；
（2）将曲线极坐标方程求，与直线极坐标方程联立，消去，得到关于的二次方程，由的几何意义可求出，而（1）可知，然后列方程可求出的值.
【详解】
（1）曲线的直角坐标方程为，
圆的圆心为，设，所以，
则由，即为点轨迹的极坐标方程.
（2）曲线的极坐标方程为，
将与曲线的极坐标方程联立得，，
设，
所以，
，
由，即，
令，上述方程可化为，解得.
由，所以，即或.
【点睛】
此题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，利用极坐标求点的轨迹方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.
20、（1）（2）详见解析
【解析】
由题意，根据平均数公式求得，再根据，参照数据求解.
由题意得，获赠话费的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列求期望.
【详解】
由题意得
综上，
由题意得，获赠话费的可能取值为
，
，
的分布列为：
【点睛】
本题主要考查正态分布和离散型随机变量的分布列及期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ），，两式相减化简整理利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）由题设可得，可得，利用错位相减法即可得出．
【详解】
解：（Ⅰ）因为，故，两式相减可得，
，故，
因为是等比数列，∴，又，所以，
故，所以；
（Ⅱ）由题设可得，所以，
所以，①
则，②
①－②得：，
所以，得证.
【点睛】
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）将函数转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解；
（2）利用基本不等式或柯西不等式证明即可.
【详解】
解法一：（1）
当时，，
当，，
当时，，
所以
解法二：（1）
如图
当时，
解法三：（1）
当且仅当即时，等号成立.
当时
解法一：（2）由题意可知，，
因为，，，所以要证明不等式，
只需证明，
因为成立，
所以原不等式成立.
解法二：（2）因为，，，所以，
，
又因为，
所以，
所以，原不等式得证.
补充：解法三：（2）由题意可知，，
因为，，，所以要证明不等式，
只需证明，
由柯西不等式得：成立，
所以原不等式成立.
【点睛】
本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.
组别
频数
赠送话费的金额(单位：元)
概率