2026届广西省玉林市重点中学高三下学期联合考试数学试题含解析

这是一份2026届广西省玉林市重点中学高三下学期联合考试数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了设，则，则，函数的图象大致为，已知△ABC中，等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在，内的学生人数为（ ）
A．800B．1000C．1200D．1600
3．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．或D．
4．已知集合，将集合的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列，则（ ）
A．1194B．1695C．311D．1095
5．己知函数若函数的图象上关于原点对称的点有2对，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．设，则，则（ ）
A．B．C．D．
7．函数的图象大致为
A．B．C．D．
8．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
10．如图，设为内一点，且，则与的面积之比为
A．B．
C．D．
11．若，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
12．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等比数列的前项和为，，且，则__________.
14．已知全集，，则________.
15．在平面直角坐标系中，已知圆，圆．直线与圆相切，且与圆相交于，两点，则弦的长为_________
16．已知，则__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数的定义域为，且满足，当时，有，且.
（1）求不等式的解集；
（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围.
18．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）设直线与曲线交于，两点，求；
（Ⅱ）若点为曲线上任意一点，求的取值范围.
19．（12分）已知函数，.
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
（2）用表示、中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数.
20．（12分）已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求；
（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
21．（12分）在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段的长.
22．（10分）如图，设椭圆：，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率是．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.
【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.
2、B
【解析】
由图可列方程算得a，然后求出成绩在内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在内的学生人数.
【详解】
由频率和为1，得，解得，
所以成绩在内的频率，
所以成绩在内的学生人数.
故选：B
【点睛】
本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.
3、D
【解析】
首先求出集合，再根据补集的定义计算可得；
【详解】
解：∵，解得
∴，∴.
故选：D
【点睛】
本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.
4、D
【解析】
确定中前35项里两个数列中的项数，数列中第35项为70，这时可通过比较确定中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和．
【详解】
时，，所以数列的前35项和中，有三项3，9，27，有32项，所以．
故选：D．
【点睛】
本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前项和公式是解题基础．解题关键是确定数列的前35项中有多少项是中的，又有多少项是中的．
5、B
【解析】
考虑当时，有两个不同的实数解，令，则有两个不同的零点，利用导数和零点存在定理可得实数的取值范围.
【详解】
因为的图象上关于原点对称的点有2对，
所以时，有两个不同的实数解.
令，则在有两个不同的零点.
又，
当时，，故在上为增函数，
在上至多一个零点，舍.
当时，
若，则，在上为增函数；
若，则，在上为减函数；
故，
因为有两个不同的零点，所以，解得.
又当时，且，故在上存在一个零点.
又，其中.
令，则，
当时，，故为减函数，
所以即.
因为，所以在上也存在一个零点.
综上，当时，有两个不同的零点.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说明零点的存在性，本题属于难题.
6、A
【解析】
根据换底公式可得，再化简，比较的大小，即得答案.
【详解】
，
，
.
，显然.
,即，
，即.
综上，.
故选：.
【点睛】
本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.
7、D
【解析】
由题可得函数的定义域为，
因为，所以函数为奇函数，排除选项B；
又，，所以排除选项A、C，故选D．
8、C
【解析】
分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解.
【详解】
由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是；
仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是，于是所求的概率．
故选：C
【点睛】
本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.
9、D
【解析】
以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，设，运用向量的坐标表示，求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值．
【详解】
以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，
可得，设，
由，
可得，即，
则
，
当时，的最小值为．
故选D．
【点睛】
本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．
10、A
【解析】
作交于点，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出与的比例，再由与的比例，可得到结果.
【详解】
如图，作交于点，
则，由题意，，，且，
所以
又，所以，，即，
所以本题答案为A.
【点睛】
本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键.
11、D
【解析】
通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：的形式，即可得到复数的虚部.
【详解】
由题可知，
所以的虚部是1.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.
12、A
【解析】
由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论．
【详解】
解：依题意，设．
则．
，．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．
则，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由题意知，继而利用等比数列的前项和为的公式代入求值即可.
【详解】
解：由题意知，所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题.
14、
【解析】
利用集合的补集运算即可求解.
【详解】
由全集，，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查了集合的补集运算，需理解补集的概念，属于基础题.
15、
【解析】
利用直线与圆相切求出斜率，得到直线的方程，几何法求出
【详解】
解：直线与圆相切，圆心为
由，得或，
当时，到直线的距离，不成立，
当时，与圆相交于，两点，到直线的距离，
故答案为．
【点睛】
考查直线与圆的位置关系，相切和相交问题，属于中档题．
16、
【解析】
首先利用，将其两边同时平方，利用同角三角函数关系式以及倍角公式得到，从而求得，利用诱导公式求得，得到结果.
