2026届广西省钦州市第一中学高三（最后冲刺）数学试卷含解析

这是一份2026届广西省钦州市第一中学高三（最后冲刺）数学试卷含解析，共15页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，运行如图程序，则输出的S的值为，已知向量，，且与的夹角为，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线：与椭圆交于、两点，与圆：交于、两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001）
A．0.110B．0.112C．D．
3．设，，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，则“直线与直线垂直”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知是虚数单位，若，则（ ）
A．B．2C．D．10
6．运行如图程序，则输出的S的值为（ ）

A．0B．1C．2018D．2017
7．已知向量，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．1C．或1D．或9
8．若，则函数在区间内单调递增的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．已知等差数列中，，，则数列的前10项和（ ）
A．100B．210C．380D．400
10．已知函数，若有2个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（ ）．
A．B．C．4D．9
12．正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，侧棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列递增的等比数列，若，，则______.
14．已知点是抛物线的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为______.
15．设是公差不为0的等差数列的前n项和，且，则______.
16．等边的边长为2，则在方向上的投影为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，，设函数，.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为1，证明：.
18．（12分）十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：
表1：新农合门诊报销比例
根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：
表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表
如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次．
（Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？
（Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）的分布列与期望．
19．（12分）已知件次品和件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束．
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用元，设表示直到检测出件次品或者检测出件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列．
20．（12分）改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.
（Ⅰ）求的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；
（Ⅱ）已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1，完成2×2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人，求抽到的女性人数的分布列及期望.
附：，其中
21．（12分）已知圆M：及定点，点A是圆M上的动点，点B在上，点G在上，且满足，，点G的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点，与直线和分别交于P、Q两点.当时，求（O为坐标原点）面积的取值范围.
22．（10分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.
（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元，求的分布列与数学期望.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率与坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围.
【详解】
设，且线过定点即为的圆心，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.
2、C
【解析】
根据题意知,，代入公式,求出即可.
【详解】
由题意可得,因为,
所以,即.
所以这种射线的吸收系数为.
故选:C
【点睛】
本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.
3、D
【解析】
利用倍角公式求得的值，利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数关系式求得的值，进而求得的值，最后利用正切差角公式求得结果.
【详解】
，，
，，
，，，
，
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.
4、B
【解析】
由两直线垂直求得则或，再根据充要条件的判定方法，即可求解.
【详解】
由题意，“直线与直线垂直”
则，解得或，
所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故选B.
【点睛】
本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
5、C
【解析】
根据复数模的性质计算即可.
【详解】
因为，
所以，
，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.
6、D
【解析】
依次运行程序框图给出的程序可得
第一次：，不满足条件；
第二次：，不满足条件；
第三次：，不满足条件；
第四次：，不满足条件；
第五次：，不满足条件；
第六次：，满足条件，退出循环．输出1．选D．
7、C
【解析】
由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求的值.
【详解】
解：由题意可得，
求得，或，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．
8、B
【解析】函数在区间内单调递增， ，在恒成立， 在恒成立， ， 函数在区间内单调递增的概率是，故选B.
9、B
【解析】
设公差为，由已知可得，进而求出的通项公式，即可求解.
【详解】
设公差为，，，
,
.
故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列的基本量计算以及前项和，属于基础题.
10、C
【解析】
令，可得，要使得有两个实数解，即和有两个交点，结合已知，即可求得答案.
【详解】
令，
可得，
要使得有两个实数解，即和有两个交点，
，
令，
可得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减.
当时，，
若直线和有两个交点，则.
实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
11、B
【解析】
根据题意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得结果.
【详解】
根据题意，，则
在中，又,
则
则
则
则
故选：B
【点睛】
此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.
12、C
【解析】
如图所示，在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，计算长度，设球半径为，则，解得，得到答案.
【详解】
如图所示：在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，
，故，，
设球半径为，则，解得，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
，建立方程组，且，求出，进而求出的公比，即可求出结论.
【详解】
数列递增的等比数列，，
，解得，
所以的公比为，.
故答案为:.
【点睛】
本题考查等比数列的性质、通项公式，属于基础题.
14、
【解析】
由点坐标可确定抛物线方程，由此得到坐标和准线方程；过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线定义可得，可知当直线与抛物线相切时，取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得点坐标，根据双曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率.
【详解】
是抛物线准线上的一点
抛物线方程为 ，准线方程为
过作准线的垂线，垂足为，则

