2026届广西贺州市平桂区平桂高级中学高三（最后冲刺）数学试卷含解析

这是一份2026届广西贺州市平桂区平桂高级中学高三（最后冲刺）数学试卷含解析，共15页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知函数，则，直线与圆的位置关系是，已知复数满足，则的共轭复数是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数，在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．已知焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）
A．或B．或C．或D．
6．在直角梯形中，，，，，点为上一点，且，当的值最大时，( )
A．B．2C．D．
7．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相交或相切
8．已知为定义在上的奇函数，且满足当时，，则（ ）
A．B．C．D．
9．己知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且；若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到平面的距离为，若平面平面，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知复数满足，则的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
11．已知非零向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
12．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．21B．22C．11D．12
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设全集，集合，，则集合______.
14．函数f（x）＝x2﹣xlnx的图象在x＝1处的切线方程为_____.
15．已知函数在上单调递增，则实数a值范围为_________.
16．双曲线的焦点坐标是_______________，渐近线方程是_______________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，，，，，为的中点，为棱上的一点.
（1）证明：面面；
（2）当为中点时，求二面角余弦值.
18．（12分）如图，四边形为菱形，为与的交点，平面.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，三棱锥的体积为，求菱形的边长.
19．（12分）在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A”和“B”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p，选择错误的概率为q，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n道题后总得分为”.
（1）当时，记，求的分布列及数学期望；
（2）当，时，求且的概率.
20．（12分）已知曲线的参数方程为为参数， 曲线的参数方程为为参数).
（1）求与的普通方程；
（2）若与相交于，两点，且，求的值.
21．（12分）已知椭圆的右焦点为，离心率为.
（1）若，求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于、两点，、分别为线段、的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.
22．（10分）第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求，的值（，的值四舍五入取整数），并计算；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.
（参考数据：；；.）
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
利用导数求得在区间上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
的定义域为，，
所以在上递减，在上递增，在处取得极小值也即是最小值，，，，，
所以在区间上的最大值为.
要使在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，
则需恒成立，且，
也即，也即当、时，成立，
即，且，解得.所以的取值范围是.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.
2、C
【解析】
根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程.
【详解】
由题意可知，双曲线的渐近线方程是.
故选：C.
【点睛】
本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．
3、D
【解析】
由两向量垂直可得，整理后可知，将已知条件代入后即可求出实数的值.
【详解】
解：，，即，
将和代入，得出，所以.
故选:D.
【点睛】
本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0，继而结合条件进行化简、整理.
4、A
【解析】
根据分段函数直接计算得到答案.
【详解】
因为所以.
故选：.
【点睛】
本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.
5、A
【解析】
过作与准线垂直，垂足为，利用抛物线的定义可得，要使最大，则应最大，此时与抛物线相切，再用判别式或导数计算即可.
【详解】
过作与准线垂直，垂足为，，
则当取得最大值时，最大，此时与抛物线相切，
易知此时直线的斜率存在，设切线方程为，
则.则，
则直线的方程为.
故选：A.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
6、B
【解析】
由题，可求出，所以，根据共线定理，设，利用向量三角形法则求出，结合题给，得出，进而得出，最后利用二次函数求出的最大值，即可求出.
【详解】
由题意，直角梯形中，，，，，
可求得，所以·
∵点在线段上， 设 ，
则
，
即，
又因为
所以，
所以，
当时，等号成立.
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.
7、D
【解析】
由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论．
【详解】
解：由题意，圆的圆心为，半径，
∵圆心到直线的距离为，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
8、C
【解析】
由题设条件，可得函数的周期是，再结合函数是奇函数的性质将转化为函数值，即可得到结论.
【详解】
由题意，，则函数的周期是，
所以，，
又函数为上的奇函数，且当时，，
所以，.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题.
9、A
【解析】
根据平面平面，四边形为等腰梯形，则球心在过的中点的面的垂线上，又是等边三角形，所以球心也在过的外心面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即可.
【详解】
依题意如图所示：
取的中点，则是等腰梯形外接圆的圆心，
取是的外心，作平面平面，
则是四棱锥的外接球球心，且，
设四棱锥的外接球半径为，则，而，
所以，
故选：A.
【点睛】
本题考查组合体、球，还考查空间想象能力以及数形结合的思想，属于难题.
10、B
【解析】
根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可.
【详解】
由，得，所以．
故选：B
【点睛】
本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题.
11、B
【解析】
由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得与的夹角.
【详解】
根据平面向量数量积的垂直关系可得，
，
所以，即，
由平面向量数量积定义可得，
所以，而，
即与的夹角为.
故选：B
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题.
12、A
【解析】
由题意知成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出的值.