【详解】
因为，所以，即，
所以，
故答案是.
【点睛】
该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，倍角公式，诱导公式，属于简单题目.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用定义法求出函数在上单调递增，由和，求出，求出，运用单调性求出不等式的解集；
（2）由于恒成立，由（1）得出在上单调递增，恒成立，设，利用三角恒等变换化简，结合恒成立的条件，构造新函数，利用单调性和最值，求出实数的取值范围.
【详解】
（1）设，
，
所以函数在上单调递增，
又因为和，
则，
所以
得
解得，即，
故的取值范围为；
（2） 由于恒成立，
恒成立，
设，
则
，
令， 则，
所以在区间上单调递增，
所以，
根据条件，只要 ，
所以.
【点睛】
本题考查利用定义法求函数的单调性和利用单调性求不等式的解集，考查不等式恒成立问题，还运用降幂公式、两角和与差的余弦公式、辅助角公式，考查转化思想和解题能力.
18、（Ⅰ）6（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）化简得到直线的普通方程化为，，是以点为圆心，为半径的圆，利用垂径定理计算得到答案.
（Ⅱ）设，则，得到范围.
【详解】
（Ⅰ）由题意可知，直线的普通方程化为，
曲线的极坐标方程变形为，
所以的普通方程分别为，是以点为圆心，为半径的圆，
设点到直线的距离为，则， 所以.
（Ⅱ）的标准方程为，所以参数方程为（为参数），设，
，
因为，所以，
所以.
【点睛】
本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）设切点坐标为，然后根据可解得实数的值；
（2）令，，然后对实数进行分类讨论，结合和的符号来确定函数的零点个数.
【详解】
（1），，
设曲线与轴相切于点，则，
即，解得.
所以，当时，轴为曲线的切线；
（2）令，，
则，，由，得.
当时，，此时，函数为增函数；当时，，此时，函数为减函数.
，.
①当，即当时，函数有一个零点；
②当，即当时，函数有两个零点；
③当，即当时，函数有三个零点；
④当，即当时，函数有两个零点；
⑤当，即当时，函数只有一个零点.
综上所述，当或时，函数只有一个零点；
当或时，函数有两个零点；
当时，函数有三个零点.
【点睛】
本题考查了利用导数的几何意义研究切线方程和利用导数研究函数的单调性与极值，关键是分类讨论思想的应用，属难题．
20、（1）；（2）；（3）存在，1.
【解析】
（1）利用基本量法直接计算即可；
（2）利用错位相减法计算；
（3），令可得，，讨论即可.
【详解】
（1）设数列的公差为，数列的公比为，
因为，
所以，即，解得，或（舍去）.
所以.
（2），
，
所以，
所以.
（3）由（1）可得，，
所以.
因为是数列或中的一项，所以，
所以，因为，
所以，又，则或.
当时，有，即，令.
则.
当时，；当时，，
即.
由，知无整数解.
当时,有，即存在使得是数列中的第2项，
故存在正整数，使得是数列中的项.
【点睛】
本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n项和，数列中的存在性问题，是一道较为综合的题.
21、（1）；（2）2
【解析】
（1）首先利用对圆C的参数方程（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐标方程．（2）设，联立直线与圆的极坐标方程，解得；设，联立直线与直线的极坐标方程，解得，可得．
【详解】
（1）圆C的普通方程为，又，
所以圆C的极坐标方程为.
（2）设，则由解得，，得；
设，则由解得，，得；
所以
【点睛】
本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.
22、（Ⅰ）；（Ⅱ）面积的最小值为9，.
【解析】
（Ⅰ）由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的，再由离心率可求得，从而得值，得标准方程；
（Ⅱ）设直线方程为，设，把直线方程代入抛物线方程，化为的一元二次方程，由韦达定理得，由弦长公式得，同理求得点的横坐标，于是可得，将面积表示为参数的函数，利用导数可求得最大值.
【详解】
（Ⅰ）∵椭圆：，
长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，
∴，
又∵椭圆的离心率是，∴，，
∴椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）过点的直线的方程设为，设，，
联立得，
∴，，
∴．
过且与直线垂直的直线设为，
联立得，
∴，故，
∴，
面积．
令，则，，
令，则，即时，面积最小，
即当时，面积的最小值为9，
此时直线的方程为．
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，抛物线中弦长的求解，涉及三角形面积范围问题，利用导数求函数的最值问题，属综合困难题.