设直线的倾斜角为，则
当取得最小值时，最小，此时直线与抛物线相切
设直线的方程为，代入得：
，解得： 或
双曲线的实轴长为，焦距为
双曲线的离心率
故答案为：
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当取得最小值时，直线与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得点坐标.
15、18
【解析】
将已知已知转化为的形式，化简后求得，利用等差数列前公式化简，由此求得表达式的值.
【详解】
因为，所以.
故填：.
【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，考查等差数列的性质以及求和，考查运算求解能力，属于基础题.
16、
【解析】
建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：，，，
则：，，
且，，
据此可知在方向上的投影为.
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）利用零点分段法，求出各段的取值范围然后取并集可得结果.
（2）利用绝对值三角不等式可得，然后使用柯西不等式可得结果.
【详解】
（1）由，所以
由
当时，则
所以
当时，则
当时，则
综上所述：
（2）由
当且仅当时取等号
所以
由，
所以
所以
令
根据柯西不等式，则
当且仅当，即取等号
由
故，又
则
【点睛】
本题考查使用零点分段法求解绝对值不等式以及柯西不等式的应用，属基础题.
18、（Ⅰ）；
（Ⅱ）的发分布列为：
期望．
【解析】
（Ⅰ）由表2可得去各个门诊的人次比例可得2000人中各个门诊的人数，即可知道去三甲医院的总人数，又有60岁所占的百分比可得60岁以上的人数，进而求出任选2人60岁以上的概率；
（Ⅱ）由去各门诊结算的平均费用及表1所报的百分比可得随机变量的可能取值，再由概率可得的分布列，进而求出概率．
【详解】
解：（Ⅰ）由表2可得李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次，分别去村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院人数为，，，，
而三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了，所以去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人数为：人，
设从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的事件记为，则；
（Ⅱ）由题意可得随机变量的可能取值为：，，，，
，，，，
所以的发分布列为：
所以可得期望．
【点睛】
本题主要考查互斥事件、随机事件的概率计算公式、分布列及其数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率；
（2）由题意可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，由此可得出随机变量的分布列.
【详解】
（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，则；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值为、、．
则，，
．
故的分布列为
【点睛】
本题考查概率的计算，同时也考查了随机变量分布列，考查计算能力，属于基础题.
20、（Ⅰ）.0.2（Ⅱ）见解析，有的把握认为交通安全意识与性别有关（Ⅲ）见解析，
【解析】
（Ⅰ）直接根据频率和为1计算得到答案.
（Ⅱ）完善列联表，计算，对比临界值表得到答案.
（Ⅲ）的取值为，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.
【详解】
（Ⅰ） ，解得.
所以该城市驾驶员交通安全意识强的概率.
（Ⅱ）
，
所以有的把握认为交通安全意识与性别有关
（Ⅲ）的取值为
所以的分布列为
期望.
【点睛】
本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据题意得到GB是线段的中垂线，从而为定值，根据椭圆定义可知点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，即可求出曲线C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，表示处的面积代入韦达定理化简即可求范围.
【详解】
（1）为的中点，且是线段的中垂线，
，又，
∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，
设椭圆方程为（），
则，，，
所以曲线C的方程为.
（2）设直线l：（），
由消去y，可得.
因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，
所以，.①
又由可得；同理可得.
由原点O到直线的距离为和，
可得.②
将①代入②得，
当时，，
综上，面积的取值范围是.
【点睛】
此题考查了轨迹和直线与曲线相交问题，轨迹通过已知条件找到几何关系从而判断轨迹，直线与曲线相交一般联立设而不求韦达定理进行求解即可，属于一般性题目.
22、（1）；（2）见解析.
【解析】
事件表示男学员在第次考科目二通过，事件表示女学员在第次考科目二通过（其中）（1）这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为元可能取值为400，600，800，1000，1200，根据题意可求相应的概率，进而可求X的数学期望．
【详解】
事件表示男学员在第次考科目二通过，
事件表示女学员在第次考科目二通过（其中）.
（1）事件表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.
.
（2）的可能取值为400，600，800，1000，1200.
，
，
，
，
.
则的分布列为：
故 (元).
【点睛】
本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础题.
医院类别
村卫生室
镇卫生院
二甲医院
三甲医院
门诊报销比例
60%
40%
30%
20%
医院类别
村卫生室
镇卫生院
二甲医院
三甲医院
一个结算年度内各门诊就诊人次占李村总就诊人次的比例
70%
10%
15%
5%
安全意识强
安全意识不强
合计
男性
女性
合计
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
考试情况
男学员
女学员
第1次考科目二人数
1200
800
第1次通过科目二人数
960
600
第1次未通过科目二人数
240
200
X
20
60
140
400
P
0.7
0.1
0.15
0.05
X
20
60
140
400
P
0.7
0.1
0.15
0.05
安全意识强
安全意识不强
合计
男性
16
34
50
女性
4
46
50
合计
20
80
100

400
600
800
1000
1200