【详解】
解：由为等差数列，可知也成等差数列，
所以 ，即，解得.
故选:A.
【点睛】
本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
分别解得集合A与集合B的补集，再由集合交集的运算法则计算求得答案.
【详解】
由题可知，集合A中
集合B的补集，则
故答案为：
【点睛】
本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题.
14、x﹣y＝0.
【解析】
先将x＝1代入函数式求出切点纵坐标，然后对函数求导数，进一步求出切线斜率，最后利用点斜式写出切线方程.
【详解】
由题意得.
故切线方程为y﹣1＝x﹣1，即x﹣y＝0.
故答案为：x﹣y＝0.
【点睛】
本题考查利用导数求切线方程的基本方法，利用切点满足的条件列方程（组）是关键.同时也考查了学生的运算能力，属于基础题.
15、
【解析】
由在上恒成立可求解．
【详解】
，
令，∵，∴，
又，，从而，令，
问题等价于在时恒成立，∴，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查函数的单调性，解题关键是问题转化为恒成立，利用换元法和二次函数的性质易求解．
16、
【解析】
通过双曲线的标准方程，求解，，即可得到所求的结果．
【详解】
由双曲线，可得，，则，
所以双曲线的焦点坐标是，
渐近线方程为：．
故答案为：；．
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，考查了运算能力，属于容易题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）要证明面面，只需证明面即可；
（2）以为坐标原点，以，，分别为，，轴建系，分别计算出面法向量，面的法向量，再利用公式计算即可.
【详解】
证明：（1）因为底面为正方形，所以
又因为，，满足，
所以
又，面，面，
，
所以面.
又因为面，所以，面面.
（2）由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，以，，分别为，，轴建系如图所示，
则，，,，则，.
所以，，，，
设面法向量为，则由得，
令得，，即；
同理，设面的法向量为，
则由得，
令得，，即，
所以，
设二面角的大小为，则
所以二面角余弦值为.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求二面角，考查学生的运算求解能力，此类问题关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.
18、（1）证明见解析；（2）1
【解析】
（1）由菱形的性质和线面垂直的性质，可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）设，分别求得，和的长，运用三棱锥的体积公式，计算可得所求值．
【详解】
（1）四边形为菱形，
，
平面，
，
又，
平面，
又平面，
平面平面；
（2）设，在菱形中，由，
可得，，，
，
在中，可得，
由面，知，为直角三角形，可得，
三棱锥的体积，
，菱形的边长为1．
【点睛】
本题考查面面垂直的判定，注意运用线面垂直转化，考查三棱锥的体积的求法，考查化简运算能力和推理能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
19、（1）见解析，0（2）
【解析】
（1）即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道答错2道,3道题都答错,进而求解即可；
（2）当时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又,则第一题答对,第二题第三题至少有一道答对,进而求解.
【详解】
解:（1）的取值可能为,,1,3,又因为,
故,,
,,
所以的分布列为：
所以
（2）当时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,
又已知,第一题答对,
若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题；
若第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对题，
此时的概率为（或）.
【点睛】
本题考查二项分布的分布列及期望,考查数据处理能力,考查分类讨论思想.
20、（1），（2）0
【解析】
（1）分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；
（2）把直线的参数方程代入的普通方程，化为关于的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时的几何意义求解．
【详解】
（1）由曲线的参数方程为为参数），消去参数，可得；
由曲线的参数方程为为参数），消去参数，可得，即．
（2）把为参数）代入，
得．
，．
．
解得：，即，满足△．
．
【点睛】
本题考查参数方程化普通方程，特别是直线参数方程中参数的几何意义的应用，是中档题．
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）由椭圆的离心率求出、的值，由此可求得椭圆的方程；
（2）设点、，联立直线与椭圆的方程，列出韦达定理，由题意得出，可得出，
【详解】
（1）由题意得，，.
又因为，，所以椭圆的方程为；
（2）由，得.
设、，所以，，
依题意，，易知，四边形为平行四边形，所以.
因为，，
所以.
即，将其整理为.
因为，所以，.
所以，即.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，考查计算能力，属于中等题.
22、（1），，；（2）详见解析.
【解析】
（1）根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而X～N（65，142），计算P（51＜X＜93）即可；
（2）列出Y所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额．
【详解】
解：（1）由已知频数表得：，
，
由，则，
而，所以，
则X服从正态分布，
所以；
（2）显然，，
所以所有Y的取值为15，30，45，60，
，
，
，
，
所以Y的分布列为：
所以，
需要的总金额为：.
【点睛】
本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题．
组别
频数
5
30
40
50
45
20
10
1
3
Y
15
30
45
60
P