2026届贵阳市第二实验中学高三下学期联考数学试题含解析

这是一份2026届贵阳市第二实验中学高三下学期联考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了已知，若则实数的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（ ）
A．2B．C．D．1
2．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，若则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．函数的部分图像如图所示，若，点的坐标为，若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．复数的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点，复数:满足.则等于（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数.设，若对任意不相等的正数，，恒有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知集合，，则集合的真子集的个数是（ ）
A．8B．7C．4D．3
9．若函数有且仅有一个零点，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
10．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为2，则输出的值为
A．B．C．D．
11．已知集合，，则的真子集个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．复数的虚部为（ ）
A．—1B．—3C．1D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，已知扇形的半径为1，面积为，则_____.
14．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的焦距为2c，过C外一点P(c,2c)作线段PF1，PF2分别交椭圆C于点A、B，若|PA|＝|AF1|，则_____.
15．某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以上的试卷中抽取的份数为__________.
16．已知正实数满足，则的最小值为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）若，求证：
（2）若，恒有，求实数的取值范围.
18．（12分）已知曲线的参数方程为 为参数),以直角坐标系原点为极点,以轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹；
（2）若直线的极坐标方程为,求曲线上的点到直线的最大距离.
19．（12分）如图在棱锥中，为矩形，面，
（1）在上是否存在一点，使面，若存在确定点位置，若不存在，请说明理由；
（2）当为中点时，求二面角的余弦值.
20．（12分）已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且的周长为6，点关于原点的对称点为，直线交于点.
（1）求椭圆方程；
（2）若直线与椭圆交于另一点，且，求点的坐标.
21．（12分）设函数，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）若在上存在两个极值点，求的取值范围；
（Ⅱ）若，函数与函数的图象交于，且线段的中点为，证明：.
22．（10分）以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位.已知曲线的参数方程：（为参数），直线的极坐标方程：
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，求的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
，选B.
2、A
【解析】
由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为底面是边长为4的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥，体积为
故答案为A.
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
3、D
【解析】
与中间值1比较，可用换底公式化为同底数对数，再比较大小．
【详解】
，，又，∴，即，
∴．
故选：D.
【点睛】
本题考查幂和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数幂比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数，可借助中间值如0，1等比较．
4、C
【解析】
根据，得到有解，则，得，，得到，再根据，有，即，可化为，根据，则的解集包含求解，
【详解】
因为，
所以有解，
即有解，
所以，得，，
所以，
又因为，
所以，
即，
可化为，
因为，
所以的解集包含，
所以或，
解得，
故选：C
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法及集合的关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题，
5、B
【解析】
根据图象以及题中所给的条件，求出和，即可求得的解析式，再通过平移变换函数图象关于轴对称，求得的最小值.
【详解】
由于，函数最高点与最低点的高度差为，
所以函数的半个周期，所以，
又，，则有，可得，
所以，
将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，即平移后为偶函数，
所以的最小值为1，
故选：B.
【点睛】
该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.
6、A
【解析】
根据复数的几何意义得出复数，进而得出，由得出可计算出，由此可计算出.
【详解】
由于复数对应复平面上的点，，则，
，，因此，.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.
7、D
【解析】
求解的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数，构造新函数，讨论其单调性即可求解.
【详解】
的定义域为，，
当时，，故在单调递减；
不妨设，而，知在单调递减，
从而对任意、，恒有，
即，
，，
令，则，原不等式等价于在单调递减，即，
从而，因为，
所以实数a的取值范围是
故选：D.
【点睛】
此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.
8、D
【解析】
转化条件得，利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解.
【详解】
由题意得，
，集合的真子集的个数为个.
故选：D.
【点睛】
本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.
9、D
【解析】
推导出函数的图象关于直线对称，由题意得出，进而可求得实数的值，并对的值进行检验，即可得出结果.
【详解】
，
则，
，
，所以，函数的图象关于直线对称.
若函数的零点不为，则该函数的零点必成对出现，不合题意.
所以，，即，解得或.
①当时，令，得，作出函数与函数的图象如下图所示：
此时，函数与函数的图象有三个交点，不合乎题意；
②当时，，，当且仅当时，等号成立，则函数有且只有一个零点.
综上所述，.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10、C
【解析】
由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的，的值，当时，不满足条件，跳出循环，输出的值．
【详解】
解：初始值，，程序运行过程如下表所示：
，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
跳出循环，输出的值为
其中①
②
①—②得
．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到，的值是解题的关键，属于基础题．
11、C
【解析】
求出的元素，再确定其真子集个数．
【详解】
由，解得或，∴中有两个元素，因此它的真子集有3个．
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合都是曲线上的点集．
12、B
【解析】
对复数进行化简计算，得到答案.
【详解】
所以的虚部为
故选B项.
【点睛】
本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据题意，利用扇形面积公式求出圆心角，再根据等腰三角形性质求出，利用向量的数量积公式求出.
【详解】
设角， 则，
，
所以在等腰三角形中，，
则.
故答案为：.
【点睛】
本题考查扇形的面积公式和向量的数量积公式，属于基础题.
14、
【解析】
根据条件可得判断OA∥PF2，且|PF2|＝2|OA|，从而得到点A为椭圆上顶点，则有b＝c，解出B的坐标即可得到比值.
