2026届广西梧州市蒙山县蒙山中学高考数学二模试卷含解析

这是一份2026届广西梧州市蒙山县蒙山中学高考数学二模试卷含解析，共15页。试卷主要包含了已知全集，，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在上的奇函数满足，若，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
2．一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（ ）
A．B．C．D．
3．运行如图程序，则输出的S的值为（ ）

A．0B．1C．2018D．2017
4．函数的图象如图所示,则它的解析式可能是( )
A．B．
C．D．
5．已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．，B．存在点，使得平面平面
C．平面D．三棱锥的体积为定值
7．已知全集，，则（ ）
A．B．C．D．
8．在直三棱柱中，己知，，，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
9．下图所示函数图象经过何种变换可以得到的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
10．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
11．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ）
A．24B．36C．48D．64
12．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的定义域为_____________.
14．设为等比数列的前项和，若，且，，成等差数列，则 .
15．定义，已知，，若恰好有3个零点，则实数的取值范围是________.
16．函数的单调增区间为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，，
（Ⅰ）证明；AC⊥BP；
（Ⅱ）求直线AD与平面APC所成角的正弦值．
18．（12分）已知函数，为实数，且．
（Ⅰ）当时，求的单调区间和极值；
（Ⅱ）求函数在区间，上的值域（其中为自然对数的底数）．
19．（12分）已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为（为参数）．
（1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；
（2）求直线l被圆截得的弦长．
20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
21．（12分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）若函数的最小值为，求的最小值.
22．（10分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
首先判断出是周期为的周期函数，由此求得所求表达式的值.
【详解】
由已知为奇函数，得，
而，
所以，
所以，即的周期为.
由于，，，
所以，
，
，
.
所以，
又，
所以.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.
2、A
【解析】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得随机变量的数学期望值.
【详解】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
则，，，.
因此，随机变量的数学期望为.
故选：A.
【点睛】
本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.
3、D
【解析】
依次运行程序框图给出的程序可得
第一次：，不满足条件；
第二次：，不满足条件；
第三次：，不满足条件；
第四次：，不满足条件；
第五次：，不满足条件；
第六次：，满足条件，退出循环．输出1．选D．
4、B
【解析】
根据定义域排除，求出的值，可以排除，考虑排除.
【详解】
根据函数图象得定义域为，所以不合题意；
选项，计算，不符合函数图象；
对于选项， 与函数图象不一致；
选项符合函数图象特征.
故选：B
【点睛】
此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.
5、D
【解析】
设，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】
设，由双曲线的定义可知：因此再由双曲线的定义可知：，在三角形中，由余弦定理可知：
，因此双曲线的渐近线方程为：
.
故选：D
【点睛】
本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.
6、B
【解析】
根据平行的传递性判断A；根据面面平行的定义判断B；根据线面垂直的判定定理判断C；由三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，判断D.
【详解】
在A中，因为分别是中点，所以，故A正确；
在B中，由于直线与平面有交点，所以不存在点，使得平面平面，故B错误；
在C中，由平面几何得，根据线面垂直的性质得出，结合线面垂直的判定定理得出平面，故C正确；
在D中，三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥的体积为定值，故D正确；
故选：B
【点睛】
本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题.
7、C
【解析】
先求出集合U，再根据补集的定义求出结果即可．
【详解】
由题意得，
∵，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合和熟悉补集的定义，属于简单题．
8、C
【解析】
由条件可看出，则为异面直线与所成的角，可证得三角形中，，解得从而得出异面直线与所成的角．
【详解】
连接，，如图：
又，则为异面直线与所成的角.
因为且三棱柱为直三棱柱，∴∴面，
∴，
又，，∴，
∴，解得.
故选C
【点睛】
考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
9、D
【解析】
根据函数图像得到函数的一个解析式为，再根据平移法则得到答案.
【详解】
设函数解析式为，
根据图像：，，故，即，
，，取，得到，
函数向右平移个单位得到.
故选：.
【点睛】
本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
10、D
【解析】
由题知，又，代入计算可得.
【详解】
由题知，又.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.
11、B
【解析】
根据题意，有两种分配方案，一是，二是，然后各自全排列，再求和.
【详解】
当按照进行分配时，则有种不同的方案；
当按照进行分配，则有种不同的方案.
故共有36种不同的派遣方案，
故选：B.
【点睛】
本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.
12、B
【解析】
列出每一次循环，直到计数变量满足退出循环.
【详解】
第一次循环：；第二次循环：；
第三次循环：，退出循环，输出的为.
故选：B.