【详解】
因为|PA|＝|AF1|，所以点A是线段PF1的中点，
又因为点O为线段F1F2的中点，所以OA∥PF2，且|PF2|＝2|OA|，
因为点P（c，2c），所以PF2⊥x轴，则|PF2|＝2c，
所以OA⊥x轴，则点A为椭圆上顶点，
所以|OA|＝b，
则2b＝2c，所以b＝c，ac，
设B（c，m）（m＞0），则，解得mc，
所以|BF2|c，
则.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查椭圆的基本性质，考查直线位置关系的判断，方程思想，属于中档题.
15、
【解析】
由题意结合正态分布曲线可得分以上的概率，乘以可得.
【详解】
解：，
所以应从分以上的试卷中抽取份.
故答案为：.
【点睛】
本题考查正态分布曲线，属于基础题.
16、4
【解析】
由题意结合代数式的特点和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.
【详解】
.
当且仅当时等号成立.
据此可知：的最小值为4.
【点睛】
条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）（﹣∞，0]
【解析】
（1）利用导数求x＜0时，f（x）的极大值为，即证（2）等价于k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，再求函数g(x)的最小值得解.
【详解】
（1）∵函数f（x）＝x2e3x，∴f′（x）＝2xe3x+3x2e3x＝x（3x+2）e3x．
由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞0；由f′（x）＜0，得，
∴f（x）在（﹣∞，﹣）内递增，在（﹣，0）内递减，在（0，+∞）内递增，
∴f（x）的极大值为，
∴当x＜0时，f（x）≤
（2）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，
令g（x）＝，x＞0，则g′（x），
令h（x）＝x2（1+3x）e3x+2lnx﹣1，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，
且x→0+时，h（x）→﹣∞，h（1）＝4e3﹣1＞0，
∴存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，
∴当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x0）＝，
∵h（x0）＝+2lnx0﹣1=0，所以，
令，
令
所以=1，,
∴g（x0）
∴实数k的取值范围是（﹣∞，0]．
【点睛】
本题主要考查利用证明不等式，考查利用导数求最值和解答不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18、（1），表示圆心为，半径为的圆；（2）
【解析】
（1）根据参数得到直角坐标系方程，再转化为极坐标方程得到答案.
（2）直线方程为，计算圆心到直线的距离加上半径得到答案.
【详解】
（1），即，化简得到：.
即，表示圆心为，半径为的圆.
（2），即，圆心到直线的距离为.
故曲线上的点到直线的最大距离为.
【点睛】
本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）要证明PC⊥面ADE，由已知可得AD⊥PC，只需满足即可，从而得到点E为中点;（2）求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空间向量的数量积，求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．
【详解】
（1）法一：要证明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，
所以由,即存在点E为PC中点.
法二：建立如图所示的空间直角坐标系D－XYZ， 由题意知PD＝CD＝1，
，设， ，，由
，得，
即存在点E为PC中点.
（2）由（1）知，，，
，， ，
设面ADE的法向量为，面PAE的法向量为
由的法向量为得，得，
同理求得
所以，
故所求二面角P－AE－D的余弦值为.
【点睛】
本题考查二面角的平面角的求法，考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．
20、（1）；（2）或
【解析】
（1）根据的周长为，结合离心率，求出，即可求出方程；
（2）设，则，求出直线方程，若斜率不存在，求出坐标，直接验证是否满足题意，若斜率存在，求出其方程，与直线方程联立，求出点坐标，根据和三点共线，将点坐标用表示，坐标代入椭圆方程，即可求解.
【详解】
（1）因为椭圆的离心率为，的周长为6，
设椭圆的焦距为，则
解得，，，
所以椭圆方程为.
（2）设，则，且，
所以的方程为①.
若，则的方程为②，由对称性不妨令点在轴上方，
则，，联立①，②解得即.
的方程为，代入椭圆方程得
，整理得，
或，.
，不符合条件.
若，则的方程为，
即③.
联立①，③可解得所以.
因为，设
所以，即.
又因为位于轴异侧，所以.
因为三点共线，即应与共线，
所以，即，
所以，又，
所以，解得，所以，
所以点的坐标为或.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）依题意在上存在两个极值点，等价于在有两个不等实根，由参变分类可得，令，利用导数研究的单调性、极值，从而得到参数的取值范围；
（Ⅱ）由题解得，，要证成立，只需证：，即：，只需证：，设，即证：，再分别证明，即可；
【详解】
解：（Ⅰ）由题意可知，，
在上存在两个极值点，等价于在有两个不等实根，
由可得，，令，
则，令，
可得，当时，，
所以在上单调递减，且
当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以是的极大值也是最大值，又当，当大于0趋向与0，
要使在有两个根，则，
所以的取值范围为；
（Ⅱ）由题解得，，要证成立，
只需证：
即：，
只需证：
设，即证：
要证，只需证：
令，则
在上为增函数
，即成立；
要证，只需证明：
令，则
在上为减函数，，即成立
成立，所以成立.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，利用导数证明不等式，属于难题;
22、（1）；（2）10
【解析】
（1）消去参数，可得曲线C的普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，代入即可求得曲线C的极坐标方程；
（2）将代入曲线C的极坐标方程，利用根与系数的关系，求得，进而得到=，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，曲线C的参数方程为，
消去参数，可得曲线C的普通方程为，即，
又由，
代入可得曲线C的极坐标方程为.
（2）将代入，
得，即，
所以=，
其中，当时，取最大值，最大值为10.
【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及曲线的极坐标方程的应用，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.