【点睛】
本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由题意可得，，解不等式可求．
【详解】
解：由题意可得，，
解可得，，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础题．
14、.
【解析】
试题分析：∵，，成等差数列，∴，
又∵等比数列，∴.
考点：等差数列与等比数列的性质.
【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列
基本量的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.
15、
【解析】
根据题意，分类讨论求解，当时，根据指数函数的图象和性质无零点，不合题意；当时，令，得，令 ，得或 ，再分当，两种情况讨论求解.
【详解】
由题意得：当时，在轴上方，且为增函数，无零点，
至多有两个零点，不合题意；
当时，令，得，令 ，得或 ，
如图所示：
当时，即时，要有3个零点，则，解得；
当时，即时，要有3个零点，则，
令，
，
所以在是减函数，又，
要使，则须，所以.
综上：实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查二次函数，指数函数的图象和分段函数的零点问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，利用导数判断函数单调性，属于中档题.
16、
【解析】
先求出导数，再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的的集合，从而可得函数的单调增区间.
【详解】
函数的定义域为.
，
令，则，故函数的单调增区间为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查导数在函数单调性中的应用，注意先考虑函数的定义域，再考虑导数在定义域上的符号，本题属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．
【解析】
(I)取的中点,连接,通过证明平面得出;
(II)以为原点建立坐标系，求出平面的法向量，通过计算与的夹角得出与平面所成角．
【详解】
（I）证明：取AC的中点M，连接PM，BM，
∵AB＝BC，PA＝PC，
∴AC⊥BM，AC⊥PM，又BM∩PM＝M，
∴AC⊥平面PBM，
∵BP⊂平面PBM，
∴AC⊥BP．
（II）解：∵底面ABCD是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，
∴∠ABC＝120°，
∵AB＝BC＝1，∴AC，BM，∴AC⊥CD，
又AC⊥BM，∴BM∥CD．
∵PA＝PC，CM，∴PM，
∵PB，∴cs∠BMP，∴∠PMB＝120°，
以M为原点，以MB，MC的方向为x轴，y轴的正方向，
以平面ABCD在M处的垂线为z轴建立坐标系M﹣xyz，如图所示：
则A（0，，0），C（0，，0），P（，0，），D（﹣1，，0），
∴（﹣1，，0），（0，，0），（，，），
设平面ACP的法向量为（x，y，z），则，即，
令x得（，0，1），
∴cs，，
∴直线AD与平面APC所成角的正弦值为|cs，|．
【点睛】
本题考查异面直线垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理使用,难度一般.
18、（Ⅰ）极大值0，没有极小值；函数的递增区间，递减区间，（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）由，令，得增区间为，令，得减区间为，所以有极大值，无极小值；
（Ⅱ）由，分，和三种情况，考虑函数在区间上的值域，即可得到本题答案.
【详解】
当时，，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得极大值，没有极小值；
函数的增区间为，减区间为，
，
当时，，在上单调递增，即函数的值域为；
当时，，在上单调递减， 即函数的值域为；
当时，易得时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，
故当时，函数取得最大值，最小值为，中最小的，
当时，，最小值；
当，，最小值；
综上，当时，函数的值域为，
当时，函数的值域，
当时，函数的值域为，
当时，函数的值域为.
【点睛】
本题主要考查利用导数求单调区间和极值，以及利用导数研究含参函数在给定区间的值域，考查学生的运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想.
19、（1）．x2+y2＝1．（2）16
【解析】
（1）直接利用极坐标方程和参数方程公式化简得到答案.
（2）圆心到直线的距离为，故弦长为得到答案.
【详解】
（1），即，即，
即.
，故.
（2）圆心到直线的距离为，故弦长为.
【点睛】
本题考查了极坐标方程和参数方程，圆的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.
20、（1）：，：；（2），此时.
【解析】
试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
考点：坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
21、（1）（2）
【解析】
（1）用分类讨论思想去掉绝对值符号后可解不等式；
（2）由（1）得的最小值为4，则由，代换后用基本不等式可得最小值．
【详解】
解：（1）
讨论：
当时，，即，此时无解；
当时，；
当时，.
所求不等式的解集为
（2）分析知，函数的最小值为4
，当且仅当时等号成立.
的最小值为4.
【点睛】
本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最小值．解绝对值不等式的方法是分类讨论思想．
22、 (Ⅰ)万；(Ⅱ)分布列见解析， ；(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.
(Ⅱ) 的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，解得答案.
【详解】
(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.
(Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.
，，.
故分布列为：
.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，故.
故的最小值为.
【点睛】
本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.